定积分概念及应用市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

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1、mathsoft第六章第六章 定积分概念及应用定积分概念及应用第一节第一节 定积分概念定积分概念第二节第二节 平面图形面积平面图形面积第三节第三节 体积体积数学分析电子教案 西电科大第1页mathsoft第四节第四节 平面曲线弧长平面曲线弧长第五节第五节 功、水压力和引力功、水压力和引力第六节第六节 平均值平均值习题课习题课数学分析电子教案 西电科大第2页mathsoft例例1 1 求曲边梯形面积求曲边梯形面积一、问题提出（引例）一、问题提出（引例）中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四边形，梯形等规则图形面积计算。那么不规则图形面积怎么来求呢?下面将介绍任一图形面积计算方法，比如：比如：第一

2、节 定积分概念第3页mathsoftXAababA2ab曲边梯形（三条直边，一条曲边）曲边梯形（三条直边，一条曲边）0y面积面积 A=A1-A2故问题为求出两个曲边梯形面积故问题为求出两个曲边梯形面积怎样去求曲边梯形面积呢？下面将展开讨论：怎样去求曲边梯形面积呢？下面将展开讨论：1第一节 定积分概念第4页mathsoft 设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线解：解：step1：分割 在a,b中任意插入n-1个分点把a,b分成n个小区间xi-1,xi(i=1n)区间长度为(i=1n)所围成，求面积A,其中f(x)在a,b上连续。step2:近似step3:求和第一节 定积分概念第5页m

3、athsoftstep4:取极限第一节 定积分概念第6页mathsoft用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越靠近显然，小矩形越多，矩形总面积越靠近曲边梯形面积曲边梯形面积第一节 定积分概念第7页mathsoft例例2 2 （求变速直线运动旅程）（求变速直线运动旅程）思绪：把整段时间分割成若干小段，每小段上思绪：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段旅程再相加，便得速度看作不变，求出各小段旅程再相加，便得到旅程近似值，最终经过对时间无限细分过程到旅程近似值，最终经过对时间无限细分过程求得旅程准确值求得旅程准确值第一节 定积

4、分概念第8页mathsoft（1）分割）分割部分旅程值部分旅程值某时刻速度某时刻速度（2）求和）求和（3）取极限）取极限旅程准确值旅程准确值第一节 定积分概念第9页mathsoft上面两例能够看出上面两例能够看出：两个不一样问题所求量，采取了一样计算方法，最终都归结为含有相同结构和式极限。抛开这些问题详细意义，在数学上就抽象出定积分概念。第一节 定积分概念第10页mathsoft二、定积分定义二、定积分定义定义定义第一节 定积分概念第11页mathsoft被积函数被积函数被积表示式被积表示式 积分变量积分变量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和积分符号积分符号第一节 定积分概念

5、第12页mathsoft注意：注意：由定积分定义，例1，例2分别为：1。极限存在指：任意分割，任一取点，和式极限存在且相等。2。定积分是个数，与积分变量符号无关，即3。要求：4。错误！为何？错误！为何？第一节 定积分概念第13页mathsoft定理定理1 1定理定理2 2三、存在定理三、存在定理且只有有限个间断点且只有有限个间断点（第一类间断点），（第一类间断点），第一节 定积分概念第14页mathsoft曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积负曲边梯形面积负值值四、定积分几何意义四、定积分几何意义曲边梯形面积代数和曲边梯形面积代数和如图：如图：第一节 定积分概念第15页mathsoft五、小结

6、练习五、小结练习定积分实质定积分实质：特殊和式极限：特殊和式极限定积分思想和方法：定积分思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限准确值准确值定积分定积分求乘积求乘积近似代替近似代替第一节 定积分概念第16页mathsoft练习练习例例1解：由几何意义例例2计算：计算：解：如图第一节 定积分概念第17页mathsoft例例3 利用定义计算解：解：1。将0，1n等分，2。3。求和4。即第一节 定积分概念第18页mathsoft例例4解：解：第一节 定积分概念第19页mathsoft一一.直角坐标系情况直角坐标系情况所围图形面积，如图:解解:1。画图，求出交点；2。选

