《高数13多元函数》课件.pptx

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1、高数高数1313多元函数多元函数 制作人：时间：2024年X月CATALOGUE目目录录第第1 1章章 简介简介第第2 2章章 偏导数及其应用偏导数及其应用第第3 3章章 多元函数的积分多元函数的积分第第4 4章章 多元函数的微积分基本定理多元函数的微积分基本定理第第5 5章章 常微分方程常微分方程第第6 6章章 总结总结CATALOGUE 0101第第1章章 简简介介 课程介绍本课程旨在介绍多元函数的概念、性质和应用场景。本课程旨在介绍多元函数的概念、性质和应用场景。这是高等数学中的重要内容，对于理解高维空间、微这是高等数学中的重要内容，对于理解高维空间、微积分和物理学等领域有着重要作用。本

2、课程涉及的难积分和物理学等领域有着重要作用。本课程涉及的难点和知识点包括极限、连续性等，发展前景广阔。点和知识点包括极限、连续性等，发展前景广阔。多元函数概念多元函数概念多元函数的数学定义定义定义多元函数的特点和规律性质性质多元函数的可视化表示图像图像 多元函数的极限多元函数的极限多元函数极限的定义和概念概念概念多元函数一元极限的计算方法和应用一元极限一元极限多元函数多元极限的计算方法和应用多元极限多元极限多元函数极限存在和不存在的情况存在性存在性多元函数的连续性多元函数的连续性多元函数连续性的定义和概念概念概念多元函数一元连续的计算方法和应用一元连续一元连续多元函数多元连续的计算方法和应用多

3、元连续多元连续多元函数连续与极限的关系和判定方法连续与极限连续与极限描述高维时空和物质运动规律物理学物理学0103处理高维数据和模型训练机器学习机器学习02渲染3D场景和动画效果计算机图形学计算机图形学课程重点本课程重点在于掌握多元函数的极限和连续性的概念，本课程重点在于掌握多元函数的极限和连续性的概念，理解多元函数的性质和应用场景，掌握多元函数的计理解多元函数的性质和应用场景，掌握多元函数的计算方法和判定技巧。希望通过本课程的学习，能够对算方法和判定技巧。希望通过本课程的学习，能够对多元函数有更深入的认识和理解。多元函数有更深入的认识和理解。CATALOGUE 0202第第2章章 偏偏导导数

4、及其数及其应应用用 偏导数的定义偏导数是多元函数在某一点沿特定坐标轴方向的导数。偏导数是多元函数在某一点沿特定坐标轴方向的导数。具体来说，如果具体来说，如果f(x,y)f(x,y)表示二元函数，那么表示二元函数，那么f f对对x x的偏的偏导数表示在导数表示在y y固定的情况下，固定的情况下，x x方向上的变化率；同理，方向上的变化率；同理，f f对对y y的偏导数表示在的偏导数表示在x x固定的情况下，固定的情况下，y y方向上的变化方向上的变化率。率。偏导数的计算方法和符号偏导数的计算方法和符号偏导数的计算公式为f/x和f/y，分别表示对x和y的偏导数。公式公式偏导数的符号是，它与普通导数

5、的符号区别开来。符号符号如果一个函数有多个自变量，而我们只对其中一个自变量求偏导数，那么这个偏导数就是部分导数。部分导数部分导数 通过一阶偏导数判断函数是否有极值函数的极值函数的极值0103通过二阶偏导数判断函数的凸性或者凹性函数的凸性函数的凸性02通过二阶偏导数判断函数的单调性函数的单调性函数的单调性高阶偏导数如果一个多元函数有多个自变量，那么它的偏导数可如果一个多元函数有多个自变量，那么它的偏导数可以有多个，也就是偏导数可以进行多次求导。求取多以有多个，也就是偏导数可以进行多次求导。求取多次偏导数得到的偏导数称为高阶偏导数。次偏导数得到的偏导数称为高阶偏导数。高阶偏导数的计算和表示方法高阶

