高数下第十二章级数.ppt

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1、第十二章第十二章 级级 数数 1 一、级数的概念与性质一、级数的概念与性质1.1.级数的定义级数的定义:(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项级数的部分和级数的部分和2无穷级数2.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:3无穷级数解解4无穷级数 收敛收敛 发散发散 发散发散 发散发散 综上综上5无穷级数解解6无穷级数7无穷级数3、基本性质、基本性质结论结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.8无穷级数证明证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数

2、前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.9无穷级数证明证明10无穷级数注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛收敛 发散发散11无穷级数证明证明级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:性质性质512无穷级数注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散;发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分.但发散但发散.13无穷级数14无穷级数二、正项级数及其审敛法二、正项级数及其审敛法2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:定理定理正项级数正项级数15无穷级数3.比较审敛法比较审敛法16无穷级

3、数解解由图可知由图可知17无穷级数重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.18无穷级数证明证明19无穷级数4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;20无穷级数解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.21无穷级数22无穷级数比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找

4、参考级数.注意注意:23无穷级数解解24无穷级数比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法25无穷级数级数收敛级数收敛.26无穷级数三、交错级数及其审敛法三、交错级数及其审敛法定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.27无穷级数28无穷级数四、绝对收敛与条件收敛四、绝对收敛与条件收敛定义定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明证明29无穷级数上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数30无穷级数解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.31无穷级数四、小结四、小结正

5、正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;32无穷级数思考题思考题33无穷级数思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.34无穷级数35无穷级数36无穷级数五、函数项级数的一般概念五、函数项级数的一般概念1.1.定义定义:37无穷级数2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:38无穷级数函数项级数的部分和函数项级数的部分和3.3.和函数和函数:39无

6、穷级数解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛原级数绝对收敛.40无穷级数原级数发散原级数发散.收敛收敛;发散发散;41无穷级数六、幂级数及其收敛性六、幂级数及其收敛性1.1.定义定义:2.2.收敛性收敛性:42无穷级数43无穷级数几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域44无穷级数推论推论45无穷级数定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.规定规定46无穷级数47无穷级数例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:解解该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数

7、发散48无穷级数49无穷级数发散发散收敛收敛故收敛区间为故收敛区间为(0,1.50无穷级数解解缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项级数收敛级数收敛,51无穷级数级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为52无穷级数3、幂级数的分析运算、幂级数的分析运算53无穷级数(收敛半径不变收敛半径不变)54无穷级数(收敛半径不变收敛半径不变)55无穷级数解解两边积分得两边积分得56无穷级数57无穷级数练练 习习 题题58无穷级数59无穷级数练习题答案练习题答案60无穷级数七、泰勒级数七、泰勒级数上节例题上节例题存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)

8、为和函数为和函数问题问题:1.如果能展开如果能展开,是什么是什么?2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?61无穷级数62无穷级数问题问题定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定不一定.63无穷级数64无穷级数二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:（2）验证：）验证：65无穷级数例例1解解由于由于M的任意性的任意性,即得即得66无穷级数例例2解解67无穷级数2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,通过通过变量代换变量代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.例如例如68无穷级数69无穷级数例例4解解70无穷级数71无穷级数练练 习习 题题72无穷级数练习题答案练习题答案73无穷级数