7、积分变量，3。4。尤其尤其:曲边梯形面积曲边梯形面积第二节第二节 平面图形面积平面图形面积第二节 平面图形面积第20页mathsoft例例1.解解:画图，求得交点(-1,1)及(3,9)例例2.解解:画图，求得交点(2,-2)及(8,4)选为积分变量，则问问:若选若选x为积分变量怎样？为积分变量怎样？第二节 平面图形面积第21页mathsoft二二.参数方程情况参数方程情况例例3.解解:由对称性普通，普通，第二节 平面图形面积第22页mathsoft例例4.解解:第二节 平面图形面积第23页mathsoft三三.极坐标情况极坐标情况解解:1。2。3。第二节 平面图形面积第24页mathsoft

8、例例5.解解:另解另解:第二节 平面图形面积第25页mathsoft一一.旋转体体积旋转体体积 定义定义:由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成立体，叫旋转体。而成立体，叫旋转体。第三节第三节 体积体积第三节 体积第26页mathsoft 以上旋转体体积在中学已经会计算，下面讨论普通旋转体体积。例例1.解解:1。2。3。下面将结论推广下面将结论推广:第三节 体积第27页mathsoft如图:类似，类似，若旋转体是曲边梯形绕y轴旋转而成y=f(x)y=g(x)第三节 体积第28页mathsoft例例2.解解:(1)绕x轴(2)绕y轴第三节 体积第29页m

9、athsoft例例3.解解:(1)绕x轴旋转第三节 体积第30页mathsoft(2)绕y轴旋转第三节 体积第31页mathsoft(2)绕y=2a旋转所求体积即是中间喇叭状体积第三节 体积第32页mathsoft二二.平行截面面积为已知立体体积平行截面面积为已知立体体积如图，解解:1。2。3。第三节 体积第33页mathsoft例例4.解解:建立坐标如图，第三节 体积第34页mathsoft 定积分概念出现和发展都是由实际问题引发和推进。所以定级分得应用页非常广泛。本章主要介绍几何上，物理上实际问题应用，比如：计算平面图形面积，曲线弧长，旋转体体积，引力，做功等。基本思想：基本思想：实际问题

10、所求量实际问题所求量Q转化为求求Q=(积分模型积分模型)转化方法：转化方法：元素法（或微元法），即从局部到整体元素法（或微元法），即从局部到整体微元法第35页mathsoft 为了说明小元素法，我们先往返顾一下曲边梯形面积转化为定积分计算过程。step1.分割：任意划分a,b为n个小区间step2.近似：第一节第一节 定积分元素法定积分元素法(或微元法或微元法)微元法第36页mathsoftstep3.求和：step4.取极限：分析：分析：在上述问题注意到在上述问题注意到:所求量所求量(即面积即面积)A满足：满足：1。与区间与区间a,b及及a,b上连续函数上连续函数f(x)相关相关;2。对对a

11、,b含有可加性，含有可加性，3。实际上，引出实际上，引出A积分表示式关键步骤是第积分表示式关键步骤是第二步，所以求解可简化以下：二步，所以求解可简化以下：微元法第37页mathsoftstep1:选取积分变量及积分区间（如x属于a,b）step2:取微区间x,x+dx 求出 step3:这种方法称为定积分元素法元素法或微元法微元法。微元法第38页mathsoft 普通，假如某一实际问题中所求量Q符合条件:1。Q是与某一变量是与某一变量x改变区间改变区间a,b相关量；相关量；2。Q对于对于a,b区间含有可加性；区间含有可加性；3。局部量局部量那么，将Q用积分来表示步骤以下:step1.选取积分变