6、偏导数的计算和表示方法二阶偏导数是对一阶偏导数关于某一变量再次求导得到的结果，用f/x和f/y表示。二阶偏导数二阶偏导数混合偏导数是对一阶偏导数关于两个不同变量求导得到的结果，用f/xy和f/yx表示。混合偏导数混合偏导数高阶混合偏导数是对混合偏导数进行多次求导得到的结果。高阶混合偏导高阶混合偏导数数 高阶偏导数的几高阶偏导数的几高阶偏导数的几高阶偏导数的几何意义及其应用何意义及其应用何意义及其应用何意义及其应用高阶偏导数的几何意义比一阶偏导数要复杂一些，但是它高阶偏导数的几何意义比一阶偏导数要复杂一些，但是它在很多应用中都有非常重要的作用。比如在微积分中，高在很多应用中都有非常重要的作用。比

7、如在微积分中，高阶偏导数可以用来判断函数的拐点等信息，在优化方法中，阶偏导数可以用来判断函数的拐点等信息，在优化方法中，高阶偏导数可以用来刻画函数的形态和变化。高阶偏导数可以用来刻画函数的形态和变化。隐函数求导法隐函数求导法是用于求解含有隐式变量的方程关系所隐函数求导法是用于求解含有隐式变量的方程关系所表示的函数的导数的方法。表示的函数的导数的方法。隐函数求导法的具体步骤和例题隐函数求导法的具体步骤和例题将式子化为f(x,y)0或F(x,y,z)=0的形式步骤步骤1 1对于x求导，将y看作常数，得到df/dx=-F_x/F_y步骤步骤2 2对于y求导，将x看作常数，得到df/dy=-F_x/F

8、_y步骤步骤3 3求解x2+y2=25的导数，可以将它写成f(x,y)=x2+y2-25=0的形式，然后根据公式求导。例题例题比如万有引力公式中的角度求导等物理问题物理问题0103比如心血管系统中的动脉压力与心跳之间的关系等生物学问题生物学问题02比如效用函数的导数等经济学问题经济学问题多元函数的微分多元函数的微分是一个向量，它由函数的所有一阶偏多元函数的微分是一个向量，它由函数的所有一阶偏导数组成，可以看作是对整个函数局部的近似。导数组成，可以看作是对整个函数局部的近似。性质性质性质性质多元函数的微分具有线性性质，多元函数的微分具有线性性质，即即d(F+G)=dF+dGd(F+G)=dF+d

9、G多元函数的微分具有局部性质，多元函数的微分具有局部性质，即微分的结果只与某一点的函即微分的结果只与某一点的函数值和偏导数有关。数值和偏导数有关。应用应用应用应用多元函数微分可以用于刻画函多元函数微分可以用于刻画函数的局部特征，比如函数的最数的局部特征，比如函数的最值、拐点等值、拐点等多元函数微分可以用于线性化多元函数微分可以用于线性化问题，将非线性问题转化为线问题，将非线性问题转化为线性问题，从而更容易求解。性问题，从而更容易求解。计算计算计算计算计算多元函数的微分需要对函计算多元函数的微分需要对函数的所有自变量求偏导数，最数的所有自变量求偏导数，最终得到的是一个向量，其每一终得到的是一个向

10、量，其每一个分量均为一个偏导数。个分量均为一个偏导数。多元函数微分的计算方法多元函数微分的计算方法公式公式公式公式dF=dF=F/F/x*dx+x*dx+F/F/y*dyy*dy其中其中dxdx和和dydy是函数自变量的微是函数自变量的微小变化量，小变化量，F/F/x x和和 F/F/y y依次依次表示对表示对x x和和y y的偏导数。的偏导数。CATALOGUE 0303第第3章章 多元函数的多元函数的积积分分 二重积分二重积分二重积分二重积分二重积分指的是在二维平面上对某个区域内的函数进行积二重积分指的是在二维平面上对某个区域内的函数进行积分，可以用于求面积、质量、重心等物理量。分，可以用

11、于求面积、质量、重心等物理量。二重积分的计算方法和符号二重积分的计算方法和符号利用累次积分计算直角坐标系下直角坐标系下的二重积分的二重积分利用换元法极坐标系下的极坐标系下的二重积分二重积分f(x,y)d二重积分的符二重积分的符号号通过累次积分求解矩形域上的二矩形域上的二重积分重积分利用三重积分计算空间中某个区域的体积体积计算体积计算0103如磁场强度、电场强度等物理问题中的应用物理问题中的应用02利用三重积分求解空间中某个物体的质量质量计算质量计算步骤步骤步骤步骤2 2 2 2将原来的二重积分中的自变量将原来的二重积分中的自变量用新的自变量表示用新的自变量表示确定新的积分区域确定新的积分区域步

