物理大地测量学省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

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1、第二章第二章 位理论边值问题初步位理论边值问题初步第1页2.1 边值问题概念我们目标是研究地球外部重力场，而重力场性质完全是由重力位决定，所以我们只需求得重力位。由重力位定义知，坐标为(x,y,z)P点重力位是上式中第一项为引力位，第二项为离心力位。离心力位计算是依据天文观察方法准确测定地球自转角速率和自转轴方向，再由点坐标来计算离心力位。引力位计算必须以足够精度知道地球形状和内部物质分布密度，当前还不能准确确实定。实际上，通常是以重力测量数据计算引力位。第2页地面上实测重力值减去离心力就是地面上引力，依据引力位性质，假如我们能够唯一地确定一个函数，它在地球外部调和，在无穷远处正则，其梯度在地

2、面上等于引力，则这个函数就必定是引力位。由这种方法计算引力位问题就是一个边值问题。一.定义位理论边值问题就是依据某一空间边界上给定条件求出该空间中拉普拉斯方程解。当空间被包含在边界内部时叫内部边值问题。当空间位于边界外部时叫外部边值问题。在地球形状和外部重力场理论中，求解是地球外部重力场，所以，这里主要讨论是外部边值问题。第3页二.外部边值问题三种形式1.第一边值问题：求解在边界外部调和，在无穷远处正则函数V，使其在边界上满足边界条件Vf，其中f为已知函数。该问题也叫狭义利赫外部问题2.第二边值问题：求解在边界外部调和，在无穷远处正则函数V，使其在边界上满足边界条件，其中n为边界外法线方向。该

3、问题也叫牛曼外部问题。3.第三边值问题：求解在边界外部调和，在无穷远处正则函数V，使其在边界上满足边界条件，其中为已知函数。该问题也叫混合边值问题。显然，第4页2.2 2.2 格林公式格林公式一、内部格林公式一、内部格林公式1.1.高斯积分定理高斯积分定理设设 是连通有界闭区域，其边界面是连通有界闭区域，其边界面是分片光滑是分片光滑闭曲面，函数闭曲面，函数P(xP(x，y y，z)z)、Q(xQ(x，y y，z)z)、R(xR(x，y y，z)z)及它们一阶偏导数在及它们一阶偏导数在 上连续，则以下高斯积分定理上连续，则以下高斯积分定理成立：成立：第5页其中n是积分面元处曲面外法线方向。若用表

4、示沿n单位矢量，则定义一个矢量函数并记叫矢量散度。第6页则可将高斯积分定理写成高斯积分定理给出了体积分和面积分之间关系。2.内部第一格林公式在上式中，取写成简单形式为第7页则我们能够求得写成矢量形式为得第8页由方向导数性质，可得上式叫内部第一格林公式。第9页2.内部第二格林公式将内部第一格林公式u和v交换位置，得前两式相减得该式叫内部第二格林公式。在内部第一、二格林公式中，要求出现u和v及其各阶偏导数在上连续。第10页二、外部格林公式分块光滑闭曲面上面积分与其外部区域中体积分之间关系，即外部格林公式。1.外部第一格林公式首先，假设是介于两个曲面和之间闭区域，为半径是R球面，完全被包含在内部。将

5、内部第一格林公式应用于闭区域及其表面和，得如图所表示第11页因为由内表面和外表面围成，所以，上式等号右边有两项面积分，其中第一项中负号是因为我们要求外法线指向内部原因而加。上式中等号右边第二项。因为球面外法线与球心距增加方向一致，而且积分面元为，所以深入假设u和v满足以及有限第12页则可得这就是外部第一格林公式。2.外部第二格林公式其中u应满足与内部第一格林公式相同条件，v也应满足和有限显然，外部第一、二格林公式中，u和v还应满足要求连续性条件。第13页2.3格林公式应用例举一、高斯方程在内部第二格林公式中，取u=1得深入假设v=V为引力位，则当内部区域中没有质量时，V为调和函数，所以第14页

