线性方程组省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

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1、第二章 线性方程组第一节第一节 高斯消元法高斯消元法第二节第二节 n n维向量维向量第三节第三节 矩阵秩矩阵秩第四节第四节 线性方程组解普通理论线性方程组解普通理论第1页线性代数 第二章 线性方程组第2页线性代数 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法第一节 Gauss消元法第3页线性代数 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法例：求解以下线性方程组：第4页线性代数 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法用Gauss消元法能够解普通线性方程组（*），消元结果得到一个与原方程组同解“标准”阶梯形方程组或出现矛盾式，可得以下普通形式：（其中r为阶梯形方程组中方程式个数。）第5页线

2、性代数 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法由阶梯形方程组知原方程组（*）解有以下三种情况：第6页线性代数 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法第7页线性代数 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法分析Gauss消元法过程，能够看出，我们对方程组作了以下三种变换：（1）将一个方程两边同时乘以一个非零常数；（2）将两个方程位置调换；（3）将一个方程倍数加到另一个方程上。这三种变换统称为方程组初等变换，也称为同解变换。第8页线性代数 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法为书写方便，可将未知元，加号以及等号省略，只写方程组（*）系数和常数项，排出以下数表：增广矩阵系数矩

3、阵第9页线性代数 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法第10页线性代数 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法一个线性方程组与其增广矩阵相对应，方程组中每个方程与增广矩阵一行相对应，因而方程组三种初等变换对应于矩阵下述三种行初等变换：（1）将矩阵一行乘以一个非零常数，（2）将矩阵两行交换；（3）将矩阵一行倍数加到另一行上。矩阵经初等变换可化为阶梯形矩阵。所谓行阶梯阵，即为满足以下两个条件矩阵：（1）该矩阵假如有零行（元素全为零行），那么零行位于最下方；（2）非零行非零首元（自左至右第一个不为零元素）列标随行标递增。第11页线性代数 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法将方

4、程组消元成阶梯形方程组就对应为将增广矩阵用行初等变换化为阶梯形矩阵，即：第12页线性代数 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法第13页线性代数 第二章 线性方程组 第1节 Gauss消元法第14页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量第二节 n维向量第15页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量第16页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量向量加法和数乘统称为向量线性运算，满足以下八条运算规律：第17页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量第18页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量第19页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维

5、向量此例结果表明了向量线性表出关系含有传递性。第20页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量二、向量相关性二、向量相关性第21页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量第22页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量第23页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量注：由推论2逆否命题可知，若一个向量组线性无关，那么它任一部分组均线性无关。例5、若一个向量组中包含零向量，则这个向量组线性相关。第24页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量三维空间中向量线性相关性几何意义。第25页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量第26页 线性代数 第二章

6、 线性方程组 第2节 n维向量三、向量组秩三、向量组秩定义、定义、一个向量组一个部分组称为极大线性无关组。假如这个部分组是线性无关，而且从这向量组其余向量（假如有话）中任取一个添进去，所得新向量组都线性相关。注2：若一个向量组是线性无关，那么极大线性无关组即为其本身。第27页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量关于极大线性无关组有以下结论关于极大线性无关组有以下结论：1）一个向量组与它极大线性无关组等价。2）一个向量组任意两个极大线性无关组等价。3）一个向量组极大线性无关组中必含有相同个数向量。定义、一个向量组极大线性无关组所含向量个数称为这个向量组秩。向量组秩结论：向量组秩结论：

7、2）一个向量组秩必大于或等于它任一部分组秩。第28页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量例6、若一个向量组秩为r，则在向量组内，任意r个线性无关向量都组成它一个极大线性无关组。（书P65/18）第29页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量第30页 线性代数 第二章 线性方程组 第2节 n维向量第31页 线性代数 第二章 线性方程组 第3节 矩阵秩第三节 矩阵秩第32页 线性代数 第二章 线性方程组 第3节 矩阵秩一、矩阵秩概念一、矩阵秩概念例1 试求以下矩阵秩第33页 线性代数 第二章 线性方程组 第3节 矩阵秩二、矩阵秩计算二、矩阵秩计算注：一个阶梯形矩阵秩等于它不为

8、零行数。第34页 线性代数 第二章 线性方程组 第3节 矩阵秩定理1、矩阵经过初等变换，它秩不变。第35页 线性代数 第二章 线性方程组 第3节 矩阵秩三、矩阵秩与向量组秩关系三、矩阵秩与向量组秩关系第36页 线性代数 第二章 线性方程组 第3节 矩阵秩定理2、矩阵秩等于它行向量组秩推论1、矩阵秩等于它列向量组秩推论2、将矩阵A用行初等变换化为B，则A列向量组任一部分组与B列向量组对应部分组有相同线性相关性。第37页 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解普通理论 第四节第四节 线性方程组解普通理论线性方程组解普通理论第38页 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解普通

9、理论一、线性方程组解存在定理一、线性方程组解存在定理第39页 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解普通理论尤其地对于齐次方程组有以下结论（A为系数矩阵）例：书第57页例2第40页 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解普通理论二、线性方程组解性质二、线性方程组解性质将线性方程组(*)常数项均改为零，未知数系数不变，得一齐次线性方程组(*)：称之为线性方程组(*)对应齐次线性方程组，或称为线性方程组(*)导出组第41页 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解普通理论线性方程组解有以下性质：第42页 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解普通理论第43页 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解普通理论三、线性方程组解结构三、线性方程组解结构第44页 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解普通理论第45页 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解普通理论第46页 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解普通理论第47页 线性代数 第二章 线性方程组 第4节 线性方程组解普通理论第48页