用Matlab求解差分方程问题市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

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1、用用Matlab求解差分方程问题求解差分方程问题一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程三、线性常系数差分方程组三、线性常系数差分方程组第1页一、一阶线性常系数差分方程一、一阶线性常系数差分方程濒濒危物种自然演危物种自然演变变和人工孵化和人工孵化问题问题 Florida沙丘沙丘鹤鹤属于属于濒濒危物种，它在很好危物种，它在很好自然自然环环境下，年均增加率境下，年均增加率仅为仅为1.94%，而在中，而在中等和等和较较差差环环境下年均增加率分境下年均增加率分别为别为-3.24%和和 -3.82%，假如在某自然保，假如在某自然保护护区内开

2、始有区内开始有100只只鹤鹤，建立描述其数量改建立描述其数量改变规变规律模型，并作律模型，并作 数数值计值计算。算。第2页模型建立模型建立记记第第k年沙丘年沙丘鹤鹤数量数量为为xk,年均增加率年均增加率为为r，则则第第k+1年年鹤鹤数量数量为为 xk+1=(1+r)xk k=0,1,2已知已知x0=100,在很好，中等和在很好，中等和较较差自然差自然环环境下境下 r=0.0194,-0.0324,和和-0.0382 我我们们利利用用Matlab编编程，程，递递推后推后观观察沙丘察沙丘鹤鹤数量数量改改变变情况情况第3页Matlab实现实现首先建立一个关于首先建立一个关于变变量量n，r函数函数fu

3、nction x=sqh(n,r)a=1+r;x=100;for k=1:n x(k+1)=a*x(k);end第4页在在command窗口里窗口里调调用用sqh函数函数 k=(0:20);y1=sqh(20,0.0194);y2=sqh(20,-0.0324);y3=sqh(20,-0.0382);round(k,y1,y2,y3)To Matlab（ff6）第5页利用plot 绘图观察数量改变趋势能能够够用不一用不一样线样线型和型和颜颜色色绘图绘图r g b c m y k w 分分别别表示表示 红绿兰兰绿红绿兰兰绿洋洋红红黄黑白色黄黑白色：+o*.X s d 表示不一表示不一样线样线型型

4、 第6页 plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐在同一坐标标系下画系下画图图 plot(k,y2,:)plot(k,y2,-)plot(k,y2,r)plot(k,y2,y)plot(k,y2,y,k,y1,:)plot(k,y2,k,y1,:)plot(k,y2,oy,k,y1,:)用gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在图上做标识。To Matlab（ff6）第7页人工孵化是挽救人工孵化是挽救濒濒危物种危物种办办法之一，假如法之一，假如每年孵化每年孵化5只只鹤鹤放入保放入保护护区，区，观观察在中等自察在中等自然条件下沙

5、丘然条件下沙丘鹤鹤数量怎数量怎样样改改变变Xk+1=aXk+5 ,a=1+r假如我们想考查每年孵化多少只比较适当，能够令Xk+1=aXk+b ,a=1+r第8页function x=fhsqh(n,r,b)a=1+r;x=100;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;end第9页k=(0:20);%一个行向量一个行向量y1=(20,-0.0324,5);%也是一个行向量也是一个行向量round(k,y 1 )%对对k,y1四舍五入，但四舍五入，但%是是 不改不改变变变变量量值值 plot(k,y1)%k y1 是行向量列向量都能是行向量列向量都能够够也能也能够观够观察察发发展展趋势

6、趋势，以及在，以及在较较差条件差条件下下发发展展趋势趋势，也能，也能够够考考查查每年孵化数量每年孵化数量改改变变影响。影响。To Matlab（ff7）第10页高阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程 假如第假如第k+1时时段段变变量量Xk+1不但取决不但取决于第于第k时时段段变变量量Xk，而且与以前，而且与以前时时段段变变量相关，就要用高量相关，就要用高阶阶差分方程来描述差分方程来描述第11页一年生植物繁殖一年生植物繁殖一年生植物春季一年生植物春季发发芽，夏天开花，秋季芽，夏天开花，秋季产产种，没有腐种，没有腐烂烂，风风干，干，没没被人被人为为掠取掠取那些种子能那些种子能够够活活过过冬天

7、，其中一部分能冬天，其中一部分能在第在第2年春季年春季发发芽，然后开花，芽，然后开花，产产种，其种，其中另一部分中另一部分虽虽未能未能发发芽，但如又能活芽，但如又能活过过一个冬天，一个冬天，则则其中一部分可在第三年春其中一部分可在第三年春季季发发芽，然后开花，芽，然后开花，产产种，如此种，如此继续继续，一年生植物只能活一年生植物只能活1年，而近似年，而近似认为认为，种，种子最多能子最多能够够活活过过两个冬天，两个冬天，试试建立数学建立数学模型研究模型研究这这种植物数量改种植物数量改变规变规律，及它律，及它能一直繁殖下去条件。能一直繁殖下去条件。第12页模型及其求解模型及其求解记记一棵植物春季一

