微积分02极限市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

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1、西南财经大学经济数学系西南财经大学经济数学系孙疆明孙疆明高等数学高等数学微积分微积分市市精精光光第1页第二讲第二讲 极限极限数列极限数列极限函数极限函数极限极限性质极限性质函数极限存在性函数极限存在性四则运算定理四则运算定理复合函数极限定理复合函数极限定理极限举例极限举例无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量示例示例第2页引例引例人口问题人口问题.人口是一项主要经济指标人口决定着劳动人口是一项主要经济指标人口决定着劳动力，加速资源消耗，增加消费促进生产力，加速资源消耗，增加消费促进生产假如人口以固定增加率假如人口以固定增加率 k 增加，人口会怎样？增加，人口会怎样？k每单位人口在单位时间内能够增

2、加人数每单位人口在单位时间内能够增加人数.kexi第3页银行连续复利计算问题银行连续复利计算问题.问问 题题企业计算资产增值都要考虑与银行利率企业计算资产增值都要考虑与银行利率相相比较比较.连续复利计算就是任何时刻都以一连续复利计算就是任何时刻都以一样利率样利率 r 计算下一时刻资产总值计算下一时刻资产总值Y(t).r一元钱每单位时间产生利息额；设一元钱每单位时间产生利息额；设 r 以年以年为时间单位为时间单位(注意：并非一年后利息为注意：并非一年后利息为 r).第4页要连续计算复利，就要要连续计算复利，就要m不停增大不停增大.高等数学研究函数一个主要情形，就是要考高等数学研究函数一个主要情形

3、，就是要考查函数在自变量一个无限改变过程下结果查函数在自变量一个无限改变过程下结果.函数在自变量一个无限改变过程中，函数在自变量一个无限改变过程中，什么叫无限趋什么叫无限趋向一个常数向一个常数 假如函假如函数值能够无限地趋向一个常数，就叫作函数在这数值能够无限地趋向一个常数，就叫作函数在这个过程中有极限；个过程中有极限；假如不能趋向一个常数，就叫假如不能趋向一个常数，就叫作在这个过程中无极限作在这个过程中无极限(或极限不存在或极限不存在).第5页首先首先,与常数与常数a越来越近越来越近,不是无限趋近不是无限趋近a.其次其次,与常数与常数a一会近，一会远仍可无限趋向一会近，一会远仍可无限趋向a.

4、无限无限(趋向趋向)只能用有限来说明只能用有限来说明.第6页1数列极限数列极限(一一)数列数列1.数列就是整标函数（定义域为自然数集）数列就是整标函数（定义域为自然数集）2.子数列子数列比如比如第7页数列极限概念数列极限概念或或1.定义：定义：第8页 注意注意1 1 注意注意2 2 注意注意3 3 数列极限定义是描述性定义数列极限定义是描述性定义.只能用于验证某数是不是其极限只能用于验证某数是不是其极限,不能用不能用于求极限于求极限.注意注意4 4 极限是一个数极限是一个数极限是什麽？极限是什麽？第9页 注意注意5 5 数列极限几何意义数列极限几何意义或或第10页例例1（2）用定义证实）用定义

5、证实（1）猜加试算）猜加试算（3）关键在解不等式）关键在解不等式第11页证毕证毕第12页怎样克服这个困难？怎样克服这个困难？技巧就在是不是要真解这个不等式呢？技巧就在是不是要真解这个不等式呢？第13页适当放大适当放大更严格地说更严格地说市第14页例例2（2）用定义证实）用定义证实（1）算算看）算算看适当放大适当放大第15页证毕证毕第16页例例3 设设是给定实数是给定实数,用定义证实用定义证实证实证实证毕证毕第17页例例4 用定义证实用定义证实证实证实 注意到注意到对于任意给定对于任意给定要使要使只须使只须使或或故取故取则有则有,对于任意给定对于任意给定存在自然数存在自然数只要只要就有就有证毕证

6、毕第18页第19页市第20页注意注意第21页第22页函数极限函数极限自变量实数，无限改变方式复杂：自变量实数，无限改变方式复杂：第23页实数变量除趋向无穷大无限改变外实数变量除趋向无穷大无限改变外,还能够趋向还能够趋向有限数有限数x0 无限改变无限改变(这是因为稠密这是因为稠密).称趋向称趋向x0.第24页函数在无穷远极限函数在无穷远极限定义定义1:第25页定义定义2定义定义3第26页定义定义1：函数在一点极限函数在一点极限第27页注意注意为什麽要考虑空心邻域？为什麽要考虑空心邻域？考虑空心邻域，是什麽意思？考虑空心邻域，是什麽意思？考虑函数在一点极限时，不考虑函数考虑函数在一点极限时，不考虑

7、函数在该点处是否有定义，定义值是什麽，在该点处是否有定义，定义值是什麽，不过，在附近必须要有定义。不过，在附近必须要有定义。例例第28页定义定义2：（右极限）（右极限）怎样定义单侧极限？怎样定义单侧极限？第29页定义定义3：（左极限）（左极限）第30页观察图形观察图形因为因为所以所以第31页定理定理第32页函数极限几何意义函数极限几何意义第33页()()第34页 按极限定义，要说明数按极限定义，要说明数A是函数某个过程极是函数某个过程极限，就必须说明对任意给定正数限，就必须说明对任意给定正数，存在改变过，存在改变过程中一个程中一个“时刻时刻”(通常与通常与相关相关)，在此时刻后，在此时刻后，有