12、量及积分区间选取积分变量及积分区间step2.取微区间取微区间x,x+dx，求出，求出step3.微元法第39页mathsoft例例1.写出长为l非均匀细直棒质量积分表示式任一点线密度是长度函数。解解:建立坐标如图,oxlx x+dx则任意一点密度为step1.step2.step3.下面用微元法讨论定积分在几何，物理中一些应用。微元法第40页mathsoft一、曲线弧长概念一、曲线弧长概念（1）分割）分割:（2）近似）近似:（3）求和）求和:总弧长 （4）取极限）取极限:若极限图图1第四节第四节 弧长弧长第四节 弧长第41页mathsoft二、直角坐标情况二、直角坐标情况解解:（图一）弧长微

13、元第四节 弧长第42页mathsoft解解:第四节 弧长第43页mathsoft解解：第四节 弧长第44页mathsoft三、参数方程情况三、参数方程情况第四节 弧长第45页mathsoft解解:第四节 弧长第46页mathsoft四、极坐标情况四、极坐标情况第四节 弧长第47页mathsoft解解:第四节 弧长第48页mathsoft一、变力沿直线所作功一、变力沿直线所作功功微元例例1:第五节第五节 功、水压力和引力功、水压力和引力第五节 功 水压力和引力第49页mathsoft解解:功微元a处电位（场强）称为电场在第五节 功 水压力和引力第50页mathsoft例例2:解解:建立坐标如图动

14、微元第五节 功 水压力和引力第51页mathsoft注:若建立坐标如右图，则计算较烦第五节 功 水压力和引力第52页mathsoft二、水压力（液体侧压力）二、水压力（液体侧压力）解解:压力微元第五节 功 水压力和引力第53页mathsoft例例3:解解:建立坐标如图第五节 功 水压力和引力第54页mathsoft例例4:若在例3中水位为6m时，侧压力为多少？解解:建立坐标如图第五节 功 水压力和引力第55页mathsoft第五节 功 水压力和引力第56页mathsoft三、三、引力引力例例5:第五节 功 水压力和引力第57页mathsoft解解:建立坐标如图第五节 功 水压力和引力第58页m

15、athsoft一、函数平均值一、函数平均值例例:解解:第六节第六节 平均值平均值第六节 平均值第59页mathsoft二、均方根二、均方根定义:函数平方平均值开方成为均方根。如如:比如比如:非恒定电流电器上标明电流值就是指电 流均方根。第六节 平均值第60页mathsoft例例:解解:第六节 平均值第61页mathsoft小结小结:1、几何应用:面积 旋转体,已知平面截 面立体体积平面曲线弧长2、物理应用:做功侧压力引力3、平均值,均方根定积分习题课定积分习题课定积分习题课第62页mathsoft例例1:解解:画图，求出交点 定积分习题课第63页mathsoft例例2:解解:定积分习题课第64

16、页mathsoft例例3:解解:定积分习题课第65页mathsoft定积分习题课第66页mathsoft例例4:解解:方法一方法一:定积分习题课第67页mathsoft方法二方法二:定积分习题课第68页mathsoft例例5:解解:定积分习题课第69页mathsoft例例6:解解:定积分习题课第70页mathsoft例例7:解解:建立坐标如图积分变量定积分习题课第71页mathsoft方向:指向圆弧中点定积分习题课第72页mathsoft例例8:洒水车上水箱是一横放椭圆柱体（如图），当水箱装满水时，计算水箱一个端面所受 压力。解解:取截面,建立坐标如图定积分习题课第73页mathsoft定积分习题课第74页mathsoft例例9:半径为r球沉入水中,球上部与水相切,球 比重与水相同。现将球从水中取出,需做功?解:建立坐标如图定积分习题课第75页mathsoft例例10:解解:定积分习题课第76页mathsoft定积分习题课第77页mathsoft例例11:解解:定积分习题课第78页