湖北武汉市部分重点中学联考2024年高一下学期6月期末数学试题含答案.pdf

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1、 第1页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 武汉市部分重点中学武汉市部分重点中学 20232024 学年度下学期期末联考学年度下学期期末联考 高一数学试卷高一数学试卷 命审题单位：武汉六中数学学科组命审题单位：武汉六中数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心审题单位：圆创教育研究中心 湖北省武昌实验中学湖北省武昌实验中学 本试卷共本试卷共 5 页，页，19 题满分题满分 150 分考试用时分考试用时 120 分钟分钟 考试时间：考试时间：2024 年年 6月月 26 日下午日下午 14：0016：00 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项：注意事项：1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答

2、题卡上，并将准考证号条形码贴在答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置答题卡上的指定位置 2 选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效纸和答题卡上的非答题区域均无效

3、4 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分在每小题所给的四个选项中，只分在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的）1.已知复数 z满足()1i2z=，则复数 z 的虚部为（）A i B.1 C.2i D.2 2.已知向量a与b的夹角为30，3a=，2b=，则ab=（）A.1 B.23 C.23+D.13 3.已知一组数据 8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的 25%分位数是（）A.3.5 B.4 C.4.5

4、D.5 4.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为()1,2,3,4,5ix i=，平均数为x，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为()1,2,3,4iy i=，平均数为y，下面说法正确的是（）A.新数据的极差不可能等于原数据的极差 B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数 C.若xy=，则新数据的方差一定小于原数据方差.第2页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 D.若xy=，则新数据的第 40百分位数一定大于原数据的第 40百分位数 5.天工开物是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的

5、粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为 20cm，高为 20cm首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 1cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦每位同学制作四片瓦，全年级共 1000 人，需要准备的粘土量（不计损耗）约为（）（参考数据：3.14）A.31.3m B.31.5m C.31.8m D.32.2m 6.已知 m，n异面直线，m平面，n平面，直线 l满足 l m，l n，,l,l则（）A.且l B.且l C.与 相交，且交线垂直于l D.与 相交，且交线平行于l 7.如图，在平面四边形 ABCD中，ADCD，ACBC，3

6、0DAC=，45BAC=，现将ACD沿 AC折起，并连接 BD，使得平面ACD 平面 ABC，若所得三棱锥DABC的外接球的表面积为8，则三棱锥DABC的体积为（）A.14 B.34 C.38 D.33 8.已知棱长为 4 的正方体1111ABCDABC D，点E是棱AB的中点，点F是棱1CC的中点，动点P在正方形11AADD（包括边界）内运动，且1/PB平面DEF，则PD的长度范围为（）为 第3页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 A.13,19 B.3 35,2 55 C.12 17,2 517 D.3 39,195 二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题小题，每

7、小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）分）9.供电部门对某社区 100位居民 6月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为)0,10，)10,20，)20,30，)30,40，40,50五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有关这 100位居民，下列说法正确的是（）A.6 月份人均用电量人数最多的一组有 40人 B.6 月份人均用电量在)30,40内的有 30人 C.6 月份人均用电量不低于 20 度的有

8、50人 D.在这 100位居民中用比例分配的分层随机抽样方法抽取 10 位居民协助收费，抽到的居民用电量在)20,30一组的人数为 3 10.将一个直径为 8cm铁球磨制成一个零件，能够磨制成的零件可以是（）A.底面直径为 8cm，高为 6cm的圆柱体 B.底面直径为 6cm，高为 4cm的圆锥体 C.底面边长为 4cm，高为 6cm的正四棱柱 D.棱长为 6cm的正四面体 11.已知圆锥 SO底面半径为 10cm，其母线 SA 长 40cm，底面圆周上有一动点 B，下列说法正确的有（）A.截面 SAB的最大面积为2100 15cm 的的 第4页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 B.若3A

9、OB=，则直线 SB 与平面 SOA夹角的正弦值为14 C.当三棱锥OSAB的体积最大时，其外接球的表面积为21700 cm D.若CSA，且10cmCA=，一只小蚂蚁从 A 点出发绕侧面一周到达 C 点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为 18cm 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12.在ABC中，60BAC=，3AB=，2AC=，若 D为 BC 边的中点，则AD=_ 13.某水平放置的平面图形 ABCD的斜二测直观图是梯形A B C D （如图所示），已知A DB C ，45A B C =，112A DA

