线性代数总复习和典型例题省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

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1、线性代数总复习线性代数总复习第1页第一章第一章 行列式行列式第2页二阶行列式计算方法二阶行列式计算方法第一节第一节 n阶行列式定义阶行列式定义三阶行列式计算方法三阶行列式计算方法沙路法沙路法第3页一些惯用行列式结果：一些惯用行列式结果：1.1.2.2.3.3.第4页4.4.kkkkmmmmbbbb*aaaaDLMMLLMMLLMML111111110=*1111mmmmaaaaLMML=.1111kkkkbbbbLMML第5页行列式与它转置行列式相等行列式与它转置行列式相等.性质性质1.1行列式某一行（列）中全部元素行列式某一行（列）中全部元素公因子能够提到行列式符号外面公因子能够提到行列式符

2、号外面 性质性质1.2式为零。式为零。推论推论推论推论1 1行列式某一行（列）中全部元素都行列式某一行（列）中全部元素都乘以同一数乘以同一数 k，等于用数，等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论2 2假如行列式中有一行假如行列式中有一行(列列)为零，那么行列为零，那么行列第二节第二节 行列式性质行列式性质第6页对换行列式两行（列）对换行列式两行（列）,行列式变号行列式变号.性质性质1.3则此行列式为零则此行列式为零.推论推论推论推论假如行列式有两行（列）完全相同，假如行列式有两行（列）完全相同，百分比，那么行列式为零百分比，那么行列式为零 性质性质1.4假如行列式中有两行（列）对

3、应成假如行列式中有两行（列）对应成第7页假如行列式某一行（列）元素都是假如行列式某一行（列）元素都是则则D等于以下两个行列式之和：等于以下两个行列式之和：比如第比如第i 行元素都是两数之和行元素都是两数之和 性质性质1.5两数之和，两数之和，第8页同一数然后加到另一行同一数然后加到另一行(列列)对应元素上去，行列对应元素上去，行列 把行列式某一行（列）各元素乘以把行列式某一行（列）各元素乘以 性质性质1.6式不变式不变(倍加运算倍加运算)计算行列式惯用方法：计算行列式惯用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式值

4、从而算得行列式值第9页第三节第三节 行列式按行行列式按行(列列)展开展开数余子式乘积，即数余子式乘积，即引理引理一个一个n阶行列式，假如第阶行列式，假如第i 行全部元素除行全部元素除外都为零，外都为零，与它代与它代那么这个行列式等于那么这个行列式等于定理定理定理定理1.31.3式某行式某行(列列)元素与另一行元素与另一行(列列)对应元素代数余子对应元素代数余子行列式某行行列式某行(列列)全部元素与其对应全部元素与其对应代数余子式乘积之和等于该行列式值。代数余子式乘积之和等于该行列式值。式乘积之和等于零。式乘积之和等于零。行列行列第10页行列式按行（列）展开法则是把高阶行行列式按行（列）展开法则

5、是把高阶行列式计算化为低阶行列式计算主要工具列式计算化为低阶行列式计算主要工具.第11页第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第12页一、矩阵概念一、矩阵概念 由由 个数个数称为称为m行行n列列矩阵矩阵,简称简称 矩阵矩阵.定义定义定义定义2.12.1排成排成m行行n列数表列数表其中其中 个数称为矩阵个数称为矩阵A元素，数元素，数称为矩阵称为矩阵A第第i 行第行第j 列元素列元素.1.矩阵基本概念矩阵基本概念第13页 加法加法 数与矩阵相乘数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘 方阵幂方阵幂 转置矩阵转置矩阵 对称及反对陈矩阵对称及反对陈矩阵 方阵行列式方阵行列式1.矩阵基本运算：矩阵基本

6、运算：二、矩阵运算二、矩阵运算第14页2.矩阵运算规律：矩阵运算规律：加法：加法：数乘：数乘：第15页（其中其中 为数）为数）;乘法：乘法：方阵幂运算：方阵幂运算：（2）（1）注意：注意：第16页转置运算：转置运算：第17页由由n阶方阵阶方阵A元素元素按原相对位置按原相对位置所组成所组成定义定义定义定义2.12.1称为方阵称为方阵A行列式，记作行列式，记作行列式，行列式，3.方阵行列式及其性质方阵行列式及其性质方阵行列式满足以下规律：方阵行列式满足以下规律：（2）（3）（设（设A、B为为n阶方阵，阶方阵，为数）为数）（1）第18页.列标列标三、逆矩阵三、逆矩阵1.基本概念基本概念定义定义定义定

