人大微积分课件7-5空间直线及其方程.pptx

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1、人大微积分课件人大微积分课件7-57-5空间直空间直线及其方程线及其方程 制作人：时间：2024年X月目录目录第第1 1章章 简介简介第第2 2章章 空间直线及其方程空间直线及其方程第第3 3章章 平面与直线的位置关系平面与直线的位置关系第第4 4章章 球面与直线的位置关系球面与直线的位置关系第第5 5章章 曲线与曲面的参数方程曲线与曲面的参数方程第第6 6章章 总结与展望总结与展望第第7 7章章 空间直线及其方程空间直线及其方程 0101第第1章章 简简介介 关于微积分关于微积分微积分是数学分析的一个分支，研究函数和它们的相关概念，如极限、导数、微分、积分等。微积分广泛应用于物理学、工程学、

2、经济学、生命科学等领域，是研究自然现象和其它学科的基础工具。微积分的历史微积分的历史斯多葛学派提出菲尼斯定理古希腊时期古希腊时期伽利略、哈维等人提出机械论，启发了微积分的发展1616世纪至世纪至1717世世纪纪牛顿、莱布尼茨同时独立发明微积分1717世纪末世纪末 微积分的应用范围微积分的应用范围研究物体的运动、力学、流体力学等物理学物理学应用于电气、航空、船舶、汽车等领域工程学工程学研究市场和消费者行为等经济学经济学 人大微积分课程简介人大微积分课程简介人大微积分是数学专业的一门课程，主要讲授微积分的基本概念、理论、方法和应用。课程目标和教学方式课程目标和教学方式让学生掌握微积分的基本知识，培

3、养其分析和解决问题的能力课程目标课程目标以理论讲解和实例演练相结合，采用互动式教学，提高学生的学习兴趣和参与度教学方式教学方式共分为16周，每周两次课，一次课两个小时课程安排课程安排 课程前置知识课程前置知识微积分是高等数学的一部分，需要一定的数学基础才能理解和掌握。人大微积分课程的前置知识人大微积分课程的前置知识包括极限、连续、导数、积分等数学分析数学分析包括向量、矩阵、行列式、特征值等线性代数线性代数包括数学分析、线性代数等基础课程数学基础课数学基础课 如何解决前置知识不足如何解决前置知识不足的问题的问题可以通过自学、请教老师、参加补习班等方式解决前置知识不足的问题。人大微积分课程资源人大

4、微积分课程资源课程教材包括微积分学等，参考书目包括微积分基础等课程教材和参课程教材和参考书目考书目课程作业包括课后习题、课程设计等，习题集包括微积分习题解答等课程作业和习课程作业和习题集题集课程网站包括教学资料、作业提交、在线测试等，在线资源包括微积分视频、课程笔记等课程网站和在课程网站和在线资源线资源 0202第第2章章 空空间间直直线线及其方程及其方程 三维坐标系的定三维坐标系的定三维坐标系的定三维坐标系的定义和性质义和性质义和性质义和性质三维坐标系是由三个坐标轴组成的，分别与三维坐标系是由三个坐标轴组成的，分别与x x、y y、z z轴垂直，轴垂直，构成一个空间直角坐标系。构成一个空间直

5、角坐标系。空间点的坐标表示方法空间点的坐标表示方法用(x,y,z)表示直角坐标表示直角坐标表示法法用表示空间向量AB，A是空间点，B是坐标系的原点向量表示法向量表示法用P(t)表示空间点P，t为参数参数式表示法参数式表示法 空间直线的向量方程空间直线的向量方程ra+tb，其中a是直线上的一个点，b是方向向量，t是参数向量方程向量方程方向向量的长度是唯一的，方向向量与平行直线的方向向量相等向量方程的性向量方程的性质质求直线与坐标面的交点向量方程的应向量方程的应用用 Ax+By+Cz+D=0一般式方程一般式方程0103求两条直线的交点一般式方程的应用一般式方程的应用02方向向量是(A,B,C)，方

6、向向量的长度是1，D可以是任意常数一般式方程的性质一般式方程的性质空间直线的截距式方程空间直线的截距式方程x/a+y/b+z/c=1，其中a、b、c是坐标轴上的截距截距式方程截距式方程方向向量为(a,b,c)，截距式方程可以化为一般式方程截距式方程的截距式方程的性质性质求直线与平面的交点截距式方程的截距式方程的应用应用 总结总结空间直线可以用参数方程、向量方程、一般式方程、截距式方程来表示。不同形式的方程在不同的应用中都有用处，应灵活掌握。空间直线的参数方程空间直线的参数方程x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中(x0,y0,z0)是直线上的一个点，a、b、c是方向向量的三个分量

