河南省南阳市六校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题含答案.pdf

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1、绝密绝密启用前启用前大联考大联考20232024 学年（下）南阳六校高二年级期末考试学年（下）南阳六校高二年级期末考试数学数学考生注意：考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名答题前，考生务必将自己的姓名 考生号填写在试卷和答题卡上考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.回答非选择题时回答非选择

2、题时，将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上.写在本试卷上写在本试卷上无效无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一 单项选择题单项选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的：项是符合题目要求的：1.已知随机变量服从正态分布23,N，且(4)0.6P，则(23)P（）A.0.05B.0.1C.0.3D.0.42.如图，,ABC CBDDBEEBF均为直角三角形，,A C D E 为直角顶点，60ABCCBDDBEEBF，且1AB

3、，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为 na，则10a（）A.913 2B.1013 2C.933 2D.1033 23.已知函数 e1xf xafx，且 1ef，则实数a（）A.1B.2C.eD.2e4.已知 na是正项等比数列，若13214,32aaa成等差数列，则81081loglogaa（）A.3B.4C.5D.65.已知i为虚数单位，则6ixx的展开式中2x的系数为（）A.-10B.10C.-15D.156.已知数列 na满足121,2aa，且21nnnaaa，设(1)nanb ，则数列 nb的前 2024 项和为（）A.674B.673C.-673D.-6747.已知函数 2

4、1,0,ln1,0,xaxxf xaxxx若 0f x 恒成立，则实数a的取值范围是（）A.212,eB.2,1C.212,eD.2,18.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，如图，过C的右焦点F作直线与C的两条渐近线分别交于点,P Q，与y轴交于点T，若FPOP，且32QTPF，则C的离心率为（）A.2B.3C.2D.2 3二二 多项选择题多项选择题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分

5、选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一个家庭中共有 3 个孩子，用A表示事件“该家庭中既有男孩又有女孩”，用B表示事件“该家庭中最多有 1 个女孩”，则（）A.34P A B.13P A B C.12P B A D.A与B相互独立10.已知数列 na的前n项和23nSknnb，则下列说法中正确的是（）A.na一定为等差数列B.na可能为等比数列C.若0k，则 na一定为递增数列D.若13k ，则存在*mN，使得0ma 11.已知函数 2eaxf xx，若不等式 ffxx恰有一个整数解，则实数a的取值不可能是（）A.ln22B.ln33C.1eD.ln55

6、三三 填空题填空题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.把 4 个不同颜色的球放入 3 个不同的盒子里，每个盒子里至少有 1 个球，则不同的放法种数为_.13.已知点,P x y在圆222440 xyxy上运动，则xy的最小值是_.14.已知函数 f x及其导函数 fx的定义域均为,2 2，且 f x为偶函数，若0 x时，tanfxf xx，且23f，则不等式 1cosf xx的解集为_.四四 解答题解答题：本题共：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算证明过程或演算步骤步骤.15.（13 分

7、）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面,1,0,1ABCD PAABDEDC.（1）若BEPC，求；（2）若12，求直线BE与平面APC所成角的正弦值.16.（15 分）扬子鳄是中国特有的一种小型鳄类，是国家一级重点保护野生动物，活动区域主要在长江下游流域.研究人员为了解扬子鳄的生长发育情况，随机抽取了 6 只扬子鳄，测量它们的头长x（单位:cm)与体长y（单位：cm），得到如下数据：样本编号i123456头长ix1515.315.316.616.817体长iy125128130138142153并计算得666221114,550,44.iiiiiiixxyyxxyy（

8、1）求这 6 只扬子鳄的平均头长与平均体长；（2）求扬子鳄的头长与体长的样本相关系数；（精确到 0.01）（3）已知x与y可以用模型40ybx进行拟合，若某只扬子鳄的头长为20cm，利用所给数据估计这只扬子鳄的体长.附：相关系数12211,5.52.35niiinniiiixxyyrxxyy.17.（15 分）已知数列 na满足11a，当2n时，121nnaan.（1）求 na的通项公式；（2）设nS为数列3nna的前n项和，证明：2nS.参考结论：当4n时，22nn.18.（17 分）已知函数 2cosf xxax，其中2a.（1）讨论 f x在区间0,2上的单调性；（2）若2a，函数 2g