7、义2.82.8对于对于n阶方阵阶方阵A，假如存在一个，假如存在一个n阶方阵阶方阵B使得使得则称则称B是是A逆矩阵，并称矩阵逆矩阵，并称矩阵A是可逆矩阵或满秩是可逆矩阵或满秩矩阵，或非奇异矩阵矩阵，或非奇异矩阵,记为记为说明说明 若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A逆矩阵是逆矩阵是唯一唯一.注意注意第19页各元素各元素aij 代数余子式代数余子式Aij 组成以下组成以下n阶方阵阶方阵称为矩阵称为矩阵A伴随矩阵伴随矩阵.定义定义定义定义2.92.9设有设有n阶方阵阶方阵由行列式由行列式 中中 注意注意:伴随阵伴随阵与原矩阵与原矩阵A元素位置对应关系元素位置对应关系.第20页定理定理定理定理2.12

8、.1设设A为为n阶方阵，阶方阵，A*为其伴随矩阵，则为其伴随矩阵，则2.基本定理基本定理定理定理定理定理2.22.2设设A为为n阶方阵，则阶方阵，则A可逆可逆推论推论推论推论设设A、B 都是都是n阶方阵，阶方阵，第21页3.可逆矩阵性质可逆矩阵性质第22页(1)利用定义利用定义（普通适合用于证实题普通适合用于证实题）(3)待定系数法待定系数法(4)初等变换法初等变换法:步骤以下步骤以下4.逆矩阵计算方法逆矩阵计算方法第23页设方阵设方阵分块对角矩阵性质分块对角矩阵性质则则 1.2.四、分块矩阵四、分块矩阵第24页特殊地，假如特殊地，假如是对角矩阵是对角矩阵当且仅当当且仅当都不为零时，都不为零时

9、，是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且第25页矩阵初等变换包含矩阵初等变换包含3 3种：对换变换、数乘变换种：对换变换、数乘变换和倍加变换。这三种初等变换过程都是可逆，和倍加变换。这三种初等变换过程都是可逆，且其逆变换是同一类型初等变换且其逆变换是同一类型初等变换.列标列标五、矩阵初等变换与初等矩阵五、矩阵初等变换与初等矩阵1.初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵定理定理定理定理2.32.3 设设A是一个是一个 非零矩阵，那么非零矩阵，那么A一定一定能够经过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最能够经过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最简形，再进行初等列变换化为以下标准形：简形，再进行初等列变换化为以下标

10、准形：其中其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行行数就是行阶梯形矩阵中非零行行数.第26页注意：注意：初等变换不改变矩阵可逆性。初等变换不改变矩阵可逆性。对于任何一个非零矩阵对于任何一个非零矩阵,都能够先进行初等行变换化都能够先进行初等行变换化为行阶梯形及行最简形为行阶梯形及行最简形,再进行初等列变换化为标准形再进行初等列变换化为标准形.第27页A右边乘以对应右边乘以对应n阶初等矩阵阶初等矩阵.定理定理定理定理2.42.4设设A是一个是一个 矩阵，对矩阵，对A 施行一次施行一次初等行变换，相当于在初等行变换，相当于在A左边乘以对应左边乘以对应m阶阶初等矩阵；对初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于

11、在施行一次初等列变换，相当于在n阶方阵阶方阵A可逆充要条件是存在有限可逆充要条件是存在有限定理定理定理定理2.52.5个初等矩阵个初等矩阵第28页六、矩阵秩六、矩阵秩求矩阵秩方法求矩阵秩方法(1)利用定义：寻找矩阵中非零子式最利用定义：寻找矩阵中非零子式最高阶数高阶数(2)初等变换法：把矩阵用初等行变换初等变换法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行行数就是矩阵秩中非零行行数就是矩阵秩第29页对于对于n阶方阵阶方阵A，假如，假如A秩等于秩等于n，则称则称A为满秩矩阵，不然称为降秩矩阵为满秩矩阵，不然称为降秩矩阵.A为可逆矩阵为可逆矩阵.对于

12、对于n阶方阵阶方阵A，以下命题等价：，以下命题等价：(1)A为满秩矩阵；为满秩矩阵；(2)(3)(4)第30页第三章 线性方程组第31页()nAR=()nAR有没有穷多解有没有穷多解.b bAx=非齐次线性方程组非齐次线性方程组(1)无解无解(2)而且通解中有而且通解中有n-r个自由未知量个自由未知量.其中其中()()BRAR=有解有解:第32页非齐次线性方程组非齐次线性方程组详细解法：详细解法：(1)对增广矩阵对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较比较 以及以及n之间大小关系，从而判断之间大小关系，从而判断方程组解情况：无解，唯一解，无穷解。方程组解情

