人大微积分课件11-2正项级数及其审敛法.pptx

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1、人大微积分课件人大微积分课件11-211-2正项正项级数及其审敛法级数及其审敛法 制作人：时间：2024年X月目录目录第第1 1章章 简介简介第第2 2章章 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法第第3 3章章 幂级数幂级数第第4 4章章 收敛速度收敛速度第第5 5章章 广义积分广义积分第第6 6章章 总结总结第第7 7章章 附录附录 0101第第1章章 简简介介 课程概述课程概述本章介绍微积分课程的起源、发展和应用前景。同时，介绍本门课程的教学目标和体系结构，引导学生了解本门课程的重要性。微积分的基础概念微积分的基础概念介绍微积分的基本概念：导数和积分的含义。通过例题解析，引导学生理解微积分的

2、运用方式和意义。微积分的发展历微积分的发展历微积分的发展历微积分的发展历程程程程微积分的历史发展过程非常复杂，涉及到许多伟大的数学微积分的历史发展过程非常复杂，涉及到许多伟大的数学家。在本节课中，我们将介绍微积分学者的生平和代表作家。在本节课中，我们将介绍微积分学者的生平和代表作品，激励学生对微积分学科的兴趣。品，激励学生对微积分学科的兴趣。应用于物理学中的运动和力学方面物理物理0103用于社会学中的统计分析和数据处理社会学社会学02用于经济学中的优化和模型构建经济经济微积分的重要性微积分的重要性微积分是数学中的重要分支，可以用来解决实际问题。解决实际问题解决实际问题微积分是许多科学领域的基础

3、，促进了科学的发展。推动科学发展推动科学发展学习微积分可以提高数学思维能力，培养逻辑分析和推理能力。提升数学思维提升数学思维 积分积分积分积分积分的定义积分的定义积分的性质积分的性质求积分的基本方法求积分的基本方法微积分的应用微积分的应用微积分的应用微积分的应用求极值求极值求曲线的斜率求曲线的斜率求曲线的弧长求曲线的弧长其他其他其他其他微分方程微分方程级数级数傅里叶级数傅里叶级数微积分的基础概念微积分的基础概念导数导数导数导数导数的定义导数的定义导数的性质导数的性质求导的基本方法求导的基本方法 0202第第2章章 正正项级项级数及其数及其审敛审敛法法 正项级数的概念正项级数的概念正项级数是指所

4、有项都为非负实数的级数，可以用求和符号表示。正项级数的性质和特点正项级数的性质和特点如果an是一个递增或者递减序列，那么正项级数的收敛与发散与an的收敛性质一致。单调性单调性如果lim(an+1/an)1，那么正项级数发散；如果lim(an+1/an)1，那么该方法不适用。比值判别法比值判别法如果lim(sqrtnan)1，那么正项级数发散；如果lim(sqrtnan)=1，那么该方法不适用。根值判别法根值判别法如果(an)dx从1到+收敛，那么正项级数收敛；如果(an)dx从1到+发散，那么正项级数发散；如果该积分不存在，那么该方法不适用。积分判别法积分判别法比较审敛法比较审敛法比较审敛法比

5、较审敛法比较审敛法是指通过比较被判定级数与另一收敛或发散的比较审敛法是指通过比较被判定级数与另一收敛或发散的级数之间的大小关系来判断所求级数的敛散性。如果被判级数之间的大小关系来判断所求级数的敛散性。如果被判定级数的一项大于另一收敛的级数的对应项，则该级数发定级数的一项大于另一收敛的级数的对应项，则该级数发散；如果被判定级数的一项小于另一收敛的级数的对应项，散；如果被判定级数的一项小于另一收敛的级数的对应项，则该级数收敛。则该级数收敛。比较审敛法适用于正项级数的判断，要求被判定级数的项比较规律，可以和收敛或发散的级数进行比较。适用范围适用范围0103比较审敛法不需要对级数求和，只需要比较级数的

6、大小关系，计算简单易行。优点优点02比较审敛法是判定级数敛散性的一种简单实用的方法，对于级数的计算和应用具有重要意义。实际意义实际意义根值审敛法根值审敛法根值审敛法根值审敛法判定方法：如果判定方法：如果lim(sqrtnan)1lim(sqrtnan)1lim(sqrtnan)1，那么，那么正项级数发散；如果正项级数发散；如果lim(sqrtnan)=1lim(sqrtnan)=1，那么，那么该方法不适用。该方法不适用。应用范围：适用于正项级数，应用范围：适用于正项级数，可以判定特殊级数。可以判定特殊级数。优点：可以判定特殊级数。优点：可以判定特殊级数。缺点：计算繁琐，难于掌握。缺点：计算繁琐