7、，t是参数参数方程的定参数方程的定义义参数t可以取任意实数值，对应直线上的不同点参数方程的性参数方程的性质质求两线的交点参数方程的应参数方程的应用用 0303第第3章章 平面与直平面与直线线的位置关的位置关系系 点到直线的距离点到直线的距离点到直线的距离点到直线的距离点到直线距离可以用勾股定理和点到直线的垂线来计算。点到直线距离可以用勾股定理和点到直线的垂线来计算。其几何意义是点到直线的最短距离。这在计算机图形学、其几何意义是点到直线的最短距离。这在计算机图形学、机器人学、物理学等领域中有着广泛的应用。机器人学、物理学等领域中有着广泛的应用。点到直线的距离点到直线的距离计算点到直线距离的公式勾

8、股定理勾股定理点到直线的垂线是点到直线最短的距离垂线垂线点到直线的距离是点到直线最短的距离几何意义几何意义 计算机器人到障碍物的距离机器人学机器人学0103计算像素到直线的距离计算机图形学计算机图形学02计算粒子到磁场、电场的距离物理学物理学点到直线距离的计算公点到直线距离的计算公式式点到直线距离的计算公式为：d|ax0+by0+c|/sqrt(a2+b2)其中，(x0,y0)是点的坐标，a、b、c是直线的参数。直直直直线线线线在在在在平平平平面面面面上上上上的的的的投投投投影影影影直线在平面上的投影是直线在直线在平面上的投影是直线在平面上的垂直平面上的垂直直线在平面上的投影可以用向直线在平面

9、上的投影可以用向量叉乘计算量叉乘计算直直直直线线线线与与与与平平平平面面面面的的的的位位位位置置置置关关关关系应用系应用系应用系应用直线与平面的位置关系在空间直线与平面的位置关系在空间几何中有着广泛的应用几何中有着广泛的应用如在机器人运动、如在机器人运动、3D3D游戏、建游戏、建筑施工等方面筑施工等方面 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系直线和平面的交集直线和平面的交集直线和平面的交集直线和平面的交集直线与平面的交点可以用消元直线与平面的交点可以用消元法计算法计算直线与平面的关系有以下几种：直线与平面的关系有以下几种：点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离点到平面距离是

10、点到平面最短的距离。点到平面距离的计点到平面距离是点到平面最短的距离。点到平面距离的计算公式可以用法向量和点到平面的投影计算。算公式可以用法向量和点到平面的投影计算。点到平面的距离点到平面的距离计算点到平面距离的公式法向量法向量点到平面的垂线是点到平面最短的距离点到平面的投点到平面的投影影点到平面的距离是点到平面最短的距离几何意义几何意义 直直直直线线线线之之之之间间间间的的的的交交交交点点点点和和和和垂直关系垂直关系垂直关系垂直关系直线之间有且仅有一个交点，直线之间有且仅有一个交点，可以用消元法求解可以用消元法求解如果直线的方向向量垂直，则如果直线的方向向量垂直，则它们是垂直的它们是垂直的直

11、直直直线线线线之之之之间间间间的的的的位位位位置置置置关关关关系系系系应用应用应用应用直线之间的位置关系在工程学、直线之间的位置关系在工程学、物理学、计算机图形学等领域物理学、计算机图形学等领域中有着广泛的应用中有着广泛的应用如在建筑结构的设计、粒子加如在建筑结构的设计、粒子加速器的设计、速器的设计、3D3D建模等方面建模等方面 直线之间的位置关系直线之间的位置关系直直直直线线线线之之之之间间间间的的的的夹夹夹夹角角角角和和和和平行关系平行关系平行关系平行关系直线之间的夹角可以用向量点直线之间的夹角可以用向量点积计算积计算如果直线的方向向量平行，则如果直线的方向向量平行，则它们是平行的它们是平

12、行的 0404第第4章章 球面与直球面与直线线的位置关的位置关系系 三维球面的定义三维球面的定义三维球面的定义三维球面的定义和性质和性质和性质和性质球面是由空间中到定点的距离相等的点构成的集合。一般球面是由空间中到定点的距离相等的点构成的集合。一般地，球面的参数方程为：地，球面的参数方程为：$begincases xa+rsintheta cosvarphi$begincases xa+rsintheta cosvarphi y=b+rsintheta sinvarphi z=c+rcostheta y=b+rsintheta sinvarphi z=c+rcostheta endcases$

13、endcases$式中式中$(a,b,c)$(a,b,c)$为球心坐标，为球心坐标，$r$r$为球半径，为球半径，$theta$theta$为为纬度，纬度，$varphi$varphi$为经度。球面的基本性质包括：为经度。球面的基本性质包括：1.1.球面上任意两点的距离等于半径的长度；球面上任意两点的距离等于半径的长度；2.2.球面上的任意一点到球心的距离都等于半径的长度；球面上的任意一点到球心的距离都等于半径的长度；3.3.球面上的任意一条弦长都小于或等于球面上弦长相等的球面上的任意一条弦长都小于或等于球面上弦长相等的直径的长度。直径的长度。直线与球面的位直线与球面的位直线与球面的位直线与球