13、况：无解，唯一解，无穷解。(2)在判断有解情况下，继续对行阶梯形矩阵施在判断有解情况下，继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应线性方程组进行求解。假如方程组有没有穷多对应线性方程组进行求解。假如方程组有没有穷多个解，需写出通解形式。个解，需写出通解形式。第33页当当m=n 时，时，n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组有惟一解充分必要条件是系数矩阵有惟一解充分必要条件是系数矩阵A行列式行列式推论推论推论推论第34页()nAR=()nAR齐次线性方程组齐次线性方程组 一定有解：一定有解：(1)(2)而且通解中有而且通解中有

14、n-r个自由未知量个自由未知量.只有零解只有零解有非零解有非零解第35页齐次线性方程组齐次线性方程组详细解法：详细解法：(1)对系数矩阵对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较比较 与与n之间大小关系，从而判断方程组解之间大小关系，从而判断方程组解情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。(2)继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应线性方程组进行求解。行最简形，并写出最简形对应线性方程组进行求解。假如方程组有没有穷多个解，需写出通解形式。假如方程组

15、有没有穷多个解，需写出通解形式。第36页推论推论推论推论1 1 当当m=n 时，时，(1)齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)只有零只有零解解(2)齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)有非零解有非零解推论推论推论推论2 2 当当m n 时，时，即方程个数小于未知量个数时，即方程个数小于未知量个数时，齐次线性方程组齐次线性方程组(3.2)必有非零解必有非零解.第37页第四章第四章 向量组线性向量组线性 相关性相关性第38页定义定义定义定义4.54.5 设设n维向量维向量假如存在一组数假如存在一组数使得使得则称向量则称向量是向量组是向量组线性组合或称向线性组合或称向可由向量组可由向量组线性表示

16、线性表示.量量第二节第二节 向量组线性相关性向量组线性相关性一、线性表示一、线性表示第39页定理定理定理定理4.14.1向量向量可由向量组可由向量组线性表示线性表示充分必要条件是矩阵充分必要条件是矩阵秩等秩等于矩阵于矩阵秩，即秩，即 说明：说明：判断某个向量是否可由某向量组线性表判断某个向量是否可由某向量组线性表示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵秩是否相取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵秩是否相等，所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩等，所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵来处理阵为阶梯形矩阵来处

17、理.第40页定义定义定义定义4.74.7 对于对于n维向量组维向量组假如存在一组假如存在一组不全为零数不全为零数则称向量组则称向量组线性相关线性相关.假如上式只有当假如上式只有当时才成立时才成立,则称向量组则称向量组线性无关线性无关.二、线性相关与线性无关二、线性相关与线性无关第41页定理定理定理定理4.24.2 于是判断某向量组线性相关性，可归结为齐次线性于是判断某向量组线性相关性，可归结为齐次线性方程组是否有非零解，从而取决于方程组系数矩阵方程组是否有非零解，从而取决于方程组系数矩阵秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数矩阵秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数矩阵为阶梯形矩阵来处理为

18、阶梯形矩阵来处理.第42页充分必要条件是它所组成矩阵充分必要条件是它所组成矩阵行列式等于零，即行列式等于零，即向量组线性无关充分必向量组线性无关充分必推论推论推论推论1 1 若若 则则n 个个n 维向量维向量线性相关线性相关要条件是要条件是推论推论推论推论2 2即向量组中向量个数大于向量维数时，即向量组中向量个数大于向量维数时，若若向量组必线性相关向量组必线性相关.第43页(1)向量组向量组线性相关线性相关(A)中最少有一个向量能由其余中最少有一个向量能由其余线性相关，则向量线性相关，则向量定理定理定理定理4.34.3充分必要条件是：充分必要条件是：线性无关，而向量组线性无关，而向量组(2)设

19、向量组设向量组向量线性表示向量线性表示.一定可由向一定可由向量组量组(A)线性表示，且表示式是惟一线性表示，且表示式是惟一.三、相关定理三、相关定理第44页定义定义定义定义4.84.8设有向量组设有向量组是是(A)部分向量组部分向量组,假如假如(1)线性无关；线性无关；(2)对于向量组对于向量组(A)中任何一个向量中任何一个向量 都有都有 线性相关，则称线性相关，则称 为向量为向量组组(A)一个一个极大线性无关组极大线性无关组，简称极大无关组，简称极大无关组.注意：注意：在条件在条件(1)下，下，(2)和下述条件等价：和下述条件等价：对于向量组对于向量组(A)中任何一个向量中任何一个向量 都可

20、由都可由线性表出线性表出.第三节第三节 极大线性无关组极大线性无关组第45页定义定义定义定义4.94.9 向量组向量组 极大性无关组极大性无关组所含向量个数，称为所含向量个数，称为向量组秩向量组秩，记为，记为 推论推论推论推论n阶方阵阶方阵A可逆充分必要条件是可逆充分必要条件是 A行行(列列)向量组线性无关向量组线性无关.向量组秩求法：向量组秩求法：经过求向量组组成矩阵秩来经过求向量组组成矩阵秩来求该向量组秩及其极大线性无关组求该向量组秩及其极大线性无关组.第46页第四节第四节 线性方程组解结构线性方程组解结构一、齐次线性方程组解结构一、齐次线性方程组解结构(4.1)定理定理定理定理4.74.