10、 BB C =，将该平面图形绕其直角腰 AB 边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为_ 14.如图所示，某甜品店将上半部是半球（半球的半径为 2），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为 4）的冰淇淋模型放到橱窗内展览，托盘是边长为 6的等边三角形 ABC 金属片沿三边中点 D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面 DEF 的距离为_ 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）骤）15.在锐角ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且2 cosc

11、oscosaAbCcB=（1）求角 A的大小；（2）若2 3a=，求bc+的取值范围 16.如图，在四棱锥PABCD中，平面ABCD平面PAB，ABDC，ABBC，4AB=，2BCDC=，3PAPB=，点 M为 PB的中点 第5页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：CM 平面 PAD；（2）求二面角PBDC的余弦值 17.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式某直播平台 1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示 （1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽

12、取 60 个直播商家进行问询交流如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的 60 个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题：估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；若将平均日利润超过 430 元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数 18.如图所示，在三棱锥OABC中，OABC，OBAC （1）证明：OCAB；第6页/共6页 学科网（北京）股份有限公

13、司（2）若ABC是边长为 2等边三角形，点 O到平面 ABC的距离为2 63试问直线 OB 与平面 ABC所成夹角是否为定值，若是则求出该夹角的余弦值；若不是请说明理由；（3）在（2）的条件下，取 OB中点为 P，并取一点 Q 使得()01AQAC=当直线 PQ与平面ABC所成角的正切值最大时，试求异面直线 OQ与 PC 所成角的余弦值 19.已知数据1x，2x，nx的平均数为x，方差为2xs，数据1y，2y，ny的平均数为y，方差为2ys类似平面向量，定义 n维向量()12,nOPxx xxxx=，()12,nOQyyyyyy=的模()21niiOPxx=，()21niiOQyy=，数量积(

14、)()1niiiOP OQxxyy=若向量OP 与OQ所成角为，有恒等式cosOP OQOP OQ=，其中*nN，2n （1）当2n=时，若向量()3,4OP=，()5,12OQ=，求OP 与OQ所成角的余弦值；（2）当3n=时，证明：2222212333xsxxxx=+；1122333OP OQx yxyxyxy=+；（3）当*nN，2n 时，探究()2OP OQ 与222211nniiiixnxyny=的大小关系，并证明 的 第1页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 武汉市部分重点中学武汉市部分重点中学 20232024 学年度下学期期末联考学年度下学期期末联考 高一数学试卷高一数学试

15、卷 命审题单位：武汉六中数学学科组命审题单位：武汉六中数学学科组 审题单位：圆创教育研究中心审题单位：圆创教育研究中心 湖北省武昌实验中学湖北省武昌实验中学 本试卷共本试卷共 5 页，页，19 题满分题满分 150 分考试用时分考试用时 120 分钟分钟 考试时间：考试时间：2024 年年 6月月 26 日下午日下午 14：0016：00 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项：注意事项：1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置答题卡上的指定位置 2 选择题的作答：每小

16、题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效纸和答题卡上的非答题区域均无效 4 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分

17、，共分，共 40 分在每小题所给的四个选项中，只分在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的）1.已知复数 z满足()1i2z=，则复数 z 的虚部为（）A.i B.1 C.2i D.2【答案】D【解析】【分析】先求出z，再结合虚部定义可解【详解】()1i2z=，则212iiz=，则12zi=+，虚部为2 故选：D.2.已知向量a与b的夹角为30，3a=，2b=，则ab=（）A.1 B.23 C.23+D.13【答案】A【解析】【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得.第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【详解】()2222cos3

18、0ababaabb=+33232412=+=.故选：A.3.已知一组数据 8，4，7，6，5，3，9，10，则这组数据的 25%分位数是（）A.3.5 B.4 C.4.5 D.5【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，结合百分位数定义可解【详解】数据从小到大排序：3，4，5，6，7，8，9，10，共 8 个，则8 25%2=，则这组数据的 25%分位数是：454.52+=故选：C.4.在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为()1,2,3,4,5ix i=，平均数为x，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为()1,2,3,4iy i=，平均数为y，下面说法正确的是（）A.新数据的极差

19、不可能等于原数据的极差 B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数 C.若xy=，则新数据的方差一定小于原数据方差 D.若xy=，则新数据的第 40百分位数一定大于原数据的第 40百分位数【答案】B【解析】【分析】根据极差、中位数、平均数和方差的概念，以及百分位数的概念及计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】对 A：若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差等于原数据的极差，故 A 错误；对 B：不妨假设12345xxxxx，故 B正确；对 C：若正四棱柱底面边长为 4，则底面外接圆半径为2 2，第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 此时球心到正四棱柱底面的距离

