向量的乘法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

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1、 第三节第三节 向量乘法向量乘法v一、向量数量积一、向量数量积v二、向量向量积二、向量向量积v三、向量混合积三、向量混合积v四、小结、思索题四、小结、思索题第1页实例实例一、两向量数量积一、两向量数量积启示启示 我们能够定义我们能够定义向量一个乘法运算向量一个乘法运算两向量作这么运算两向量作这么运算,结果是一个数量结果是一个数量.第2页数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.=0，有，有0显然，对任何向量显然，对任何向量=0 由此得由此得 定义定义第3页推导数量积坐标表示式推导数量积坐标表示式如右图如右图,由余弦定理得由余弦定理得:设设则上式可写成则上式可写成第4页于是于是假如假如

2、是任意向量是任意向量,是任意是任意实实数数,那么那么交换律交换律数乘结合律数乘结合律分配律分配律运算律运算律:第5页两向量夹角余弦满足两向量夹角余弦满足若向量若向量与与夹角夹角则称则称与与正交正交(或垂直或垂直),记记作作若若则则第6页证证定理定理若若与与有一个为有一个为,结论显然成结论显然成立立不妨设不妨设第7页若若则则定理坐标形式为定理坐标形式为第8页解解第9页例例2 已知点已知点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求求AMBMBMA解解 AMB能够看成向量能够看成向量与与夹角夹角,而而MA=(2-1,2-1,1-1)=(1,1,0)MB=(2-1,1-1,2-1)=(1

3、,0,1)故故MA MB=11+10+01=1MAMB带入公式带入公式第10页第11页第12页实例实例二、两向量向量积二、两向量向量积第13页定义定义关于向量积说明：关于向量积说明：向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.(反交换律),并要并要求求()()第14页向量积符合以下运算规律：向量积符合以下运算规律：分配律假如假如是任意向量是任意向量,是任意是任意实实数数,那么那么结合律结合律例5 设 是两个向量,证实:第15页/证证 设设 均为非零向量均为非零向量(不然命题不证自明不然命题不证自明)第16页设设向量积分解表示式向量积分解表示式:第17页向量积还可用行列式表示向量积还可用

4、行列式表示即即第18页两向量向量积几何意义两向量向量积几何意义:()()与一切既平行于与一切既平行于又平行于又平行于平面垂直平面垂直第19页 例例6 6 设平面设平面过过空空间间三点三点A(1,0,0)A(1,0,0)、B(3,1,-1)B(3,1,-1)、C(2,-1,2),C(2,-1,2),求一个垂直于平求一个垂直于平面面向量向量解解ABABACAC与与显然不共线且都在面显然不共线且都在面内内故可取故可取第20页解解三角形三角形ABC面积为面积为第21页例例8 8 设刚体以等角速率设刚体以等角速率绕绕 l l轴旋转，计算刚体轴旋转，计算刚体上一点上一点M M 线速率线速率 。解解 刚体旋

5、转时刚体旋转时,我们可用转动轴我们可用转动轴 l l 上上向量向量 表示角速度表示角速度,它大小它大小 ，它方向按右手法则定出，它方向按右手法则定出,如右图如右图.设点设点M M到到 l l 轴距离为轴距离为a,a,任取任取 l l 轴上一点轴上一点记为记为O O，并记，并记 ,若用若用表示表示 与与 夹角夹角,则有则有orMa 从物理中知道从物理中知道,线速率线速率 与角速率与角速率 有以下关系：有以下关系：又符合右手法则又符合右手法则,所以得所以得第22页定义定义设设三、向量混合积三、向量混合积下面推导混合积坐标表示式下面推导混合积坐标表示式因为因为第23页所以所以即即显然显然第24页（1

6、）向量混合积几何意义：）向量混合积几何意义：关于混合积说明：关于混合积说明：第25页例例9 已知空间内四点已知空间内四点A(1,1,1),B(3,4,4),C(3,5,5)和和D(2,4,7),求四面体求四面体ABCD体积体积.解解故故而而 AB=(2,3,3),AC=(2,4,4),AD=(1,3,6),于是于是第26页例例10 问点问点A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3)和和D(10,15,17)四点是否在同一平面上？四点是否在同一平面上？解解 AB=(3,4,5),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),而而所以所以AB、AC、AD共面，即共面，即A、B、C、D在同一个平面上在同一个平面上第27页向量数量积向量数量积向量向量积向量向量积向量混合积向量混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面条件）（注意共线、共面条件）四、小结四、小结第28页思索题思索题第29页思索题解答思索题解答第30页练练 习习 题题第31页第32页第33页练习题答案练习题答案第34页