8、任意自变量对应函数值与常数有任意自变量对应函数值与常数A距离都小于正距离都小于正数数.第35页第36页第37页第38页例例观察知观察知证证证毕证毕第39页例例 用定义证实用定义证实证实证实不妨设不妨设证毕证毕第40页例例 用定义证实用定义证实证证:第41页极限性质极限性质性质性质1:（唯一性）（唯一性）函数极限假如存在，则一定是唯一函数极限假如存在，则一定是唯一.第42页性质性质2:（有界性）（有界性）函数极限假如存在，则函数一定有界函数极限假如存在，则函数一定有界(局部局部).第43页性质性质3:（保号性）（保号性）第44页注意注意:f(x)0推不出极限推不出极限A0.第45页性质性质4:（

9、函数极限与数列极限关系）（函数极限与数列极限关系）证实证实 必要性必要性依据假设依据假设第46页证毕证毕第47页第48页观察图形观察图形第49页显然显然从而从而证实证实证毕证毕第50页性质性质5第51页无穷小性质无穷小性质性质性质1第52页性质性质2第53页第54页四则运算定理四则运算定理第55页证证（3）要证什麽？要证什麽？第56页第57页从而有从而有第58页第59页第60页证证:复合函数极限定理复合函数极限定理要证什麽？要证什麽？第61页第62页注注看证实，从理论上，非此不行！看证实，从理论上，非此不行！看例子：看例子：第63页第64页第65页例例极限计算极限计算解解第66页例例解解第67

10、页解解例例(2)碰到碰到开方能够有理化分离趋向开方能够有理化分离趋向0因子因子.解解例例第68页解解例例解解例例第69页第70页第71页第72页第73页第74页第75页第76页两个极限存在定理两个极限存在定理(准则准则)1.1.夹逼定理夹逼定理:证证：应用极限定义：应用极限定义.第77页第78页例例利用夹逼定理讨论利用夹逼定理讨论考虑能否找到考虑能否找到一个不等式？一个不等式？即第79页由（1）式知将（1）式与（2）式结合起来，得到亦即第80页第81页所以第82页第83页第84页第85页2.2.单调有界定理单调有界定理:第86页证证 只证在只证在(a,x0上单调增加有上界情形上单调增加有上界情

11、形.证毕证毕第87页第88页第89页第90页第91页证法证法2证法证法1证法证法3第92页猜测：猜测：an单调增加单调增加第93页再证有上界再证有上界.第94页e 这个数是定义出来！这个数是定义出来！当当n=100000时，由时，由an计算计算 e 近似值为：近似值为：2.718268237e=2.7182818284590第95页第96页第97页第98页总而言之，我们得到总而言之，我们得到第99页第100页例：银行连续复利计算问题例：银行连续复利计算问题.企业计算资产增值都要考虑与银行利率企业计算资产增值都要考虑与银行利率相比较相比较.连续复连续复利计算就是任何时刻都以一样利率利计算就是任何

12、时刻都以一样利率 r 计算下一时刻资产计算下一时刻资产总值总值Y(t).r一元钱每单位时间产生利息额；设一元钱每单位时间产生利息额；设 r 以年为时间以年为时间单位单位(注意：并非一年后利息为注意：并非一年后利息为 r).第101页第102页第103页第104页第105页第106页第107页第108页第109页第110页定义定义1 1：在某个改变过程中：在某个改变过程中,极限为零极限为零 变量变量,称之为在此改变过程中称之为在此改变过程中 无穷小量（无穷小）无穷小量（无穷小）。无穷小量、无穷大量及其无穷小量、无穷大量及其“阶阶”（一）定义（一）定义第111页比如：比如：第112页注：无穷小量是

13、极限 为零变量！即，绝对值无限变小 变量。无穷小量无穷小量不是不是 绝对值很小数！绝对值很小数！第113页定义定义2 2：在某个改变过程中：在某个改变过程中,绝对值无限变绝对值无限变 大变量大变量,称之为在此改变过程中称之为在此改变过程中 无穷大量（无穷大）无穷大量（无穷大）,记为记为。第114页例例第115页无穷小与无穷大关系无穷小与无穷大关系定理定理第116页第117页11110.0010.0010.0000010.10.0000010.0000010.0000000000010.0110-910-9-910-18-1810-3-3第118页无穷小量比较无穷小量比较(无穷小量阶无穷小量阶)定义：定义：第119页第120页等价无穷小量性质性质性质1：第121页性质性质2：等价代换等价代换第122页几个惯用等价无穷小量第123页例例解解解解第124页第125页第126页第127页解解例例第128页 解解 例例7第129页所以第130页第131页第132页证实证实只须证实什麽？只须证实什麽？利用牛顿二项式定理利用牛顿二项式定理,有有返回第133页依据单调有界数列定理知依据单调有界数列定理知返回第134页依据证实过程可知依据证实过程可知返回第135页星期二3-4节教室F204补课第136页第137页