21、7假如假如n元齐次线性方程组（元齐次线性方程组（4.1）系数）系数矩阵矩阵A秩秩 则方程组（则方程组（4.1）基础）基础(证实略证实略)解系一定存在，且基础解系含解向量个数为解系一定存在，且基础解系含解向量个数为 第47页齐次线性方程组基础解系求法齐次线性方程组基础解系求法（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为 最简形最简形第48页因为因为令令（2）得出）得出 ，同时也可知方程组一，同时也可知方程组一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关解向量个线性无关解向量第49页故故为齐次线性方程组一个基础解系为齐次线性方程组一个基础解系.齐次线性方程组通解为齐次线性

22、方程组通解为第50页二、非齐次线性方程组解结构二、非齐次线性方程组解结构（4.5）性质性质4.4导出组导出组(4.1)解解.为为(4.5)解，则解，则 是其是其 性质性质4.5解，则解，则 设设 为为(4.5)解，解，是其导出组是其导出组(4.1)也是也是(4.5)解解.第51页定理定理定理定理4.84.8设设 是非齐次方程组是非齐次方程组(4.5)一个取定解一个取定解(称为特解称为特解)，是其导出组（是其导出组（4.1）通解，则方程组）通解，则方程组(4.5)通解为通解为说明：说明：此定理表明此定理表明非齐次方程组通解非齐次方程组通解 =齐次方程组通解齐次方程组通解 +非齐次方程组特解非齐次

23、方程组特解 第52页第五章第五章特征值、特征向量特征值、特征向量及矩阵对角化及矩阵对角化 第53页一、一、向量内积向量内积定义定义定义定义5.15.1设有设有n 维向量维向量 内积内积令令长度长度范数范数定义定义定义定义5.25.2正交正交第54页定义定义定义定义5.45.4定理定理定理定理5.25.2向量都是单位向量且两两正交向量都是单位向量且两两正交矩阵矩阵A为正交矩阵充要条件是为正交矩阵充要条件是 A 列列(行行)第55页求矩阵特征值与特征向量步骤：求矩阵特征值与特征向量步骤：二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量 第56页定理定理定理定理5.35.3注意：注意：属于不一样特征值特征向

24、量是线性无关属于不一样特征值特征向量是线性无关矩阵特征值与特征向量性质：矩阵特征值与特征向量性质：特征值惯用结果：特征值惯用结果：第57页普通矩阵可对角化判定方法及求解：普通矩阵可对角化判定方法及求解：1.它们重数依次为它们重数依次为 2.个线性无关特征向个线性无关特征向量，则矩阵量，则矩阵A可对角化，不然，不能对角化。可对角化，不然，不能对角化。解系，假如基础解系中含有解系，假如基础解系中含有3.当当A可对角化时，将全部基础解系中特征向量可对角化时，将全部基础解系中特征向量组成矩阵组成矩阵应与应与P中列向量排列次序相对应中列向量排列次序相对应 次序次序三、相同矩阵与对角化三、相同矩阵与对角化

25、第58页1.它们重数依次为它们重数依次为 2.个线性无关特征向量再把它们正交个线性无关特征向量再把它们正交正交化、单位化正交化、单位化 解系，得解系，得 个两两正交单位特征向量个两两正交单位特征向量 故总共可得故总共可得n个两两正交个两两正交单位特征向量单位特征向量 实对称阵对角化方法实对称阵对角化方法把这把这n个两两正交单位特征向量组成正交阵个两两正交单位特征向量组成正交阵 3.次序应与次序应与P中列向量排列次序相对应中列向量排列次序相对应 第59页第六章第六章 二次型二次型重点掌握怎样用正交变换法化二次型为标准型。重点掌握怎样用正交变换法化二次型为标准型。第60页经典题型经典题型书本上例题书本上例题P10 eg1.7,eg1.8P38 eg2.12,eg2.13P56 习题19,20P66 eg3.2,eg3.3,eg3.4P85 eg4.6，eg4.8P90 eg4.12,eg4.13P98 eg4.18P111 eg5.6，eg5.7P130 eg6.3(1)(2)P135 习题2(1)第五章第四节黑板上例题第五章第四节黑板上例题第61页