圆内接四边形的性质和判定定理省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

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1、1普通高中课程数学选修普通高中课程数学选修4-1 第二讲第二讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系第1页圆心角度数等于它所正确弧度数。圆心角度数等于它所正确弧度数。同弧或等弧所正确圆周角相等同弧或等弧所正确圆周角相等;同圆或等圆中同圆或等圆中,相等圆周角所正确弧也相等相等圆周角所正确弧也相等.半半 圆圆(或直径或直径)所正确圆周角是直角所正确圆周角是直角;90圆周角所正确弦是直径圆周角所正确弦是直径.圆上一条弧所正确圆上一条弧所正确圆周角圆周角等于它所正确等于它所正确圆心角二分之一圆心角二分之一。圆周角定理圆周角定理圆心角定理圆心角定理推论推论1推论推论2【温故知新温故知新】第2页 假如多边

2、形全部顶点都在一个圆上假如多边形全部顶点都在一个圆上.那么这个多边那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形外接圆多边形外接圆.ABCDOABCDADBCDABC思索思索:任意三角形都有外接圆任意三角形都有外接圆.那么那么 任意正方形有外接圆吗任意正方形有外接圆吗?为何为何?任意矩形有外接圆吗任意矩形有外接圆吗?为何为何?等腰梯形呢等腰梯形呢?为何为何?普通地普通地,任意四边形都有外接圆吗任意四边形都有外接圆吗?为何为何?需要具备需要具备什么样什么样条件呢？条件呢？1.【圆内接四边形性质圆内接四边形性质】第3页 直接研究较困难，那么我们能够先从问题反面思索：

3、直接研究较困难，那么我们能够先从问题反面思索：假如一个四边形内接于圆，那么这么四边形有什么特征？假如一个四边形内接于圆，那么这么四边形有什么特征？我们应该从哪些角度来思索呢？我们应该从哪些角度来思索呢？ABCDOABCDADBCDABC 观察下面这组图中四边形都内接于圆观察下面这组图中四边形都内接于圆.你能从你能从中发觉这些四边形共同特征吗？中发觉这些四边形共同特征吗？1.【圆内接四边形性质圆内接四边形性质】第4页DABC如图（如图（1）连接OA,OC.则B=,D=性质定理性质定理1 圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补.将线段将线段AB延长到点延长到点E,得到图（得到图（2）（1）DAB

4、CE（2）性质定理性质定理2 圆内接四边形外角等于它内角对角圆内接四边形外角等于它内角对角.1.【圆内接四边形性质圆内接四边形性质】第5页第6页性质定理性质定理1逆命题：逆命题：假如一个四边形对角互补假如一个四边形对角互补,那么它四个顶点共圆那么它四个顶点共圆.性质定理性质定理1逆命题：逆命题：假如四边形一个外角等于它内角对角，那么这个四边形假如四边形一个外角等于它内角对角，那么这个四边形四个顶点共圆四个顶点共圆.性质定理性质定理1 圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补性质定理性质定理2 圆内接四边形外角等于它内角对角圆内接四边形外角等于它内角对角.上述定理逆定理是什么？它们成立吗？应上述

5、定理逆定理是什么？它们成立吗？应该怎样来证实呢？该怎样来证实呢？思索思索31.【圆内接四边形性质圆内接四边形性质】第7页假设假设：四边形：四边形ABCD中，中，B+D=180求证求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）在同一圆周上（简称四点共圆）.分析：分析：不共线三点确定一个圆，经过不共线三点确定一个圆，经过A A、B B、C C三点能够做一个圆三点能够做一个圆O,O,假如能由条件得出圆假如能由条件得出圆O O过过D D就证实了就证实了.（1）显然，点显然，点D D与圆有且只有三种位置关系：与圆有且只有三种位置关系：（1 1）点）点D D在圆外；在圆外；（2 2）点）点D D在圆内；

6、在圆内；（3 3）点）点D D在圆上；在圆上；CABDO2.【圆内接四边形判断定理圆内接四边形判断定理】第8页假设假设：四边形：四边形ABCD中，中，B+D=180求证求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）在同一圆周上（简称四点共圆）.CABDO证实：证实：(1)假如点假如点D在在 O外部外部.（1）AEC+B=180得得AEC=D这与这与“三角形外角大于任意不相邻内角三角形外角大于任意不相邻内角”矛盾矛盾.故点故点D不可能在圆外不可能在圆外.E因因D+B=180设设E是是AD与圆周与圆周 交点，连接交点，连接EC,则有则有点点D D在内部在内部怎么证实？怎么证实？2.【圆内接四边形