12、骤步骤步骤步骤3 3 3 3对新的二重积分进行求解对新的二重积分进行求解将答案转化为原来的自变量表将答案转化为原来的自变量表示示例题例题例题例题1 1 1 1用变量代换法求解二重积分用变量代换法求解二重积分xdxdyxdxdy，其中区域为，其中区域为x2+y21x2+y21变量代换法的具体步骤和例题变量代换法的具体步骤和例题步骤步骤步骤步骤1 1 1 1找到合适的变量代换找到合适的变量代换建立新的二重积分建立新的二重积分变量代换法的应用变量代换法主要用于化简积分式，使得复杂的积分可变量代换法主要用于化简积分式，使得复杂的积分可以容易地求解。在实际问题中，变量代换法常用于解以容易地求解。在实际问

13、题中，变量代换法常用于解决坐标系转化、参数化曲线、参数化曲面等问题。决坐标系转化、参数化曲线、参数化曲面等问题。利用三重积分求解球体的体积球体的体积0103利用三重积分求解棱柱的体积棱柱的体积02利用二重积分求解圆柱体的体积圆柱体的体积CATALOGUE 0404第第4章章 多元函数的微多元函数的微积积分基分基本定理本定理 多元函数的一元积分多元函数的一元积分是指对多元函数在一条曲线上的多元函数的一元积分是指对多元函数在一条曲线上的积分。可以分为不定积分和定积分，其中不定积分用积分。可以分为不定积分和定积分，其中不定积分用于求解原函数，定积分用于求解函数在某一区间的积于求解原函数，定积分用于求

14、解函数在某一区间的积分值。多元函数的一元积分具有线性性质和积分中值分值。多元函数的一元积分具有线性性质和积分中值定理等性质，应用广泛。定理等性质，应用广泛。多元函数的一元积分性质多元函数的一元积分性质若f,g为两个多元函数，c为常数，则有a,b(cf+g)dca,b f d+a,b g d线性性质线性性质若f为多元函数，为一条曲线，则存在一点x，使得 f d=f(x)L(L为曲线的长度)积分中值定理积分中值定理设u,v为两个多元函数，则有a,b u dv=u v|a,b-a,b v du分部积分公式分部积分公式设f为多元函数，g为一元函数，g(x)在a,b上连续，且f(x,y)在g(a)到g(

15、b)上有定义，则有a,b f(x,y)dy=g(a),g(b)f(x,g(x)g(x)dx换元积分法换元积分法GreenGreenGreenGreen公式公式公式公式GreenGreen公式是关于多元函数的积分定理，将多元函数的曲面公式是关于多元函数的积分定理，将多元函数的曲面积分转化成为曲线积分并且两者相等。在物理和几何学中积分转化成为曲线积分并且两者相等。在物理和几何学中具有广泛的应用，常用于解决电磁学问题和曲线积分的计具有广泛的应用，常用于解决电磁学问题和曲线积分的计算问题。算问题。GreenGreen公式的应用公式的应用Green公式可以将曲面积分转化为曲线积分，方便求解计算曲线积分计

16、算曲线积分Green公式可以解决电磁学问题中的电荷分布、电场强度等问题求解电磁学问求解电磁学问题题Green公式可以计算梯度场沿一条闭合曲线的环量求解梯度场的求解梯度场的环量环量Green公式可以计算流体流过曲线时的流量求解流量求解流量StokesStokesStokesStokes公式公式公式公式StokesStokes公式是关于多元函数的积分定理，将多元函数的曲公式是关于多元函数的积分定理，将多元函数的曲面积分转化成为环量积分并且两者相等。在物理和几何学面积分转化成为环量积分并且两者相等。在物理和几何学中具有广泛的应用，常用于解决电磁学问题和环量积分的中具有广泛的应用，常用于解决电磁学问题