6、不然，若内部包含有质量m，则这个方程式叫高斯方程，实际上，当位于上总质量为零时，质点位及质面位都成立，它对质点位及质面位都成立，利用该式能够很简单地计算球对称问题引力。注意：求内部调和函数第二边值问题边界条件显然应该满足式，不然无解。第15页二、用重力方法确定地球质量在中，取v=W为重力位，则因为则有其中，m仍为内部包含质量，为体积。深入假设地球质量完全包含在内部，gn为垂直于并向下(指向内部)重力分量第16页用M表示地球质量，则能够解得第17页三、第三格林公式设P为空间一固定点，M为流动点，r为由M到P距离，它是M点坐标函数，能够轻易地验证，在除P点外任何地方都是调和。在内部第二格林公式中，

7、取，v不变，则当P点分别位于分片光滑闭曲面外部、内部和上面时，能够得到三个不一样等式，要注意：和v是体积元位置M点坐标函数。如图所表示，当P点位于外部时，在中为调和函数第18页当P点位于内部时，在P点趋于无穷大，不能对闭区域及其表面应用内部第二格林公式，为处理这一问题，我们在内部以P点为中心作二分之一径为小球，球面用S表示，球体所占空间用表示。此时我们能够对闭区域及其表面和S应用内部第二格林公式，得其中，等号右边第二项负号是因为要求S法线指向内部而加。如图所表示第19页在球面s上，而且由要求知，方向即为r 增大方向，所以取趋于零，设v一阶偏导数在上包含P点在内任何地方都有限，因而有限，所以，随

8、趋于零，则有这是因为，当趋于零时，积分号下v趋于一个常数，能够提到积分号外。第20页设v在上包含P点在内任何地方都有限，因为体积元为，所以由此可得其中，积分号外v(P)是在P点值。这是P点位于内部时情形。第21页当P点位于上时，如图所表示，设在P点周围是光滑，能以P点为圆心在上作二分之一径为微圆，该微圆可被看成平面对待，并用表示它。以P为中心在内部空间。中挖二分之一径为半球，半球面用s表示，半球所占空间用表示，则利用内部第二格林公式可得一个方程，第22页类似于P点在内部情形能够证实在上，与r增加方向垂直，所以另外，设有限，则第23页所以，利用上列各式得这是P点位于上时情形。第24页1.内部第三

9、格林公式令则合并写成返回返回第25页2.外部格林第三公式类似地可证实外部格林第三公式其中这里要注意，和v应满足四个附加条件。第26页四、外部位表示成面积分形式1.令v1得2.令vV为外部引力位，满足拉普拉斯方程，P在 外，则有这里要注意引力位是无穷远处正则函数，满足对v要求。可见，外引力位能够表示成一个单层位和双层位之和。第27页深入假设为引力位水准面，在它上面V是常数，则因为P在外，等号右端第二个面积分等于零，所以可见，外部引力位能够表示为一个引力位水准面上单层位，这里要求全部吸引质量都包含在该引力位水准面内部，引力位在该引力位水准面外部为调和函数。第28页2.4泊松积分一、边值问题格林函数

10、解法1.球外第一边值问题格林函数在内部第三格林公式中设P点在外部，此时，并令vV是引力位，则因为引力位在内部满足泊松方程，即则有其中r为P到体积元d在位置M距离。由定义知，上式中是中质量在P点上引力位，所以第29页V是在外调和，在无穷远处正则函数，设U是另一个含有这些性质函数，则u=U、v=V使外部第二格林公式能够解得这就是格林函数法解算外部边值问题起始公式。第30页称为格林函数。假如我们能找到在外部调和、在无穷远处正则函数U，使格林函数G在上等于零，则得这是外部第一边值问题解，类似地，对G提出不一样要求可得到另外两种边值问题解。第31页2.球外第一边值问题泊松积分设球心为O，球半径为R，我们