8、棵植物春季产产种平均数种平均数为为c,种子能活种子能活过过一个冬天一个冬天(1岁岁种子种子)百分比百分比为为b,活活过过一一个冬天没有个冬天没有发发芽又活芽又活过过一个冬天（一个冬天（2岁岁种种子）百分比仍子）百分比仍为为b,1岁岁种子种子发发芽率芽率a1，2岁岁种子种子发发芽率芽率a2。设设c,a1,a2固定，固定，b是是变变量，考量，考查查能一直繁殖条件能一直繁殖条件记记第第k年植物数量年植物数量为为Xk，显显然然Xk与与Xk-1,Xk-2相关，由相关，由 Xk-1决定部分是决定部分是 a1bcXk-1,由由Xk-2决定部分是决定部分是 a2b(1-a1)bcXk-2 Xk=a1bcXk-

9、1 +a2b(1-a1)bcXk-2 第13页Xk=a1bcXk-1 +a2b(1-a1)bcXk-2实际实际上，就是上，就是Xk=pXk-1+qXk-2 我我们们需要需要知道知道x0,a1,a2,c,考考查查b不一不一样时样时，种子繁，种子繁殖情况。在殖情况。在这这里假里假设设X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20这这么能么能够够用用matlab计计算了算了第14页Xk=a1bcXk-1 +a2b(1-a1)bcXk-2function x=zwfz(x0,n,b)c=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c

10、;x(1)=x0;x(2)=p*(x(1);for k=3:nx(k)=p*(x(k-1)+q*(x(k-2);end第15页k=(0:20);y1=zwfz(100,21,0.18);y2=zwfz(100,21,0.19);y3=zwfz(100,21,0.20);round(k,y1,y2,y3);plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,o),gtext(b=0.18);gtext(b=0.19);gtext(b=0.20)To Matlab（ff8）第16页结果分析：Xk=pXk-1+qXk-2 (1)x1+px0=0 (2)差分方程特征方程差分方程特征方程差分方程特征根：差分方程

11、特征根：方程方程(1)解能够表为解能够表为C1,c2 由初始条件由初始条件x0,x1确定。确定。第17页本例中，用待定系数方法能够求出本例中，用待定系数方法能够求出b=0.18时时,c1=95.64,c2=4.36 ，这么这么实际上，实际上，植物能一直繁殖下去条件是植物能一直繁殖下去条件是b0.191第18页线性常系数差分方程组线性常系数差分方程组汽汽车车租租赁赁企企业业运行运行一家汽一家汽车车租租赁赁企企业业在在3个相个相邻邻城市运行，城市运行，为为方便用方便用户户起起见见企企业业承承诺诺，在一个城市租在一个城市租赁赁汽汽车车能能够够在任意一个城市在任意一个城市偿还偿还。依据。依据经验预计经

12、验预计和和市市场调查场调查，一个租一个租赁赁期内在期内在A市租市租赁赁汽汽车车在在A,B,C市市偿还偿还百分比分百分比分别为别为0.6,0.3,0.1;在在B市租市租赁赁汽汽车车偿还偿还百分比百分比0.2,0.7,0.1;C市租市租赁偿还赁偿还百分比分百分比分别别为为0.1,0.3,0.6。若企。若企业业开开业时业时将将600辆辆汽汽车车平均平均分配到分配到3个城市，建立运行个城市，建立运行过过程中汽程中汽车车数量在数量在3个城市个城市间转间转移模型，并移模型，并讨论时间讨论时间充分充分长长以后改以后改变趋势变趋势。第19页0.60.3A B CA B CA B C假假设设在在每个租每个租赁赁

13、期开期开始能把始能把汽汽车车都都租出去，租出去，并都在并都在租租赁赁期期末末偿还偿还0.10.70.20.10.60.30.1第20页模型及其求解模型及其求解记记第第k个租个租赁赁期末企期末企业业在在ABC市汽市汽车车数量分数量分别为别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第（也是第k+1个租个租赁赁期期开始各个城市租出去汽开始各个城市租出去汽车车数量），很数量），很轻轻易易写出第写出第k+1个租个租赁赁期末企期末企业业在在ABC市汽市汽车车数数量量为为(k=0,1,2,3)第21页用矩用矩阵阵表示表示用用matlab编编程，程，计计算算x(k),观观察察n年以后年以后3个城市汽个城市汽车

14、车数量改数量改变变情况情况第22页function x=czqc(n)A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;x(:,1)=200,200,200;for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);end假如直接看或者假如直接看或者发发展展趋势趋势，能，能够够直接在直接在命令窗命令窗口（口（commond window）作，而不是必）作，而不是必须须编编一个函数一个函数第23页A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;n=10;for k=1:nx(:,1)=200,200,200;x(:,k+1)=A*x(:,k);