17、和环量积分的计算问题。计算问题。计算环量计算环量计算环量计算环量StokesStokes公式可以将三维矢量场公式可以将三维矢量场的曲面积分转化为曲线环量的的曲面积分转化为曲线环量的形式，方便求解形式，方便求解环量的计算可以用于求解电感环量的计算可以用于求解电感等电路问题等电路问题求解电磁学问题求解电磁学问题求解电磁学问题求解电磁学问题StokesStokes公式可以解决电磁学问公式可以解决电磁学问题中的旋度矢量、电场强度等题中的旋度矢量、电场强度等问题问题在求解磁通量、感应电动势等在求解磁通量、感应电动势等问题中有广泛的应用问题中有广泛的应用求解流体力学问题求解流体力学问题求解流体力学问题求解

18、流体力学问题StokesStokes公式可以计算流体绕曲公式可以计算流体绕曲线的流量线的流量也可以计算磁场中的涡量和涡也可以计算磁场中的涡量和涡旋等问题旋等问题StokesStokes公式的应用公式的应用求解旋度求解旋度求解旋度求解旋度StokesStokes公式可以计算矢量场的公式可以计算矢量场的旋度旋度旋度的计算可以用于求解流体旋度的计算可以用于求解流体的涡量和角速度的涡量和角速度GaussGaussGaussGauss公式公式公式公式GaussGauss公式是关于多元函数的积分定理，将多元函数的曲面公式是关于多元函数的积分定理，将多元函数的曲面积分转化成为体积积分并且两者相等。在物理和几

19、何学中积分转化成为体积积分并且两者相等。在物理和几何学中具有广泛的应用，常用于解决静电学问题和体积积分的计具有广泛的应用，常用于解决静电学问题和体积积分的计算问题。算问题。Gauss公式可以求解电荷分布在闭合曲面内的电势能求解电势能求解电势能0103Gauss公式可以计算流体流过闭合曲面的流量求解流量求解流量02Gauss公式可以求解电荷分布在闭合曲面上的总电量求解电荷密度分布求解电荷密度分布CATALOGUE 0505第第5章章 常微分方程常微分方程 常微分方程的概念常微分方程是描述函数和它的导数之间关系的方程，常微分方程是描述函数和它的导数之间关系的方程，通常用于研究自然现象和工程问题。常

20、微分方程的初通常用于研究自然现象和工程问题。常微分方程的初值问题和边值问题是常见的求解形式，而数值解法和值问题和边值问题是常见的求解形式，而数值解法和解的存在唯一性是常微分方程的重要研究内容。解的存在唯一性是常微分方程的重要研究内容。一阶常微分方程一阶常微分方程将方程化为两个变量的函数分离变量法分离变量法将方程化为具有相似结构的形式齐次法齐次法常见于物理和工程问题，如衰减、生长、震荡等应用应用 一阶常微分方程一阶常微分方程一阶常微分方程一阶常微分方程的求解方法的求解方法的求解方法的求解方法一阶常微分方程求解方法包括分离变量法和齐次法两种，一阶常微分方程求解方法包括分离变量法和齐次法两种，分离变

21、量法将方程化为两个变量的函数，齐次法则将方程分离变量法将方程化为两个变量的函数，齐次法则将方程化为具有相似结构的形式。这些方法在许多物理和工程问化为具有相似结构的形式。这些方法在许多物理和工程问题中得到广泛应用，如衰减、生长、震荡等。题中得到广泛应用，如衰减、生长、震荡等。二阶常微分方程二阶常微分方程通过求解特征方程来得到方程的通解特征方程求解特征方程求解当二阶常微分方程的系数不含自变量时，使用常系数法求解常系数法常系数法常见于物理和工程问题，如振动、波传播、自由落体等应用应用 通过求解特征方程来得到方程的通解特征方程求解特征方程求解0103常见于物理和工程问题，如振动、波传播、自由落体等应用

22、应用02当二阶常微分方程的系数不含自变量时，使用常系数法求解常系数法常系数法线性和非线性线性和非线性线性和非线性线性和非线性高阶常微分方程可以分为线性高阶常微分方程可以分为线性和非线性两种和非线性两种线性方程具有特殊的求解方法，线性方程具有特殊的求解方法，非线性方程的求解则更加困难非线性方程的求解则更加困难应用应用应用应用常见于物理和工程问题，如振常见于物理和工程问题，如振动、波传播、自由落体等动、波传播、自由落体等在计算机科学、经济学等领域在计算机科学、经济学等领域也有广泛应用也有广泛应用数值解法数值解法数值解法数值解法当方程无法用解析方法求解时，当方程无法用解析方法求解时，可以使用数值解法

