偏微分方程的建立市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

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1、偏微分方程建立运输方程建立弦振动方程建立热传导方程建立泊松方程建立Depart.Math.,USTC宣本金第1页偏微分方程导出-运输方程1.运输方程（石油管道运输、南水北调）Depart.Math.,USTC宣本金第2页偏微分方程导出-运输方程Depart.Math.,USTC宣本金第3页偏微分方程导出-运输方程运输方程 ut+cux=0水平管道内有一个流体（比如，水）以恒定速度c流动水中含有某物质（如，污染物），以u（x,t）记其含量方程意义：污染物含量改变率ut正比于其梯度uxDepart.Math.,USTC宣本金第4页偏微分方程导出-运输方程 0 b u(x,t)c ch b+ch污染

2、物在t时刻、区间0,b内总量 M=0bu(x,t)dx=chb+chu(x,t)dx对b求导可得 u(b,t)=u(b+ch,t+h)对h求导，并令h=0,可得 0=cux+utDepart.Math.,USTC宣本金第5页偏微分方程导出-运输方程高维运输方程Depart.Math.,USTC宣本金第6页偏微分方程导出-振动方程2.弦振动方程（小提琴、吉他、二胡）Depart.Math.,USTC宣本金第7页偏微分方程导出-振动方程 u(x,t)0 l T(x1,t)ux 1 T(x0,t)x0 x1 Depart.Math.,USTC宣本金第8页偏微分方程导出-振动方程物理假设：柔软、均匀、

3、细小弹性弦作微小横振动柔软 张力方向指向弦切线方向均匀 弦线密度为常数 细小 重力忽略不计微小横振动 u,ux很小Depart.Math.,USTC宣本金第9页偏微分方程导出-振动方程物理定律：牛顿第二定律 F=ma纵向 横向 Depart.Math.,USTC宣本金第10页偏微分方程导出-振动方程数学简化 泰勒展开式微分可得Depart.Math.,USTC宣本金第11页偏微分方程导出-振动方程张力T大小为常数Depart.Math.,USTC宣本金第12页偏微分方程导出-振动方程弦振动方程变种空气阻力 正比于 速度横向弹性力 正比于 位移系统受外力Depart.Math.,USTC宣本金第

4、13页偏微分方程导出-振动方程弦振动方程其它起源CRL电路 R C L物理量：电流u(x,t),电容 C，电阻 R，电感 L，电漏 G物理定律：Kirchhoff定律Depart.Math.,USTC宣本金第14页偏微分方程导出-振动方程CRL电路方程理想传输线：R=G=0 Depart.Math.,USTC宣本金第15页偏微分方程导出-振动方程高维振动方程-鼓面（薄膜）振动Depart.Math.,USTC宣本金第16页偏微分方程导出-振动方程物理假设 水平方向没有运动，Du(x,y,z,t)为竖直方向位移平面区域 D，边界 物理定律牛顿第二定律Depart.Math.,USTC宣本金第17

5、页偏微分方程导出-振动方程数学化简Green公式弹性张力大小为常数Depart.Math.,USTC宣本金第18页偏微分方程导出-扩散方程扩散方程油滴、墨渍等在水中扩散 x0 x1管内从x0到x1扩散物质总质量及其改变率Depart.Math.,USTC宣本金第19页偏微分方程导出-扩散方程物理定律Fick扩散定律 扩散物从浓度高区域向浓度低区域扩散，扩散速度正比于浓度梯度 流入量-流出量Depart.Math.,USTC宣本金第20页偏微分方程导出-扩散方程数学简化对x1求导，得到扩散方程Depart.Math.,USTC宣本金第21页偏微分方程导出-扩散方程高维扩散方程对任意区域D，有等式

6、由区域任意性，可得Depart.Math.,USTC宣本金第22页偏微分方程导出-热传导方程热传导方程 u(x,y,z,t)表示温度，H(t)表示区域D内总热量，c为比热，为密度热量改变率 Depart.Math.,USTC宣本金第23页偏微分方程导出-热传导方程物理定律-傅里叶热传导定律 热量总是从温度高区域流向温度低区域，流速正比于温度梯度，所以，沿区域D边界热量流出流入量为能量守恒定律Depart.Math.,USTC宣本金第24页偏微分方程导出-热传导方程数学化简散度定理由区域任意性，可得微分方程Depart.Math.,USTC宣本金第25页偏微分方程导出-泊松方程波动或扩散稳态方程

7、 u(x,y,z,t)不依赖于t，则ut=0 u=0静电场 qDepart.Math.,USTC宣本金第26页偏微分方程导出-薛定谔方程氢原子薛定谔波函数方程 m电子质量，e电子电量，普朗克常数除以2，坐标原点为质子位置，波函数u（x,y,z,t）满足薛定谔方程Depart.Math.,USTC宣本金第27页偏微分方程导出-薛定谔方程物理意义：在量子力学中，物理量不能够准确测定，只能以概率形式测定，积分 表示电子出现在区域D内概率，Depart.Math.,USTC宣本金第28页偏微分方程导出-薛定谔方程薛定谔波函数方程 被认为是公理，而不是由其它更为简单定律推论；它解释了为何原子结构是稳定，

8、不会塌陷；波尔观察到氢原子中电子能级；理论上，它能够解释原子和分子结构以及其化学性质。（多粒子薛定谔方程变量太多，而不好解。）Depart.Math.,USTC宣本金第29页偏微分方程导出-麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组电磁学基石 电磁学表述了带电粒子之间相互作用：带电粒子产生电场E，运动带电粒子产生磁场B。真空中麦克斯韦方程组（齐次）Depart.Math.,USTC宣本金第30页偏微分方程导出-麦克斯韦方程组数学化简真空中电场E和磁场B满足波动方程Depart.Math.,USTC宣本金第31页偏微分方程导出-麦克斯韦方程组非真空中麦克斯韦方程组（非齐次）Depart.Math.,USTC宣本金第32页