14、面的位置关系置关系置关系置关系直线和球面的位置关系有以下几种情况：直线和球面的位置关系有以下几种情况：1.1.直线与球面没有交点；直线与球面没有交点；2.2.直线与球面只有一个交点；直线与球面只有一个交点；3.3.直线与球面相切，此时直线称为球面的切线；直线与球面相切，此时直线称为球面的切线；4.4.直线与球面相交，此时直线在球面上的投影即为直线与直线与球面相交，此时直线在球面上的投影即为直线与球面的交点；球面的交点；5.5.直线在球面内部，此时直线与球面的交点为两个。直线在球面内部，此时直线与球面的交点为两个。已知球面方程和过其上的一条直线的参数方程，求直线在球面上的投影例例1 10103已

15、知两个球面的方程，求它们的交线方程例例3 302已知球面方程和一点的坐标，求过该点且与球面相切的平面方程例例2 2球面之间的位置关系球面之间的位置关系两个球面交于一点或一条交线球面的交点和球面的交点和交线交线相切的球面有且仅有一条公切线球面的切线球面的切线两个球面没有交点且未相切平行关系平行关系一个球面被另一个球面包含内含关系内含关系空间几何中的投空间几何中的投空间几何中的投空间几何中的投影问题影问题影问题影问题投影是指在几何分析中将一个对象映射到另一个平面上的投影是指在几何分析中将一个对象映射到另一个平面上的操作。在三维空间中，平面和直线的投影都可以通过向量操作。在三维空间中，平面和直线的投

16、影都可以通过向量叉乘、点积和向量加减等运算求解。投影问题在计算机视叉乘、点积和向量加减等运算求解。投影问题在计算机视觉、建筑设计等领域都有广泛的应用。觉、建筑设计等领域都有广泛的应用。直线投影直线投影直线投影直线投影点到直线距离公式点到直线距离公式旋转变换法旋转变换法向量投影向量投影向量投影向量投影向量点积公式向量点积公式向量分解法向量分解法投影应用投影应用投影应用投影应用机械设计机械设计建筑施工建筑施工计算机图形学计算机图形学平面和直线在三维空间中的投影平面和直线在三维空间中的投影平面投影平面投影平面投影平面投影垂线法垂线法三角形相似法三角形相似法总结总结本章介绍了在空间几何中球面和直线的位

17、置关系以及投影问题。掌握这些概念和方法对于解决三维空间中的实际问题有着重要的应用价值，如机械设计、建筑施工、计算机图形学等。在今后的学习和工作中，我们将进一步深入地学习和应用这些知识。0505第第5章章 曲曲线线与曲面的参数方与曲面的参数方程程 参数方程的概述参数方程的概述参数方程是一种利用一个或多个参数来表示曲线或曲面上的点的方法。它在几何分析中有着广泛的应用，可以用来描述曲线和曲面的运动、变形等。同时，参数方程也有一些局限性，需要在实际应用中综合考虑。曲线的参数方程曲线的参数方程曲线的参数方程是利用参数来表示曲线上的点的方法，可以用来描述曲线的位置、形状等特征。定义和性质定义和性质常见的曲

18、线如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等都可以用参数方程来表示。常见曲线的参常见曲线的参数方程的推导数方程的推导参数方程可以用来描述曲线的运动状态，如速度、加速度等。参数方程在曲参数方程在曲线运动分析中线运动分析中的应用的应用 曲面的参数方程曲面的参数方程曲面的参数方程是利用参数来表示曲面上的点的方法，可以用来描述曲面的位置、形状等特征。定义和性质定义和性质常见的曲面如平面、球面、柱面、锥面等都可以用参数方程来表示。常见曲面的参常见曲面的参数方程的推导数方程的推导参数方程可以用来描述曲面的运动状态，如速度、加速度等。参数方程在曲参数方程在曲面运动分析中面运动分析中的应用的应用 利用向量可以更加简洁

19、地描述曲线和曲面，同时也可以方便地计算导数。向量表示和导数运算向量表示和导数运算0103参数方程可以用来进行空间曲线和曲面的优化设计，如飞行器造型设计、船体曲线设计等。参数方程在空间曲线和曲面的优化参数方程在空间曲线和曲面的优化设计中的应用设计中的应用02参数方程可以方便地计算曲线和曲面上某点的切线、法线和弧长。切线，法线和弧长计算切线，法线和弧长计算参数方程的优点参数方程的优点参数方程的优点参数方程的优点和局限性和局限性和局限性和局限性参数方程可以用来描述曲线和曲面更加灵活和方便，可以参数方程可以用来描述曲线和曲面更加灵活和方便，可以方便地进行运动分析、优化设计等。但是，参数方程也有方便地进