7、判断定理圆内接四边形判断定理】第9页假设假设：四边形：四边形ABCD中，中，B+D=180求证求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）在同一圆周上（简称四点共圆）.ABCDO（2）(2)假如点假如点D在在 O内部内部.B+ADC=180E=ADC总而言之，点总而言之，点D只能在圆周上，即只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆四点共圆.E点点D不可能在不可能在 O内内.延长延长AD交圆于点交圆于点E,连接连接CE,则则B+E=180这一样与这一样与“三角形外角大于任意不相邻内角三角形外角大于任意不相邻内角”矛盾矛盾.2.【圆内接四边形判断定理圆内接四边形判断定理】第10页圆内接四边形判定

8、定理圆内接四边形判定定理 ：假如一个四边形对角互补假如一个四边形对角互补,那么它四个顶点共圆那么它四个顶点共圆.当问题结论存在各种情形时当问题结论存在各种情形时,经过对每一个情经过对每一个情形分别论证形分别论证,最终获证结论方法最终获证结论方法-穷举法穷举法推论推论 ：假如四边形一个外角等于它内角对角，那么它四个假如四边形一个外角等于它内角对角，那么它四个顶点共圆顶点共圆.DABCE2.【圆内接四边形判断定理圆内接四边形判断定理】第11页返回返回 悟一法悟一法 判定四点共圆方法常有：判定四点共圆方法常有：(1)假如四个点与一定点距离相等，那么这四个点假如四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆

9、共圆 (2)假如一个四边形一组对角互补，那么这个四边假如一个四边形一组对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆形四个顶点共圆 (3)假如一个四边形一个外角等于它内对角，那假如一个四边形一个外角等于它内对角，那么这个四边形四个顶点共圆么这个四边形四个顶点共圆 (4)假如两个三角形有公共边，公共边所正确角相等假如两个三角形有公共边，公共边所正确角相等且在公共边同侧，那么这两个三角形四个顶点共圆且在公共边同侧，那么这两个三角形四个顶点共圆第12页思维拓展圆内接平行四边形一定是_形圆内接梯形一定是_形圆形内接菱形一定是_形 矩形等腰梯形正方形第13页例例3 3 如图，如图，CF是是ABCAB边上高，边上高

10、，FP BC,FQ AC.求证求证：A,B,P,Q四点共圆四点共圆AFBPQC证实：证实：连接连接PQ。在四边形在四边形QFPC中，中，FP BC FQ AC.FQA=FPC=90.Q,F,P,C四点共圆。四点共圆。QFC=QPC.又又CF AB QFC与与QFA互余互余.而而A与与QFA也互余也互余.A=QFC.A=QPC.A,B,P,Q四点共圆四点共圆第14页习题习题2.21.AD,BE是是ABC两条高，两条高，求证：求证：CED=ABC.2.求证：对角线相互垂直四边形中，各边中点在同求证：对角线相互垂直四边形中，各边中点在同 一个圆周上。一个圆周上。CABED3.如图，已知四边形如图，已

11、知四边形ABCD内接于圆，延长内接于圆，延长AB和和DC相相 交于交于E,EG平分平分E,且与且与BC,AD分别相交于分别相交于F,G.求证：求证：CFG=DGF.ABEFGDC第15页性质定理性质定理1 圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补.性质定理性质定理2 圆内接四边形外角等于它内角对角圆内接四边形外角等于它内角对角.圆内接四边形判定定理圆内接四边形判定定理 ：假如一个四边形对角互补假如一个四边形对角互补,那么它四个顶点共圆那么它四个顶点共圆.推论推论 ：假如四边形一个外角等于它内角对角，那么它四个假如四边形一个外角等于它内角对角，那么它四个顶点共圆顶点共圆.【本节收获本节收获】第1

12、6页返回返回 悟一法悟一法 (1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角相等或互圆内接四边形性质定理为几何论证中角相等或互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供了补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供了一个新路径一个新路径 (2)在解相关圆内接四边形几何问题时，既要注意性在解相关圆内接四边形几何问题时，既要注意性质定理利用，也要注意判定定理利用，又要注意二者综质定理利用，也要注意判定定理利用，又要注意二者综合利用合利用(3)结构全等或相同三角形，以到达证实线段相结构全等或相同三角形，以到达证实线段相等、角相等或线段成百分比等目标等、角相等或线段成百分比等目标第17页 5、如图，已知四边形是圆内接四边形，是、如图，已知四边形是圆内接四边形，是 直径，直径，且且EBAD,AD与与BC得延长线相交于得延长线相交于F，求证：求证：证实：证实：连结连结 AC,ACB=DAB弧弧AB=弧弧BD，ACB=DAB.四边形四边形ABCD是圆内接四边形，是圆内接四边形，FCD=DAB,FDC=ABC.ACB=FCD.ABC与与ABC相同相同.即证即证.备选例题第18页教材习题答案教材习题答案习题2.2（第30页）BACOED第19页ABHDGCFEADGBCFE第20页欢迎下次再来！欢迎下次再来！第21页