随机过程总复习省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

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1、第一章复习内容第一章复习内容一、期望和方差一、期望和方差 1期望期望 设设离散型离散型随机变量随机变量X分布律为分布律为 则则 设设连续型连续型随机变量随机变量X概率密度为概率密度为 ，则则第1页函数期望函数期望 当当 X为为离散型离散型随机变量随机变量则则 当当X为为连续型连续型随机变量，随机变量，则则第2页2.方差方差 计算方差时通惯用以下关系式：计算方差时通惯用以下关系式：称随机变量称随机变量 期望为期望为X方差，即方差，即 第3页3性质性质（1）（2）（3 3）若若X X和和Y Y相互独立，则相互独立，则第4页计算协方差时通惯用以下关系式：计算协方差时通惯用以下关系式：二、协方差二、协

2、方差 第5页三、矩母函数三、矩母函数 1定义定义 为为X矩母函数矩母函数2原点矩原点矩求法求法 称称 数学期望数学期望 利用矩母函数可求得利用矩母函数可求得X各阶矩，即对各阶矩，即对 逐次求导并计算在逐次求导并计算在 点值：点值：第6页3和矩母函数和矩母函数 定理定理1 设相互独立随机变量设相互独立随机变量 矩母函数分别为矩母函数分别为 ，则其和则其和 矩母函数为矩母函数为 两个相互独立随机变量之两个相互独立随机变量之和和矩母函数等于它们矩矩母函数等于它们矩母函数之母函数之积积.第7页 四、特征函数四、特征函数 特征函数特征函数 设设X为随机变量，称复随机变量为随机变量，称复随机变量 数学期望

3、数学期望为为X特征函数，其中特征函数，其中t是实数。是实数。还可写成还可写成 特征函数与分布函数相互唯一确定。特征函数与分布函数相互唯一确定。第8页性质性质则和则和 设相互独立随机变量设相互独立随机变量 特征函数分别为特征函数分别为 ，特征函数为特征函数为 两个相互独立随机变量之两个相互独立随机变量之和和特征函数等于它们特特征函数等于它们特征函数之征函数之积积.第9页练习练习:设随机变量设随机变量X概率密度函数为概率密度函数为试求试求X矩母函数。矩母函数。解：解：第10页练习练习 解解 因为因为 所以所以 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 泊松分布，泊松分布，求求X特征函数。特征函数

4、。第11页条件分布函数与条件期望条件分布函数与条件期望 离散型离散型 若若 ，则称，则称 为在条件为在条件 下，随机变量下，随机变量Y条件分布律。条件分布律。为在条件为在条件 下，随机变量下，随机变量X条件分布律条件分布律。一样一样1、条件分布函数定义、条件分布函数定义 第12页连续型连续型 一样一样称为在条件称为在条件 下，随机变量下，随机变量X条件分布律条件分布律。称为在条件称为在条件 下，随机变量下，随机变量Y条件分布律。条件分布律。注意：分母不等于注意：分母不等于0第13页2、条件期望定义、条件期望定义 离散型离散型 其中其中连续型连续型 其中其中条件概率密度条件概率密度 第14页3、

5、全数学期望公式、全数学期望公式 定理定理 对一切随机变量对一切随机变量X和和Y，有有 连续型连续型 是随机变量是随机变量Y函数，当函数，当 时取值时取值因而它也是随机变量。因而它也是随机变量。离散型离散型 第15页设二维随机向量（设二维随机向量（X，Y）联合概率密度为）联合概率密度为解：解：练习练习:第16页第17页练习练习:对对于随机于随机变变量量X和和Y，满满足条件足条件则则有有练习练习:若随机若随机变变量量X和和Y相互独立相互独立，满满足条件足条件则则有有第18页 一矿工困在矿井中，要抵达安全地带，有三个一矿工困在矿井中，要抵达安全地带，有三个通道可选择，他从第一个通道出去要走通道可选择

6、，他从第一个通道出去要走1个小时可个小时可抵达安全地带，从第二个通道出去要走抵达安全地带，从第二个通道出去要走2个小时又个小时又返回原处，从第三个通道出去要走返回原处，从第三个通道出去要走3个小时也返回个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，原处。设任一时刻都等可能地选中其中一个通道，试问他抵达安全地点平均要花多长时间。试问他抵达安全地点平均要花多长时间。练习练习 解解 设设X表示矿工抵达安全地点所需时间，表示矿工抵达安全地点所需时间，Y 表示表示他选定通道，则他选定通道，则所以所以 第19页第二章复习内容第二章复习内容随机过程分类随机过程分类T离散、离散、I离散离散T离散、离

7、散、I连续连续参数参数T状态状态I分类分类T连续连续、I离散离散T连续连续、I连续连续 Poisson过程是参数过程是参数 状态状态 随机过程随机过程.Brown运动是参数运动是参数 状态状态 随机过程随机过程.离散离散连续连续连续连续连续连续第20页练习练习 袋中放有一个白球，两个红球，每隔袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定每一个确定t对应随机变量对应随机变量试求这个随机过程一维分布函数族。试求这个随机过程一维分布函数族。分析分析先求先求 概率分布概率分布第21页所以所以解解P第22页随机过程数字特征随机过程数字

