向量法求异面直线的夹角线面角和二面角省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

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1、第1页 相关角几个概念或范围范范围围平面角平面角空间中角空间中角baO 从一点从一点引出两引出两条射线组条射线组成图形成图形 两条两条直直线夹角线夹角 异面异面直线夹角直线夹角abb Ba a,b b,a、b交于交于O.AOB是是异面直线异面直线a、b 所所成角。成角。a AOall 直线和平直线和平面所成角面所成角l是是l 在平面在平面a内射影内射影,l与与l 夹角是夹角是l 与与a所成角。所成角。二面角二面角OABlaOAl,OBlOA a,OB AOB是二面是二面角角a l 平面角。平面角。第2页abABCD设设异面异面直线直线a、b夹角为夹角为cos=AB,CDcos|=AB CDAB

2、|CD|=AB,CD或或=AB,CD 利用两条直线方向向量夹角利用两条直线方向向量夹角余弦余弦绝对值绝对值为两直线夹角余弦而得。为两直线夹角余弦而得。1 1、求两异面直线所成角求两异面直线所成角第3页2、求直线和求直线和平面所平面所成角成角CBn设直线设直线BA与平面与平面夹角为夹角为，n 为平面为平面法向量法向量,Ag g1 1n 与向量与向量BA 夹角为锐角夹角为锐角g g1 1当当=CBAng g2 2n 与向量与向量BA 夹角为钝角夹角为钝角g g2 2当当=第4页balqn1n2g3.法向量法向量夹角与二面角平面角关系夹角与二面角平面角关系 设设 ,=gn1n2设设a l b平面平面

3、角为角为qq=gbalqn1n2gg 两个平面两个平面法向量法向量在二面角内在二面角内同时同时指向指向或或背离背离。第5页balqn1n2gbalqn1n2g 设设 ,=gn1n2设设a l b平面平面角为角为qq=g 两个平面两个平面法向量法向量在二面角内在二面角内一个一个指向指向另另一个一个背离背离。第6页1GKFEAB1C1D1CDBAzyx例例1：棱长为：棱长为1正方形正方形ABCDA1B1C1D1中中,E,F,G,K分别是分别是棱棱AD,AA1,A1B1,D1D中点，中点，求求A1D与与CK夹角；夹角；DD1与平面与平面EFG所成角；所成角；（用三角函数表示）（用三角函数表示）二面角

4、二面角GEFD1大小大小（用三角函数表示）（用三角函数表示）解：以解：以D为坐标原点为坐标原点DA,DC,DD1 为单位正为单位正交基底建立直角坐标系。交基底建立直角坐标系。第7页GKFEA1B1C1D1CDBAzyxA1(1,0,1)D(0,0,0)C(0,1,0)DA1=(1,0,1),CKcosDA1=|CK|DA1CKDA1 DA1 与与CK夹角为夹角为第8页 DD1与平面与平面EFG所成角；所成角；（用三角函数表示）（用三角函数表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA设面设面EGF法向量法向量=(x,y,z)nn EG=0n EF=0令令x=1,得得=(1,1,1)n第9页zyx

5、GKFEA1B1C1D1CDBADD1=(0,0,1),cosDD1n DD1与平面与平面EFG所成角为所成角为第10页二面角二面角GEFD1大小大小（用三角函数表示）（用三角函数表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由由知面知面GEF法向量法向量=(1,1,1)n而面而面DAD1A1法向量法向量DC=(0,1,0),cosDCn二面角二面角GEFD1为为第11页DBCAszxy解解:建立如图所表示建立如图所表示直角坐标系直角坐标系C(1,1,0),S(0,0,1)AD且且AD 是面SBA法向量法向量设平面设平面SCD法向量法向量n=(x,y,z)例例2.如图如图,在底面是直角梯形四棱锥

6、在底面是直角梯形四棱锥SABCD中中,ABC=90,SA面面ABCD,SA=AB=BC=1,求面求面SCD与面与面SBA所成二面角所成二面角正切值。正切值。DCSDn DC=0n SD=0第12页DBCAszxy即即令令x=1,则则ncosa a=n AD|n|AD|从而从而 tana a第13页例例3在三棱锥在三棱锥DABC中中,底面底面ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形,侧面侧面DBC是等边三角形是等边三角形,平面平面DBC平面平面ABC,AB=AC=4,E,F分别为分别为 BD,AD中点。中点。求二面角求二面角FCED大小；大小；直线直线CE与平面与平面ABC所成角；所成角；O解：找

7、解：找BC中点中点O,连连AO,DOABC是等腰三角形是等腰三角形 DBC是等边三角形是等边三角形AOBC于于ODOBC于于ODO面面ABC故能够以故能够以O为坐标原点为坐标原点OA、OC、OD分别为分别为x,y,z轴建立如图所表示直角坐标系轴建立如图所表示直角坐标系zyxBFEDACABCOxy第14页xOzyBFEDACABCOxy设面设面EFC法向量法向量=(x,y,z)nn CE=0n EF=0由由令令 x=1因因OA面面BCD,故故=(1,0,0)为面为面BCD一个法向量一个法向量m即二面角即二面角FCED大小为大小为第15页直线直线CE与平面与平面ABC所成角；所成角；xOzyBFEDACm=(0,0,1)平面平面ABC法向量为法向量为直线直线CE与平面与平面ABC所成角所成角30第16页