7、，难于掌握。选择方法选择方法选择方法选择方法对于一般的正项级数，比值审对于一般的正项级数，比值审敛法更加简单有效；但是对于敛法更加简单有效；但是对于特殊级数，比值审敛法不能判特殊级数，比值审敛法不能判定，此时应该采用根值审敛法。定，此时应该采用根值审敛法。实际应用实际应用实际应用实际应用在微积分的学习中，比值和根在微积分的学习中，比值和根值审敛法是最常用的判定级数值审敛法是最常用的判定级数敛散性的方法。理解和掌握这敛散性的方法。理解和掌握这两种方法对于学生掌握微积分两种方法对于学生掌握微积分知识结构具有重要意义。知识结构具有重要意义。比值审敛法比值审敛法 VS VS 根值审敛法根值审敛法比值审

8、敛法比值审敛法比值审敛法比值审敛法判定方法：如果判定方法：如果lim(an+1/an)1lim(an+1/an)1lim(an+1/an)1，那么正，那么正项级数发散；如果项级数发散；如果lim(an+1/an)=1lim(an+1/an)=1，那么该，那么该方法不适用。方法不适用。应用范围：适用于正项级数，应用范围：适用于正项级数，但不能判定特殊级数。但不能判定特殊级数。优点：计算简单，易于掌握。优点：计算简单，易于掌握。缺点：不能判定特殊级数。缺点：不能判定特殊级数。比值审敛法比值审敛法比值审敛法是判定正项级数敛散性的一种方法。其思想是比较相邻项的大小，以此来判断级数敛散。根值审敛法根值审

9、敛法根值审敛法是判定正项级数敛散性的一种方法。其思想是比较每一项的根号与一个固定值的大小关系，以此来判断级数敛散。比较审敛法的应用举例比较审敛法的应用举例证明级数n=1,+1/n2收敛。例例1 1证明级数n=1,+1/n收敛。例例2 2证明级数n=1,+n/n2收敛。例例3 3 0303第第3章章 幂级幂级数数 幂级数的定义幂级数的定义幂级数是指形如(n0)an(x-a)n的函数级数。在这一页里，我们将介绍幂级数的定义及其性质，并通过例题解析，帮助学生理解和掌握幂级数的概念和特点。收敛域收敛域在这一页里，我们将详细讲解幂级数的收敛域的定义和判定方法，并强调幂级数收敛域判定的实际应用，提高学生的

10、综合分析能力。泰勒公式泰勒公式泰勒公式是一种用多项式逼近几乎任何函数的方法，在这一页里，我们将介绍泰勒公式的定义和推导过程，并分析泰勒公式的应用和意义，帮助学生掌握泰勒公式的基本思想和实际应用方法。麦克劳林公式麦克劳林公式麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况，在这一页里，我们将讲解麦克劳林公式的定义和推导过程，并强调麦克劳林公式的特点和应用，帮助学生在实际问题中运用麦克劳林公式进行分析和解决问题。幂级数的性质幂级数的性质幂级数的收敛域是一个开区间，即存在r0，使得幂级数在(x-a)的绝对值小于r的那些点处收敛，而在(x-a)的绝对值大于r的那些点处发散。收敛域是一个收敛域是一个开区间开区间幂级

11、数的和函数是一种连续函数，在其收敛域内连续。幂级数的和函幂级数的和函数连续数连续幂级数在其收敛域内可以逐项求导和积分，得到的结果仍然是幂级数。幂级数可以逐幂级数可以逐项求导和积分项求导和积分在其收敛域内，幂级数可以逐项加减乘除，得到的结果仍然是幂级数。幂级数可以逐幂级数可以逐项加减乘除项加减乘除泰勒公式可以用于对函数进行数值逼近，即用多项式替代函数，以便于计算和处理。数值逼近数值逼近0103泰勒公式可以用于解一些特殊类型的微分方程，如常系数线性微分方程等。解微分方程解微分方程02泰勒公式可以用于求解各种类型的函数值，如三角函数、指数函数、对数函数等。函数求值函数求值收敛域的判定方收敛域的判定方