8、特征 2方差函数方差函数 1均值函数均值函数 3协方差函数协方差函数注注第23页 4自相关函数自相关函数注注第24页 5互协方差函数互协方差函数 6相互关函数相互关函数第25页练习练习解解求求:(1)均值函数均值函数;(2)协方差函数协方差函数;(3)方差函数。方差函数。（1）（2）（3）第26页练习练习解解试求它们互协方差函数。试求它们互协方差函数。所以所以第27页1.严平稳过程严平稳过程定义定义1则则 称为严平稳过程称为严平稳过程若对任意若对任意和任意和任意严平稳过程有限维分布关于时间是平移不变严平稳过程有限维分布关于时间是平移不变.第28页2.宽平稳过程宽平稳过程定义定义2假如它满足：假

9、如它满足：则称则称 为宽平稳过程，为宽平稳过程，简称平稳过程简称平稳过程第29页因为因为均值函数均值函数注注:(3)可等价描述为可等价描述为:第30页注注2注注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。严平稳过程不一定是宽平稳过程。因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。宽平稳过程也不一定是严平稳过程。宽平稳过程也不一定是严平稳过程。因为宽平稳过程只确保一阶矩和二阶矩不随时间因为宽平稳过程只确保一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能确保其有穷维分布不随推移而改变，这当然不能确保

10、其有穷维分布不随时间而推移。时间而推移。第31页性质性质1 平稳过程相关函数性质平稳过程相关函数性质(1)自相关函数性质自相关函数性质性质性质2性质性质3第32页(2)协方差函数性质协方差函数性质性质性质2性质性质3性质性质1第33页练习练习解解:第34页随机变量序列随机变量序列,则则令令练习练习2.若若对对任意任意,增量增量概率分布只依概率分布只依赖赖于于而与而与 无关，无关，则则称随机称随机过过程程为为 。独立增量独立增量过过程程 时齐时齐第35页定义定义3.1.1第三章复习内容第三章复习内容第36页定义定义3.1.2第37页定义定义3.1.2等价定义等价定义显见显见Poisson过程本身

11、不是平稳过程，其增量是过程本身不是平稳过程，其增量是平稳过程。平稳过程。第38页第39页第40页解解:练习练习:第41页设设N(t)是参数为是参数为 Poisson过程过程,事件发生时刻事件发生时刻 在在已知已知N(t)=2条件下联合概率密度为条件下联合概率密度为_.练习练习:第42页主要结论主要结论第43页解解:没被维修过概率没被维修过概率练习练习:维修过一次概率维修过一次概率第44页例例1解解设用户抵达某商场过程是泊松过程设用户抵达某商场过程是泊松过程,已知平均每小时已知平均每小时有有30人抵达人抵达,求以下事件概率求以下事件概率:两个用户相继抵达时两个用户相继抵达时间间隔间间隔:(1)超

12、出超出2分钟分钟;(2)在在1分钟到分钟到3分钟之间分钟之间.若以分钟为单位若以分钟为单位,用户抵达数是强度为用户抵达数是强度为 泊松泊松过程过程.则用户抵达时间间隔则用户抵达时间间隔 服从参数为服从参数为 指数分布指数分布,其密度函数为其密度函数为 故故第45页例例2：一剪发师在一剪发师在t=0时开门营业时开门营业,设用户按强度为设用户按强度为泊松过程抵达泊松过程抵达.若每个用户剪发需要若每个用户剪发需要a分钟分钟,a是正是正常数常数.求第二个用户抵达后不需等候就马上剪发求第二个用户抵达后不需等候就马上剪发概率及抵达后等候时间概率及抵达后等候时间S平均值平均值.解：解：设第一个用户抵达时间为

13、设第一个用户抵达时间为T1，第二个用户，第二个用户抵达时间为抵达时间为T2。令。令X2=T2-T1，则第二个用户抵达，则第二个用户抵达后不需等候等价于后不需等候等价于 X2a。由定理知由定理知X2服从参数为服从参数为 指数分布，故指数分布，故等候时间等候时间第46页考虑一特定保险企业全部赔偿，设在考虑一特定保险企业全部赔偿，设在0,t 内投保内投保死亡人数死亡人数N(t)是发生率为是发生率为 泊松过程。设泊松过程。设 是第是第n个投保人赔偿价值，个投保人赔偿价值，独立同分布。独立同分布。表示表示0,t 内保险企业必须付出内保险企业必须付出全部赔偿。全部赔偿。练习练习:第47页解：解：第48页第

14、四章 更新过程1.更新过程定义更新过程定义 设Xn,n1是独立同分布非负随机变量，分布函数为F(x)，且F(0)1，令记称N(t),t0更新过程更新过程。第49页2、更新函数、更新函数 令令M(t)=EN(t)，称，称M(t)为更新函数。为更新函数。Theorem：第50页3.更新方程更新方程 设设M(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为为更新函数，其导数称为更新密度，记为m(t)，则则其中其中 是是 密度函数。密度函数。第51页 定义（更新方程）定义（更新方程）以下形式积分方程称以下形式积分方程称为更新方程为更新方程其中其中H(t)，F(t)为已知，且当为已知，且当t0时，时，H(t)，