20、为()2242 22 2=，故正四棱柱的高最大时为4 26，故 D正确 法二：若将各棱长均为6cm的四面体放入到棱长为3 2的正方体中，此时正方体的外接球直径为3 3 23 68=，故 D 符合，故 D正确.故选：BD.11.已知圆锥 SO的底面半径为 10cm，其母线 SA长 40cm，底面圆周上有一动点 B，下列说法正确的有（）A.截面 SAB的最大面积为2100 15cm B.若3AOB=，则直线 SB 与平面 SOA夹角的正弦值为14 C.当三棱锥OSAB的体积最大时，其外接球的表面积为21700 cm D.若CSA，且10cmCA=，一只小蚂蚁从 A 点出发绕侧面一周到达 C 点，先

21、上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为 18cm【答案】ACD【解析】【分析】对 A，关键在于考虑ASB正弦的大小；对 B，只需作出线面角即可；对 C，当三棱锥 O-SAB 体积最大值，三棱锥可以补成长方体；对 D，可以将圆锥侧展开考虑.【详解】对 A，因为1sin4OAASOSA=，所以ASB 为锐角，第9页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以2122100 15cm2SABSOASSSO OA=，A 正确；对 B，如图，取 OA 中点 H，则 BHOA，又 BHSO，所以 BH面 SOA，所以BSH为直线 SB与平面 SOA 所成的角，所以5 33sin408BHBSHBS

22、=，B 错误；对 C，易知当三棱锥 O-SAB 体积最大时，OB面 SOA，此时三棱锥可以补成以 OA，OB，OS 为三相邻边的长方体，所以外接球直径222210 17cmROAOBOS=+=，外接球表面积为2241700cmR=，C正确；对 D，将三棱锥侧面展开如下，扇形弧长为20 cm，所以2ASA=；过 S作 SDA C于 D，则所求路径即为 CD 的长：由40cmSA=，SC=30cm，所以A C=50cm，且218cmSCCDA C=，D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：(1)过三棱锥顶点作三棱锥截面，由于母线长是确定的，所以截面面积取决于顶角的大小；(2)几何法求线面角大小，

23、关键作出斜线在平面上的投影；(3)“墙角式”三棱锥外接球为补成长方体体对角线中点；(4)立体几何路径最短问题，往往需要展成一个平面后解决 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）.第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 12.在ABC中，60BAC=，3AB=，2AC=，若 D为 BC 边的中点，则AD=_【答案】192#1192【解析】【分析】借助向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得.【详解】由 D 为 BC边的中点，则()12ADABAC=+，则()2221+241=6os 02cADABACABACAB AC

24、=+221119322 3 2222=+=.故答案为：192 13.某水平放置的平面图形 ABCD的斜二测直观图是梯形A B C D （如图所示），已知A DB C ，45A B C =，112A DA BB C =，将该平面图形绕其直角腰 AB 边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为_ 【答案】3 5【解析】【分析】结合斜二测法可得圆台上、下底面半径及母线长度，结合圆台性质与圆锥的侧面积公式计算即可得该圆台的侧面积.【详解】由题可得22ABA B=，1ADA D=，2BCB C=，90ABC=，则所得圆台上底面为以AD为半径的圆，下底面为以BC为半径的圆，高为AB，其母线为()2222

25、15CD=+=，故其侧面积()()1253 5SADBCCD=+=+=.故答案为：3 5.14.如图所示，某甜品店将上半部是半球（半球的半径为 2），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为 4）的冰淇淋模型放到橱窗内展览，托盘是边长为 6的等边三角形 ABC 金属片沿三边中点 D，E，F的连线向上折 第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面 DEF 的距离为_ 【答案】362+【解析】【分析】画出底面展开图，由几何关系得到图中边长关系，由正弦定理可得232r=，再由三角形相似得到23MO=，最后求出结果即可.【详解】设上面球心为1O，ABC的圆心为2O

26、，ABC三点在底面投影的正三角形111ABC的中心为3O，圆锥的顶点为M，EF边中点为N，连接,DN BN，则112,4O PO M=，3BE=，由几何关系可得123,O O O三点共线，由题意可得133 36222BNDN=，111113222ABEBEFBE=，在几何体中，设ABC的外接圆半径为2r，则由正弦定理可得223322sin602rr=，即232BO=，由21MBOMPO可得2211MOBOMOPO=，所以2232342MOMO=，第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以半球面上的最高点到平面 DEF的距离为23 332463622MOBN+=+=+，故答案为：362

