线性方程组解的结构省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

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1、上页下页10/10/1第1页上页下页10/10/2第2页上页下页版权全部，不得复制。版权全部，不得复制。周学来周学来二八年九月二八年九月尤其申明尤其申明10/10/3第3页第第4页页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组线性代数线性代数Linear Algebra10/10/贵州航天职业技术学院 周学来第4页高等数学高等数学第第5页页第十一章、线性方程组第十一章、线性方程组 第二节 线性方程组解结构 第三节 线性方程组应用 第一节 线性方程组消元法10/10/贵州航天职业技术学院第5页第第6页页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组

2、线性方程组 11.2.1 11.2.1 向量线性相关性向量线性相关性 11.2.2 11.2.2 齐次线性方程组解结构齐次线性方程组解结构11.2.3 11.2.3 非齐次线性方程组解结构非齐次线性方程组解结构 小结小结 11.2 11.2、线性方程组解结构、线性方程组解结构10/10/贵州航天职业技术学院 周学来第6页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组习题习题P289题题1(3)题题2(2)10/10/7第7页11.2 11.

3、2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组概念引入：概念引入：概念引入：概念引入：P283P283P283P2831、行向量：、行向量：对于线性方程组：对于线性方程组：由某一行元素组成行矩阵。由某一行元素组成行矩阵。行向量：行向量：共有共有 m 个：个：向量符号：向量符号：通惯用小写希腊字母表示。通惯用小写希腊字母表示。行向量组：行向量组：由全部行向量组成。由全部行向量组成。向量维数：向量维数：向量中元素个数。向量中元素个数。n 维向量维向量10/10

4、/8第8页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组2、列向量：、列向量：由某一列元素组成列矩阵。由某一列元素组成列矩阵。列向量：列向量：共有共有 n 个：个：列向量组：列向量组：由全部列向量组成。由全部列向量组成。m 维向量维向量10/10/9第9页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方

5、程组线性方程组3、未知向量：、未知向量：由方程组中未知量组成列矩阵。由方程组中未知量组成列矩阵。只有只有 个个n 维向量维向量10/10/10第10页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组4、常数向量：、常数向量：由方程组中常数组成列矩阵。由方程组中常数组成列矩阵。m 维向量维向量只有只有 个个10/10/11第11页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的

6、结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组5 5 5 5、利用向量表示方程组：、利用向量表示方程组：、利用向量表示方程组：、利用向量表示方程组：P283P283P283P283该方程组向量表示为：该方程组向量表示为：10/10/12第12页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组11.1.1 11.1.1 向量线性相关性：向量线性相关性：P275P275都是都是n维向量，维向量，线性组合线性

7、组合线性组合线性组合。若存在一组数若存在一组数，使得，使得则称向量则称向量1、线性组合：、线性组合：例：例：线性组合。线性组合。10/10/13第13页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组2 2 2 2、单位向量：、单位向量：、单位向量：、单位向量：由单位矩阵中某一行元素组成。由单位矩阵中某一行元素组成。3、单位向量组：单位向量组：单位向量组：单位向量组：n 维单位向量维单位向量由全体单位向量组成。由全体单位向量组成。4、任何向量

8、都是单位向量线性组合。任何向量都是单位向量线性组合。任何向量都是单位向量线性组合。任何向量都是单位向量线性组合。10/10/14第14页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组5 5 5 5、线性相关与线性无关：、线性相关与线性无关：、线性相关与线性无关：、线性相关与线性无关：P284P284P284P284设设 n 维向量维向量若存在一组数若存在一组数，使得，使得则称向量组则称向量组是是线性相关线性相关线性相关线性相关。不然，称向量

9、组不然，称向量组是是线性无关线性无关线性无关线性无关。10/10/15第15页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组6 6 6 6、极大线性无关组：、极大线性无关组：、极大线性无关组：、极大线性无关组：P284P284P284P284在向量组在向量组若有若有 r 个向量个向量(r m)线性无关，线性无关，而任意添加一个向量都有是线性而任意添加一个向量都有是线性相关，相关，则称这则称这 r 个向量组成部分向量组为原向个向量组成部分向量

10、组为原向量组量组极大线性无关组极大线性无关组极大线性无关组极大线性无关组，简称极大无关组。，简称极大无关组。10/10/16第16页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组11.2.2 11.2.2 11.2.2 11.2.2 齐次线性方程组解结构：齐次线性方程组解结构：齐次线性方程组解结构：齐次线性方程组解结构：P284P284P284P284非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：矩阵形式为：矩阵形式为：AX齐次线性方程组矩阵形式为：

11、齐次线性方程组矩阵形式为：AX方程组未知量矩阵：方程组未知量矩阵：也称为方程组解向量。也称为方程组解向量。1、线性方程组矩阵表示：、线性方程组矩阵表示：10/10/17第17页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组2 2 2 2、齐次线性方程组非零解性质：、齐次线性方程组非零解性质：、齐次线性方程组非零解性质：、齐次线性方程组非零解性质：P284 P284 P284 P284k1,k2为任意常数，为任意常数，是方程组是方程组 AX两

12、个解向量，两个解向量，也是该方程组解。也是该方程组解。推论：推论：推论：推论：P284 P284 P284 P284k1,k2，为任意常数，为任意常数，是方程组是方程组 AX解向量组，解向量组，也是该方程组解。也是该方程组解。10/10/18第18页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组3、齐次线性方程组基础解系：、齐次线性方程组基础解系：P284(2)方程组方程组AX任一组解向量任一组解向量是方程组是方程组 AX一组解向量，一组解