15、F(t)均为均为0，当，当H(t)在任何区间上有界时称此方程为在任何区间上有界时称此方程为适定更新方程，简称更新方程适定更新方程，简称更新方程。第52页更新方程解更新方程解 定理：定理：设更新方程中设更新方程中H(t)为有界函数，则为有界函数，则方程存在惟一在有限区间内有界解方程存在惟一在有限区间内有界解第53页更新定理更新定理1、初等更新定理初等更新定理设 ，则第54页2、布莱克威尔、布莱克威尔(Blackwell)定理定理设F(x)为非负随机变量X分布函数 (1)若F(x)不是格点，则对任意a0，有(2)若F(x)是格点，周期为d，则P在nd处发生更新轻易看出，初等更新定理是轻易看出，初等

16、更新定理是BlackwellBlackwell定理定理特殊情况。特殊情况。第55页记记 ，设，设h(t)0满足满足(1)h(t)非负不增；非负不增；(2)。H(t)是更新方程是更新方程解。那么解。那么（1）若）若F(x)不是格点不是格点3、关键更新定理、关键更新定理第56页（2）若）若F(x)是格点，对于是格点，对于注：注：关键更新定理与布莱克威尔关键更新定理与布莱克威尔(Blackwell)定理是等价性定理是等价性第57页第五章复习内容第五章复习内容马尔可夫性即无后效性马尔可夫性即无后效性.状态分类及性质是重点状态分类及性质是重点互通互通,类类,不可约不可约,周期等概念周期等概念.第58页状

17、态状态i非常返非常返常返常返正常返正常返零常返零常返第59页第60页平稳分布与极限分布平稳分布与极限分布(重点重点)第61页研究状态关系研究状态关系(重点重点)第62页练习：设马氏链状态空间为练习：设马氏链状态空间为1,2,一步转移矩阵为一步转移矩阵为解解:第63页练习：设马氏链状态空间为练习：设马氏链状态空间为1,2,一步转移矩阵为一步转移矩阵为解解:状态转移图如右状态转移图如右:第64页第65页练习：设马氏链状态空间为练习：设马氏链状态空间为1,2,一步转移矩阵为一步转移矩阵为解解:显然显然,此链含有遍历性。此链含有遍历性。由由解得解得第66页练习：设马氏链状态空间为练习：设马氏链状态空间

18、为1,2,3,一步转移矩阵为一步转移矩阵为解解:第67页练习：设马氏链状态空间为练习：设马氏链状态空间为1,2,3,一步转移矩阵为一步转移矩阵为解解:第68页(2)经两步转移后处于状态经两步转移后处于状态3概率为概率为第69页设马氏链状态空间为设马氏链状态空间为1,2,3,4,一步转移矩阵为一步转移矩阵为试研究其状态关系试研究其状态关系.解解:状态转移图以下状态转移图以下:练习练习第70页第71页故状态故状态1与与2都是正常返状态都是正常返状态,又因周期都是又因周期都是1,故都为故都为遍历状态遍历状态.故状态故状态3是非常返状态是非常返状态.故状态故状态4是吸收状态是吸收状态.第72页练习练习

19、设马氏链状态空间为设马氏链状态空间为1,2,一步转移矩阵为一步转移矩阵为解：解：第73页练习练习 设马氏链状态空间为设马氏链状态空间为1,2,一步转移矩阵为一步转移矩阵为解解:第74页第六章复习内容第六章复习内容了解上鞅了解上鞅,下鞅下鞅,鞅定义鞅定义第75页 、上鞅 上鞅 、下鞅 下鞅 上鞅 下鞅 上鞅 下鞅 上鞅 下鞅 下鞅 上鞅第76页若若为为下鞅，下鞅，为为上鞅，上鞅，则则有有()为为下鞅下鞅 A为为上鞅上鞅 B为为下鞅下鞅 C为为上鞅上鞅 D练习练习:第77页第七章复习内容第七章复习内容Brown运动定义运动定义第78页(1)(2)(3)(4)第79页(5)(6)第80页(7)(8)

20、(9)第81页解解:练习练习第82页主要结论主要结论Brown运动含有运动含有Markov性性Brown桥定义桥定义,原定反射原定反射Brown运动定义运动定义,几何几何Brown运动定义运动定义,有漂移有漂移Brown运动定义运动定义第83页练习练习:计算计算Brown桥均值桥均值,方差方差,协方差函数协方差函数.解解:第84页利用标准布朗运动矩母函数利用标准布朗运动矩母函数计算几何布朗运动计算几何布朗运动均值函数与方差函数均值函数与方差函数.练习练习:解解:第85页练习练习:计算有漂移计算有漂移Brown运动均值运动均值,方差方差,协方差函数协方差函数.解解:第86页有漂移有漂移Brown运动运动第87页