11、要计算是球外P点引力位。在OP上取一点P1，P1到球心距离用表示，而且，这么P1点叫P点共扼点。设M为球外任意一点，它到P点距离用r表示，到P1点距离用r1表示，则球外第一边值问题格林函数为它是M点坐标函数。由定义知，第32页证实分为两部分，第一部分是证实U为外部调和函数，并在无穷远处正则；第二部分是证实G在上等于零。因为U表示式与位于P1点质点引力位类似，只是质点引力位中常数因子fm变成了这里常数因子，所以，第一部分证实可从质点引力位性质得出。至于第二部分，有第33页其中，为M到O 距离。由P1选法知，当M点位于球面上时，所以，由前面两式得代入便得G在上等于零。第34页因为G是M点坐标函数，

12、与增加方向同向，所以由得第35页因为当，时，所以可得由可得第36页将上列二式代入得上式代入后能够得第37页这里r为P点到积分面元d之间距离。这个方程就是球外第一边值问题格林函数解，叫泊松积分，积分号下V即为V在球面上边值。设为单位球面，其半径等于1，则d与d关系为，所以可将泊松积分表示成单位球上积分引入一个新变量则第38页将上列二式一并代入，得其中，V应表示成和函数，而且推导泊松积分过程中使用了第二格林公式，因而要求V含有直至二阶连续偏导数。第39页2.5边值问题解唯一性引力位是无穷远处正则函数，要由解算边值问题方法计算引力位，必须证实边值问题只有唯一在无穷远处正则解。设T是无穷远处正则函数，

13、在外部第一格林公式中令u=vT，得边值问题解唯一性可由该式出发来证实。第40页对于第一边值问题，用反证法，假设有两个在外调和、在无穷远处正则函数同时满足上边界条件，用T表示这两个函数之差，则T也是在外调和，在无穷远处正则函数，而且在上等于零。所以由上式得该式中，积分核三项都大于零，要使积分恒等于零，必须三项都等于零，即第41页实际上，该式成立还要求、连续。由上式知，T在外部空间区域中为常数，因为它在无穷远处正则，也就是说在无穷远处等于零，所以在。外部恒等于零。由假设知，两个解必须相等，因而解是唯一。对于第二边值问题，证实过程与第一边值问题完全一样，只是将T在上等于零换成在上等于零，所以由类似第

14、一边值问题方法证实。第42页对于第三边值问题，T边界条件变成了由该式解出代入本节第一式，并考虑到T含有外调和、无穷远处正则性质，得上式左边大于等于零，若右边也大于等于零，则可能有上不等于零T满足该式，因而解不唯一。所以要使解唯一，必须等号右边小于零，因而必须使恒小于零，即和异号。在这种情况下，上式两端必须都等于零，于是得第二式且上T恒等于零，由此可得T在外部恒等于零，因而解唯一。可见，第三边值问题解唯一性是有条件。第43页2.6斯托克司定理设吸引质量M在以角速度旋转，S为一形状已知重力位水准面，吸引质量全部包含在S内部，则S面上及外部重力位和重力完全由M、及S唯一确定。依然用反证法，设质量分布有两种情形，对应引力位分别是Vl和V2，离心力位在两种情形下都是相等，记为Q，对应于两种质量分布重力位分别是和。因为S在两种质量分布下都是重力位水准面，所认为W1和W2在S上都等于常数，记为c1和c2。现在取则T为两个引力位之差，它在S外调和、在无穷远处正则，而且在S上等于常数c1-c2第44页将这些条件代入得因为V1和V2对应于相同吸引质量M，所以，由高斯方程得由该式便可推得T在S上及外部恒等于零，即W1和W2相等，因而重力位是唯一确定。既然重力位唯一确定，重力也必定是唯一确定第45页返回（a）返回（c）返回（b）第46页返回第47页