15、end round(x)第24页作图观察数量改变趋势 k=0:10;plot(k,x)，gridgtext(x1(k),gtext(x2(k),gtext(x3(k)第25页能能够够看到看到时间时间充分充分长长以后以后3个城市汽个城市汽车车数量数量趋趋于于180，300，120能能够够考考查这查这个个结结果与初始条件是否相关果与初始条件是否相关若最开始若最开始600辆辆汽汽车车都在都在A市，能市，能够够看到改看到改变时间变时间充分充分长长以后，各城市汽以后，各城市汽车车数量数量趋趋于于稳稳定，与初始定，与初始值值无关无关第26页直接输入x（:,1）值即可x(:,1)=600,0,0;round

16、(x);plot(k,x),grid第27页6.6 按年纪分组人口模型按年纪分组人口模型 不一样年纪组繁殖率和死亡率不一不一样年纪组繁殖率和死亡率不一样样.建立差分方程模型，讨论稳定情况下种群增加规律建立差分方程模型，讨论稳定情况下种群增加规律.假设与建模假设与建模 种群按年纪大小等分为种群按年纪大小等分为n个年纪组，记个年纪组，记i=1,2,n 时间离散为时段，长度与年纪组区间相等，记时间离散为时段，长度与年纪组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象.第第i 年纪组年纪组1雌性个体在雌性个体在1时段内时段内繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年纪组在年纪组在1时段内死亡率

17、为时段内死亡率为di,存活率存活率为为si=1-di第28页假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年纪组种群数量年纪组种群数量按年纪组分布向量按年纪组分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年纪组分布按年纪组分布Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)(设最少设最少1个个bi0)第29页按年纪分组种群增加野生或喂养野生或喂养动动物因繁殖而增加，因自然死亡和物因繁殖而增加，因自然死亡和人人为为屠屠杀杀而降低，不一而降低，不一样样年年纪动纪动物繁殖率，死物繁殖率，死亡率有亡率有较较大差异，所以在研究某一个群数量改大差异，所以在研究某一个群数量改变时变时，需要考，需要考虑虑年年纪纪分分组组种群

18、增加。种群增加。将种群按年将种群按年纪纪等等间间隔分成若干个年隔分成若干个年纪组纪组，时间时间也离散化也离散化为时为时段，段，给给定各年定各年纪组纪组种群繁殖率和种群繁殖率和死亡率，建立按年死亡率，建立按年纪纪分分组组种群增加模型，种群增加模型，预测预测未来各年未来各年纪组纪组种群数量，并种群数量，并讨论时间讨论时间充分充分长长以以后改后改变趋势变趋势。第30页模型及其求解模型及其求解设设种群按年种群按年纪纪等等间间隔分成隔分成n个年个年纪组纪组，记记i=1,2,，n,时时段段记记作作k=0,1,2,且年且年纪组纪组区区间间与与时时段段长长度相等度相等(若若5岁为岁为一个年一个年纪组纪组，则则

19、5年年为为一个一个时时段段)。以雌性个体以雌性个体为为研究研究对对象象记记在在时时段段k第第i年年纪组纪组数量数量为为xi(k);第第i年年纪组纪组繁殖繁殖率率为为bi，表示每个个体在一个，表示每个个体在一个时时段内繁殖数量；段内繁殖数量；第第i年年纪组纪组死亡率死亡率为为di，表示一个，表示一个时时段内死亡数段内死亡数与与总总数比，数比，si=1-di是存活率。是存活率。第31页记在时段记在时段k种群各年纪组数量为种群各年纪组数量为X(k)=x1(k),x2(k),xn(k)第32页这这么，有么，有x(k+1)=Lx(k),k=0,1,给给定在定在0时时段，各年段，各年纪组纪组初始数量初始数

20、量x(0)就能就能够预测够预测任意任意时时段段k,各年各年纪组纪组数量数量设设一个群分成一个群分成5个年个年纪组纪组，繁殖率繁殖率b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2存活率存活率s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1各年各年纪组现纪组现有数量都是有数量都是100只，只，用用matlab计计算算x(k)第33页b=0,0.2,1.8,0.8,0.2;s=diag(0.5,0.8,0.8,0.1);L=b;s,zeros(4,1);x(:,1)=100*ones(5,1);n=30;for k=1:nx(:,k+1)=L*x(:,k);end round(x)k=0:30;subplot(1,2,1),plot(k,x),gridTo Matlab（ff9）第34页将将x(k)归归一化后向量一化后向量记记做做x(k),称称为为种群种群按按年年纪组纪组分布向量分布向量，即各年，即各年纪组纪组在在k时时段在段在数量上占数量上占总总数百分比。数百分比。y=diag(1./sum(x);%sum(x)对对列求和列求和Z=x*y Subplot(1,2,2),plot(k,z),grid结结果分析：果分析：时间时间充分充分长长以后，种群按年以后，种群按年纪组纪组分布分布x(k)趋趋向向稳稳定。定。To Matlab（ff9）第35页