27、+.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）骤）15.在锐角ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且2 coscoscosaAbCcB=（1）求角 A的大小；（2）若2 3a=，求bc+的取值范围【答案】（1）3 （2）(6,4 3【解析】【分析】（1）根据题意，结合正弦定理及诱导公式，即可求得1cos2A=，得角即可；（2）由正弦定理，将边全部化为角，利用三角函数来求值域即可【小问 1 详解】根据题意得，2 coscoscosaAbCcB=，由正弦定理得，2s

28、in cossin cossincosAABCCB=，即sin cossin cossin()2sincosCBBCBCAA+=+=，即sin()sin2sincosBCAAA+=，因为(0,)2A，则sin0A则12cos A=，则1cos2A，(0,)A，则3A=【小问 2 详解】由正弦定理得，2 34sinsinsin32abcABC=，所以4sin4 in,sbB cC=所以4(sinsin)4sinsin()bcBCBAB+=+=+，334sincos6sin2 3cos22BBBB=+=+第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 4 3sin6B=+，因为锐角ABC，则020

29、2BC，即022032BB，解得62B 则2363B+，故3sin126B+所以64 3bc+，则bc+的取值范围(6,4 3 16.如图，在四棱锥PABCD中，平面ABCD平面PAB，ABDC，ABBC，4AB=，2BCDC=，3PAPB=，点 M为 PB的中点 （1）求证：CM 平面 PAD；（2）求二面角PBDC的余弦值【答案】（1）答案见解析 （2）147【解析】【分析】（1）根据中点特征，平面 PAD内找一条与CM平行的直线，运用中位线性质和平行线传递性，证明线线平行，最终得到线面平行即可；（2）运用中点特征，作辅助线找出二面角的平面角后，转化用余弦定理来解三角形即可【小问 1 详解

30、】如图，取PA中点N，连接,DN MN 第14页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 由于点 M为 PB的中点，则MNAB，且ABDC，且12MNDCAB=，故四边形MNDC为平行四边形，则CMDN.又DNPAD 平面，CMPAD 平面，则CM 平面 PAD【小问 2 详解】如图，由于平面ABCD平面PAB，AB为两平面交线，且ABBC，BC平面ABCD，则BC平面PAB，PB 平面PAB，则BCPB，2213PCBPCP=+=；取AB中点 O，连接 DO，OP，则DCBO，/DCBO，且OBBC，则四边形 DOBC为正方形，则/DOBC，由（1）知道，BC平面PAB，故DO 平面PAB 又

31、3PAPB=，则OPBA，则,OP OD OB两两垂直 可以求得222 2DBDCBC=+=，225OPPBBO=，223DPDOPOBP=+=，则PBD和CBD都为等腰三角形.取 DB中点 R，连接 CR，RP，则PRDB,CRDB 则CRP即为二面角 PBDC 的平面角.227RPPBBR=，222CRCBBR=，前面已经求得，13PC=CRP中，用余弦定理得，222271314cos27227CRRPPCCRPCRRP+=由图可知，二面角PBDC为钝角，则余弦值为147 17.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式某直播平台 1200个直播商家

32、，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示 在 第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 （1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取 60 个直播商家进行问询交流如果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的 60 个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题：估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；若将

33、平均日利润超过 430 元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数【答案】（1）小吃类24家，生鲜类9家 （2）中位数为 342.9，平均数为 352.5；168【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可；（2）根据中位数和平均数的定义计算即可；根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可.【小问 1 详解】()601 25%15%10%5%5%24=，60 15%9=，所以应抽取小吃类24家，生鲜类9家；【小问 2 详解】根据题意可得()0.001 30.0030.0050.007501a+=，解得0.002a=，设中位数为x，因为()0.001 0.

34、003500.2+=，()0.001 0.0030.007500.55+=，所以()3000.0070.20.5x+=，解得342.9x，平均数为：()225 0.001275 0.003325 0.007375 0.005425 0.002475 0.001 525 0.00150352.5+=，所以该直播平台商家平均日利润的中位数为 342.9，平均数为 352.5.第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 4504300.0020.001 0.00150 120016850+=,所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为168.18.如图所示，在三棱锥OABC中，OABC，OBAC （