13、向量，都是向量组都是向量组是线性无关；是线性无关；线性组合，线性组合，则称则称是该方程组基础解系。是该方程组基础解系。10/10/19第19页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组4、齐次线性方程组基础解系所含向量个数：、齐次线性方程组基础解系所含向量个数：P285则方程组有基础解系，则方程组有基础解系，若齐次线性方程组若齐次线性方程组 AX系数矩阵系数矩阵A秩秩且且基础解系所含向量个数等于基础解系所含向量个数等于 nR。R(A)n

14、(R0),注意：注意：5、齐次线性方程组全部解、齐次线性方程组全部解(或普通解或普通解)表示：表示：P285齐次线性方程组齐次线性方程组 AX基础解系不是唯一，基础解系不是唯一，但基础解系所含解向量个数相同。但基础解系所含解向量个数相同。10/10/20第20页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组6、解齐次线性方程组步骤：、解齐次线性方程组步骤：P285例例1、解齐次线性方程组：、解齐次线性方程组：解：第一步：解：第一步：对矩阵对

15、矩阵A 施以初等行变换：施以初等行变换：10/10/21第21页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组10/10/22第22页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组第二步：写出方程组普通解：第二步：写出方程组普通解：其中其中x3、x4为自由未知量为自由未知量(可取任意值可

16、取任意值)。10/10/23第23页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组第三步：写出基础解系：第三步：写出基础解系：将方程组解：将方程组解：写成：写成：10/10/24第24页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组令令 x3k1，xk,其中其中k1、k2可取任意值。可取

17、任意值。10/10/25第25页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组写成矩阵形式写成矩阵形式:10/10/26第26页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组基础解系为：基础解系为：令令:10/10/27第27页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构

18、线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组将上述写出基础解系过程简化为：将上述写出基础解系过程简化为：由方程组解：由方程组解：增设：增设：代入方程组解中代入方程组解中得方程组得方程组基础解系基础解系:10/10/28第28页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组第四步：由基础解系得方程组全部解第四步：由基础解系得方程组全部解:方程组全

19、部解为方程组全部解为:10/10/29第29页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组方程组基础解和全部解另一表示方程组基础解和全部解另一表示:基础解系中含解向量不一定相同，但全部基础基础解系中含解向量不一定相同，但全部基础解系中所含解向量个数解系中所含解向量个数(nR)是相同。是相同。注意：注意：10/10/30第30页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的

20、的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组11.2.3 11.2.3 11.2.3 11.2.3 非齐次线性方程组解结构：非齐次线性方程组解结构：非齐次线性方程组解结构：非齐次线性方程组解结构：P287P287P287P287性质性质1、若若 是方程组是方程组AX一个解，一个解，证实：证实：因为因为A ，eta 艾塔艾塔 1、非齐次与齐次线性方程组解之间关系：、非齐次与齐次线性方程组解之间关系：0 0 是其是其对应方程组对应方程组 AXO(AX导出组导出组)一个解，一个解，则则 0必是方程必是方程组组 AXB 一个解。一个解。A 所以所以 A()A

21、 A O所以所以()是方程组是方程组AX一个解。一个解。10/10/31第31页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组性质、性质、若若 1和和2 是方程组是方程组AX两个解，两个解，证实：证实：因为因为A 1，则则 1 2 是其对应方程组是其对应方程组 AXO一个解。一个解。A 2 B所以所以 A(1 2 )A 1 A 2所以所以 1 2是方程组是方程组AXO一个解。一个解。B BO10/10/32第32页11.2 11.2 11.

22、2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组、非齐次线性方程组解定理：、非齐次线性方程组解定理：P288若若*是方程组是方程组AX一个解，一个解，是其对应方程组是其对应方程组 AXO一个基础解系，一个基础解系，则则 方程组方程组AX全部解为：全部解为：所以所以 是方程组是方程组AXB 一个解。一个解。证实：证实：10/10/33第33页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第

23、十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组例、解线性方程组例、解线性方程组解：解：10/10/34第34页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组10/10/35第35页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组10/10/36第36页11.2 1

24、1.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组10/10/37第37页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组10/10/38第38页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章

25、 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组原方程组解为：原方程组解为：其中其中x4、x5为自由未为自由未知量知量(可取任意值可取任意值)。10/10/39第39页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组原方程组有特解：原方程组有特解：10/10/40第40页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程

26、组线性方程组线性方程组原方程组对应齐次线性方程组原方程组对应齐次线性方程组AXO通解：通解：其中其中x4、x5为自由未为自由未知量知量(可取任意值可取任意值)。10/10/41第41页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组齐次线性方程组基础解系：齐次线性方程组基础解系：10/10/42第42页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一

27、章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组原方程组全部解为原方程组全部解为10/10/43第43页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组线性无关解向量组：线性无关解向量组：、向量线性组合：、向量线性组合：小结、向量线性相关：、向量线性相关：3、齐次线性方程组基础解系：、齐次线性方程组基础解系：4、齐次线性方程组全部解：、齐次线性方程组全部解：5、非齐次线性方程组全部解：、非齐次线性方程组全部解：10/10/44第44页11.2 11.2 11.2 11.2 线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构线性方程组解的的结构上页下页第十一章第十一章第十一章第十一章 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组10/10/45第45页