23、可以使用数值解法数值解法是一种逼近算法，通数值解法是一种逼近算法，通过计算来逼近精确解过计算来逼近精确解高阶常微分方程高阶常微分方程求解方法求解方法求解方法求解方法高阶常微分方程的求解方法包高阶常微分方程的求解方法包括变量分离、特征方程、常系括变量分离、特征方程、常系数法等数法等当方程为非线性时，需要采用当方程为非线性时，需要采用数值解法或其他逼近方法求解数值解法或其他逼近方法求解总结常微分方程是数学中的重要分支，具有广泛的应用。常微分方程是数学中的重要分支，具有广泛的应用。在物理学、工程学、计算机科学、经济学等众多领域在物理学、工程学、计算机科学、经济学等众多领域中都有重要作用。常微分方程的

24、求解方法包括分离变中都有重要作用。常微分方程的求解方法包括分离变量、齐次法、常系数法、特征方程、数值解法等。这量、齐次法、常系数法、特征方程、数值解法等。这些方法具有广泛的适用性，可以用于解决各种现实问些方法具有广泛的适用性，可以用于解决各种现实问题。题。CATALOGUE 0606第第6章章 总结总结 课程内容回顾本课程的重点和难点包括多元函数的概念、极值、梯本课程的重点和难点包括多元函数的概念、极值、梯度、拉格朗日乘数法等。通过学习，大家可以更好地度、拉格朗日乘数法等。通过学习，大家可以更好地理解高等数学的知识体系和方法论。理解高等数学的知识体系和方法论。学习收获和提高学习收获和提高对多元

25、函数的概念有了更深刻的认识，能够运用相关理论解决实际问题。理论认识理论认识提高了数学建模和计算的能力，懂得应用高数知识分析和解决问题。数学技巧数学技巧培养了科学思维和创新意识，有利于日后的学术研究和工作实践。学术思维学术思维 合理分配时间，把握学习进度，掌握重要知识点和难点。制定学习计划制定学习计划0103关注新领域、新方向和新成果，开拓学术视野，助力个人发展。关注学科前沿关注学科前沿02多做题、多模拟，锻炼分析思维和解决问题的能力。注重实践与应用注重实践与应用应用解题方法应用解题方法应用解题方法应用解题方法熟悉梯度的计算和应用熟悉梯度的计算和应用掌握拉格朗日乘数法的原理和掌握拉格朗日乘数法的

26、原理和应用应用理解多元函数的微分学和积分理解多元函数的微分学和积分学学增强数学能力增强数学能力增强数学能力增强数学能力阅读数学经典著作和研究论文阅读数学经典著作和研究论文参加数学建模和比赛活动参加数学建模和比赛活动学习其他学科的交叉知识学习其他学科的交叉知识注重学习体验注重学习体验注重学习体验注重学习体验讲解生动、形象、易懂讲解生动、形象、易懂作业充分、有益、锻炼作业充分、有益、锻炼互动多样、交流积极、氛围良互动多样、交流积极、氛围良好好学习方法和技巧学习方法和技巧理解基础概念理解基础概念理解基础概念理解基础概念掌握多元函数的概念和基本性掌握多元函数的概念和基本性质质了解多元函数的图形和特征了

27、解多元函数的图形和特征熟悉多元函数的极值和最值熟悉多元函数的极值和最值学习高数学习高数学习高数学习高数13131313多元多元多元多元函数的注意事项函数的注意事项函数的注意事项函数的注意事项1.1.抓住基础知识，逐步深化学习抓住基础知识，逐步深化学习2.2.充分利用教材和网络资源，找到适合自己的学习方法充分利用教材和网络资源，找到适合自己的学习方法3.3.勤做习题，多思考并归纳总结勤做习题，多思考并归纳总结4.4.注意理论与实践的结合，注重科学研究和实践应用注意理论与实践的结合，注重科学研究和实践应用5.5.提高数学素养和科学素养，全面提高综合素质提高数学素养和科学素养，全面提高综合素质 THANKS 感谢观看