35、1）证明：OCAB；（2）若ABC是边长为 2 的等边三角形，点 O 到平面 ABC的距离为2 63试问直线 OB与平面 ABC 所成夹角是否为定值，若是则求出该夹角的余弦值；若不是请说明理由；（3）在（2）的条件下，取 OB中点为 P，并取一点 Q 使得()01AQAC=当直线 PQ与平面ABC所成角的正切值最大时，试求异面直线 OQ与 PC 所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）33 （3）23【解析】【分析】（1）过O作OH 平面ABC于点H，利用线面垂直的性质和判定定理即可证明；（2）找到线面角即为OBH，再利用勾股定理和余弦性质即可；（3）首先利用线面角定义证明Q和N重合时，

36、直线 PQ 与平面 ABC 所成角的正切值最大，再证明该四面体为正四面体，最后利用余弦定理即可.【小问 1 详解】过O作OH 平面ABC于点H，延长AH交BC于点M，延长BH交AC于点,N BC 平面ABC，第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 则,OHBC BCOA OHOAO=，,OH OA平面OAH，则BC平面OAH，AH 平面,OAHBCAH，同理由ACOB可证明,ACBHH为ABC的垂心，ABCH，因为OH 平面ABC，AB平面ABC,ABOH，又,CHOHH CH OH=平面OHC，则AB平面OHC.OC 平面,OHCABOC.【小问 2 详解】OH 平面ABC，则直线O

37、B与平面ABC所成的角即为OBH，ABC等边三角形，边长为 2，则232 32 62,3233BHOH=，222 32 6233OB=+=，所以直线 OB 与平面 ABC所成夹角是定值，且2 333cos23BHOBHOB=，直线 OB 与平面 ABC 所成夹角的余弦值为33.【小问 3 详解】取BH的中点G，连PG和GQ，P为OB的中点/PGOH，1623PGOH=，OH 平面,ABCPG平面ABC，PQG即为直线PQ与平面ABC所成角63tanPGPQGGQGQ=最大时，即GQ最小.由题意知GQGN，则GQ最小时，Q和N重合时，取BN中点D，连接,PD DC PC，则/,PDONDPC即为

38、异面直线ON与PC所成的角，为 第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 在DBC中，3,30,22DBDBCBC=，由余弦定理得22333722 22222DC=+=，同（2）中OB的求法可得2OAOCOB=，结合底面是为 2的等边三角形，则该四棱锥为正四面体，则3ONPC=，又DPC中，1322PDON=，则由余弦定理得373244cos33232DPC+=.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是首先根据线面角的定义找到线面角，再找到其正切最大的状态，最后结合余弦定理即可得到答案.19.已知数据1x，2x，nx的平均数为x，方差为2xs，数据1y，2y，ny的平均数为y，方差为2ys

39、类似平面向量，定义 n维向量()12,nOPxx xxxx=，()12,nOQyyyyyy=的模()21niiOPxx=，()21niiOQyy=，数量积()()1niiiOP OQxxyy=若向量OP 与OQ所成角为，有恒等式cosOP OQOP OQ=，其中*nN，2n （1）当2n=时，若向量()3,4OP=，()5,12OQ=，求OP 与OQ所成角的余弦值；（2）当3n=时，证明：2222212333xsxxxx=+；1122333OP OQx yxyxyxy=+；（3）当*nN，2n 时，探究()2OP OQ 与222211nniiiixnxyny=的大小关系，并证明 第19页/共2

40、0页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）3365 （2）证明见解析 （3）()2222211nniiiiOxxnyOnPyQ=，证明见解析【解析】【分析】（1）借助数量积公式计算即可得；（2）结合方差的计算法则化简即可得；借助所给数量积公式计算化简即可得；（3）借助所给恒等式计算出()2OP OQ 后，结合三角函数值域即可得.【小问 1 详解】()()3 541233cos,659 1625 144OPOPOQOQQOPO +=+；【小问 2 详解】当3n=时，()()()()22222222123123123332xsxxxxxxxxxxx xxx=+=+222222221231233

41、233xxxxxxxxxx=+=+；()()()3311iiiiiiiiOxxyyx yxyx yPxQyO=+333311113333iiiiiiiiiix yxyyxxyx yxyxyxy=+=+1122333133iiix yxyxyx yx yx y=+；【小问 3 详解】()2222211nniiiiOxxnyOnPyQ=，理由如下：当*nN，2n 时，()()22222111122nnnniiiiiiiiixxxxx xxnxxx=+=+22222112nniiiixnxnxxnx=+=，同理可得()22211nniiiiyyyny=，第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 则()()()222222112cos,cos,nniiiiOP OQOPOQOP OQOP OxxQyy=2222222221111cos,nnnniiiiiiiixnxynyxnxynQyOP O=.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于运算，尤其需要清楚1niixnx=.