9、 xf xkx在区间0,2内存在唯一的极值点，求实数k的取值范围.19.（17 分）已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点F到直线:4l yx的距离为5 2,2P为直线l上的动点，过点P作直线12,l l分别与C相切于点,M N.（1）求C的方程；（2）证明：直线MN过定点；（3）若直线12,l l分别交x轴于点,A B，求AB的最小值.大联考大联考20232024 学年（下）南阳六校高二年级期末考试学年（下）南阳六校高二年级期末考试数学数学答案答案一一 单项选择题单项选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.1.答案 B命题意图本题考查正态分布的

10、性质.解析根据正态分布的基本性质可知(23)(34)(4)(3)0.60.50.1PPPP.2.答案 C命题意图本题考查等比数列的概念.解析根据题意，这些直角三角形是相似的，并且相邻两个三角形的相似比为2BCAB，从而这些三角形的周长从小到大组成的数列 na是等比数列，公比2q，首项为ABC的周长33，因此91033 2a.3.答案 B命题意图本题考查导数的计算.解析由题意知 1e1faf，所以 e12af，所以 ee2xafxa，又 ee1ee22aafa，所以2a.4.答案 D命题意图本题考查等比数列的性质.解析设等比数列 na的公比为(0)q q.由13214,32aaa成等差数列，可得

11、12343aaa，即2340qq，解得4q（负值舍去）.所以91810810818821loglogloglog 4log 26aaaa.5.答案 C命题意图本题考查二项式定理的应用.解析展开式的通项66 2166iCC(i)rrrrrrrTxxx，当622r时，2r，因此2x的系数为226C(i)-15.6.答案 D命题意图本题考查数列的递推关系.解析因为奇数与奇数之和为偶数，奇数与偶数之和为奇数，所以数列 na的各项的奇偶情况依次为奇偶奇奇偶奇所以数列 nb的各项依次为1,1,1,1,1,1,，以 3 为周期，且相邻 3 项之和为-1，因为20243 6742，所以数列 nb的前 2024

12、 项和为1 674 1 1674 .7.答案 A命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.解析当0 x 时，010f.当0 x 时，210f xxax 恒成立等价于1axx恒成立，因为当0 x 时，max12xx，所以2a .当0 x 时，0f x 恒成立等价于lnax xx恒成立.记 lng xx xx，则 ln2,gxxgx在区间0,上为增函数，并且零点为21ex，因此min2211()eeg xg，所以21ea .综上，212ea .8.答案B命题意图本题考查双曲线与直线的位置关系.解析根据双曲线渐近线的性质，可知在Rt OPF中，,PFb OPa，由三角形相似可知2|OPTP.PF，因此

13、2aTPb.因为32QTPF，所以32QTb.设TOPTOQ，则tanab，因此222222tan21aabbabab，又2223232tan22abQPabbOPaab，所以22222322abababba，即422422324ba baa b，从而2222230baba，得222ba，故离心率213bea.二二 多项选择题多项选择题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.每小题全部选对的得每小题全部选对的得 6 分，部分选对分，部分选对的得部分分，有选错的得的得部分分，有选错的得 0 分分.9.答案 ACD命题意图本题考查条件概率与相互独立事件.解析3

14、23()1()124P AP A ，故 A 正确.1133333CC113,22228P BP AB，所以 31,42P ABP ABP A BP B AP BP A，故 B 错误，C 正确.因为 38P A P BP AB，所以A与B相互独立，故 D 正确.10.答案 BD命题意图本题考查数列的通项与前n项和.解析对于 A，根据等差数列的求和公式，只有当0b 时，na才是等差数列，故 A 错误；对于 B，当0kb时，3,3nnSn a，满足要求，故 B 正确；对于 C，若1,3kb，则21122133,7,6nSnnaSaSS，所以12aa，故 C 错误；对于 D，若13k ，函数 2133

15、f xxxb 的图象关于直线92x 对称，因此45SS，从而50a，故D 正确.11.答案 BCD命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.解析因为 2e2e2eaf xaf xaxff xxf xx，所以 eeaf xaxff xxaf xax，即eaxaax.若0a，不等式化为eaxx，此不等式对任意0 x恒成立，不符合条件.若0a，不等式化为eaxx，即lnxax恰有一个整数解.记 lnxg xx，则 21 lnxgxx，可得 lnxg xx在0,e上单调递增，在e,上单调递减，并且 ln3ln23,2432ggg，因此lnxax恰有一个整数解时ln2ln323a，实数a的取值不可能是B，