20、行运动分析、优化设计等。但是，参数方程也有一些局限性，如计算量大、数值稳定性差等。需要在实际一些局限性，如计算量大、数值稳定性差等。需要在实际应用中综合考虑。应用中综合考虑。0606第第6章章 总结总结与展望与展望 人大微积分课程的回顾人大微积分课程的回顾本章为人大微积分课程的最后一章，让我们回顾一下学习微积分的历程。人大微积分课程旨在帮助学生深入理解微积分概念和方法，掌握微积分的基本技能和应用，培养解决实际问题的能力和创新精神。人大微积分课程的教学内容和方法人大微积分课程的教学内容和方法导数和微分微积分基本概微积分基本概念和原理念和原理极值和最值微积分应用基微积分应用基础础积分和微积分方程微

21、积分进阶与微积分进阶与拓展拓展 微积分未来发展微积分未来发展微积分未来发展微积分未来发展的趋势的趋势的趋势的趋势微积分作为一门基础学科，其未来的发展趋势将会与数学、微积分作为一门基础学科，其未来的发展趋势将会与数学、计算机科学等领域紧密关联。随着人工智能、大数据等技计算机科学等领域紧密关联。随着人工智能、大数据等技术的日益发展，微积分在科技和社会中的应用将会更加广术的日益发展，微积分在科技和社会中的应用将会更加广泛和深入。泛和深入。电子电子电子电子电路分析电路分析信号处理信号处理控制系统等控制系统等建筑建筑建筑建筑静力学静力学结构分析结构分析建筑设计等建筑设计等物理物理物理物理经典力学经典力学

22、热力学热力学电磁学等电磁学等微积分在工程和科学中的应用微积分在工程和科学中的应用机械机械机械机械运动学及动力学运动学及动力学结构力学结构力学热力学等热力学等作者：詹姆斯斯图尔特微积分原理微积分原理0103作者：托马斯微积分学教程微积分学教程02作者：大卫柯姆拜兹微积分与其应用微积分与其应用微积分研究新动向和前微积分研究新动向和前沿成果的参考资料沿成果的参考资料微积分的研究涉及到数学、物理、工程、生物等多个领域。关注微积分研究的新动向，可以通过查阅国内外重要学术期刊和会议论文集，以及各大高校、科研机构的研究成果和项目信息。0707第第7章章 空空间间直直线线及其方程及其方程 什么是空间直线什么是

23、空间直线什么是空间直线什么是空间直线？空间直线是在三维空间中，由两个不重合的点所确定的一空间直线是在三维空间中，由两个不重合的点所确定的一条直线。可以用点向式、参数式或一般式等形式来表达。条直线。可以用点向式、参数式或一般式等形式来表达。空间直线的性质空间直线的性质两个不重合的点确定一条空间直线唯一性唯一性两条不平行的空间直线要么相交，要么异面平行位置关系位置关系空间直线的方向可以用方向向量来表示方向向量方向向量空间直线的点向式表示方法为P P0+v点向式点向式空间直线的方程空间直线的方程空间直线的方程空间直线的方程空间直线的方程可以用点向式、参数式或一般式来表示。空间直线的方程可以用点向式、

24、参数式或一般式来表示。其中，一般式为其中，一般式为(ax+by+cz+d=0)(ax+by+cz+d=0)，其中，其中a a、b b、c c分别为空分别为空间直线的方向向量的三个坐标，间直线的方向向量的三个坐标，d d为常数。为常数。两线平行两线平行两线平行两线平行如果一条空间直线与一个平面如果一条空间直线与一个平面平行，它们没有交点。平行，它们没有交点。如果两个平面平行或重合，它如果两个平面平行或重合，它们没有交线。们没有交线。两线异面两线异面两线异面两线异面如果一条空间直线和一个平面如果一条空间直线和一个平面异面，它们没有交点。异面，它们没有交点。如果两个平面异面，它们没有如果两个平面异面

25、，它们没有交线。交线。空间直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系两线相交两线相交两线相交两线相交如果一条空间直线与一个平面如果一条空间直线与一个平面相交，它们的交点就是其交点。相交，它们的交点就是其交点。如果两个平面相交，它们的交如果两个平面相交，它们的交线就是其交线。线就是其交线。通过点向式求解已知两点坐标已知两点坐标0103通过点向式求解或参数式求解已知直线在平面上的投影和垂直于已知直线在平面上的投影和垂直于平面的方向向量平面的方向向量02通过点向式求解或参数式求解已知一点和方向向量已知一点和方向向量总结总结空间直线是三维空间中的一种基本几何概念，具有唯一性和方向性。掌握空间直线的表示方法、性质、方程以及与平面的位置关系，有助于解决空间几何问题。THANKSTHANKS 谢谢观看！