16、C，D.三三 填空题填空题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.答案 36命题意图本题考查计数原理的应用.解析将 4 个球按2,1,1分为 3 部分，再放入 3 个盒子里，所以不同的放法种数为2343C A36.13.答案43命题意图本题考查直线与圆的位置关系.解析由222440 xyxy得22(1)(2)1xy，表示以1,2为圆心，1 为半径的圆.令xmy，则0 xmy表示直线，从而圆心到该直线的距离满足21211mdm，两边平方整理得2340mm，解得403m，即xy的最小值为43.14.答案,3 3命题意图本题考查函数与导数不等式的综合.解析

17、因为0,2x时，sintancosxfxf xxf xx，所以 cossinfxx f xx，即 cos(cos)0fxxf xx，因此 cos 0f xx，从而 cosF xf xx在0,2上单调递增，又 f x是,2 2上的偶函数，从而 cosF xf xx是,2 2上的偶函数，并且在,02上单调递减.由于23f，因此 11,3cosFf xx即 cos1f xx，即 1F x，因此x的取值范围为,3 3.四四 解答题解答题：本题共：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过证明过程或演算步骤程或演算步骤.15.命题意图本题考查空间垂直关系的推理

18、和空间向量的应用.解析（1）由PA平面ABCD，可得BEPA.BEPC，且,PAPCPBE平面APC.BEAC.四边形ABCD是正方形，BE与BD重合，0.（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则10,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,1,02ACPEB，11,0,1,1,0,0,0,12BEACAP .设,nx y z为平面APC的法向量，则0,0,n ACn AP 即0,0,xyz可取1,1,0n.设为直线BE与平面APC所成的角，则33 102sincos,10522n BE，即直线BE与平面APC所成角的正弦值为3 1010.16.命题意图本题考查一元线性回归分

19、析的应用.解析（1）平均头长为11500.30.3 1.6 1.8216 cm6x，平均体长为11305208 1223136 cm6y .（2）由题可知616622114444440.94474 550205.5iiiiiiixxyyrxxyy.（3）由题意知40ybx.所以136401116b，所以1140yx，令20 x，得180y，因此估计这只扬子鳄的体长为180cm.17.命题意图本题考查数列的通项公式等差数列与等比数列的求和.解析（1）当2n时，11232211nnnnnaaaaaaaaaa221 2353 1nnn .又2111a ，因此 na的通项公式为2nan.（2）由（1）

20、知2nan，因此233nnnan.因为12311477110,3399939SSS，所以当1,2,3n 时，2nS.因为当4n时，22nn，所以2233nnn，此时433221331010162101646122992739272713nnnS.综上，2nS.18.命题意图本题考查利用导数研究函数的单调性和极值点.解析（1）22 cossinfxxxxax.设 xfx，则 22cos4 sincosxaxxxxx.因为2a，所以当0,2x时，0 x，所以 xfx在0,2上单调递减，所以 00fxf，因此 f x在0,2上单调递减.（2）因为 2g xf xkx，所以 222 cos2 sin2

21、gxfxkxxxxxkx.若0k，由（1）知 0gx在0,2上恒成立，从而 g x在0,2内无极值点，不符合题意.若0k，设 u xgx，则 24 sincos2uxxxxxk，且 020uk.设 v xu x，则 26 cos4 sin0v xxxxx 在0,2上恒成立，因此 v x在0,2上单调递减.若02v，即k，则 0v x 在0,2上恒成立，因此 u x在0,2上单调递增，可知 00u xu在0,2上恒成立，从而 g x单调递增，无极值点，不符合题意.若02v，即0k，则 v x在0,2上存在零点0 x，且 u x在00,x上单调递增，在0,2x上单调递减.又 00u，所以要使 g

22、x有极值点，必须有22024uk，即24k ，从而k的取值范围是2,04.19.命题意图本题考查抛物线的方程，拋物线与直线的位置关系.解析（1）由题意知45 220,222ppF，结合0p，解得2p.故C的方程为24xy.（2）根据题意，直线MN的斜率存在，设其方程为1122,ykxm M x yN xy.联立24,xyykxm得2440 xkxm.2121216160,4,4kmxxk x xm.由24xy可得214yx，所以2xy，因此12,l l的斜率分别为1212,22xxkk，12,l l的方程分别为121122,22xxyyxxyyxx，整理得221122,2424xxxxyxyx，联立12,l l的方程，解得12122,24xxx xxk ym，即2,Pkm.因为点P在直线4yx上，所以42mk，所以直线MN的方程为24yk x，故直线MN过定点2,4.（3）由（2）可知12,l l与x轴的交点横坐标分别为12,22ABxxxx.因为2121212242(1)3 2 322ABxxx xxxABxxk，当1k 时取等号，故AB的最小值为2 3.