12、收敛域的判定方收敛域的判定方法法法法在这一页里，我们将介绍幂级数收敛域的判定方法，包括在这一页里，我们将介绍幂级数收敛域的判定方法，包括比值法、根值法、对数法等。我们将通过例题解析，并给比值法、根值法、对数法等。我们将通过例题解析，并给出一些注意事项，帮助学生理解和掌握幂级数收敛域的判出一些注意事项，帮助学生理解和掌握幂级数收敛域的判定方法。定方法。应用应用应用应用泰勒公式可以用于对任意函数泰勒公式可以用于对任意函数进行逼近，而麦克劳林公式则进行逼近，而麦克劳林公式则只适用于在只适用于在x=0 x=0附近的函数。附近的函数。泰勒公式通常用于解析度较高泰勒公式通常用于解析度较高的问题，而麦克劳林

13、公式则通的问题，而麦克劳林公式则通常用于解析度较低的问题。常用于解析度较低的问题。推导推导推导推导泰勒公式的推导一般需要用到泰勒公式的推导一般需要用到高阶导数，较为复杂。高阶导数，较为复杂。麦克劳林公式的推导相对简单，麦克劳林公式的推导相对简单，只需要对函数进行求导即可。只需要对函数进行求导即可。范围范围范围范围泰勒公式的范围和收敛域具有泰勒公式的范围和收敛域具有一定的限制，需要进行仔细的一定的限制，需要进行仔细的分析。分析。麦克劳林公式的范围和收敛域麦克劳林公式的范围和收敛域相对简单，通常只需要考虑相对简单，通常只需要考虑0 0附附近的情况。近的情况。比较泰勒公式和麦克劳林公式比较泰勒公式和

14、麦克劳林公式定义定义定义定义泰勒公式：在泰勒公式：在a a点处对函数进行点处对函数进行无限次求导，并求得对应的幂无限次求导，并求得对应的幂函数系数，即可得到泰勒公式。函数系数，即可得到泰勒公式。麦克劳林公式：在麦克劳林公式：在x=0 x=0处对函数处对函数进行无限次求导，并求得对应进行无限次求导，并求得对应的幂函数系数，即可得到麦克的幂函数系数，即可得到麦克劳林公式。劳林公式。小结小结在这一章中，我们介绍了幂级数、收敛域、泰勒公式和麦克劳林公式的相关内容。通过讲解和例题，帮助学生理解和掌握这些概念和方法，提高综合分析能力和问题解决能力。0404第第4章章 收收敛敛速度速度 绝对收敛绝对收敛绝对

15、收敛的概念定义定义绝对收敛的判定方法判定方法判定方法绝对收敛在实际问题中的应用实际应用实际应用 绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛是指当所有项的绝对值之和收敛时，级数也一定绝对收敛是指当所有项的绝对值之和收敛时，级数也一定收敛。收敛。条件收敛条件收敛条件收敛的概念定义定义条件收敛的判定方法判定方法判定方法条件收敛在实际问题中的应用实际应用实际应用 条件收敛条件收敛条件收敛条件收敛条件收敛是指当级数的绝对值发散，但级数本身收敛时，条件收敛是指当级数的绝对值发散，但级数本身收敛时，该级数是条件收敛的。该级数是条件收敛的。收敛速度收敛速度收敛速度的定义概念概念收敛速度的计算方法计算方法计算方法

16、收敛速度的应用和意义应用和意义应用和意义 收敛速度收敛速度收敛速度收敛速度收敛速度是指级数收敛到其极限的速度。如果收敛速度很收敛速度是指级数收敛到其极限的速度。如果收敛速度很快，那么级数收敛到其极限的速度就很快。快，那么级数收敛到其极限的速度就很快。速度级数速度级数速度级数的概念定义定义速度级数的计算方法计算方法计算方法速度级数在实际问题中的应用实际应用实际应用 速度级数速度级数速度级数速度级数速度级数是指级数在其收敛时，每一项的收敛速度。速度级数是指级数在其收敛时，每一项的收敛速度。0505第第5章章 广广义积义积分分 广义积分的定义广义积分的定义广义积分是一种特殊的积分，其被积函数可能存在

17、无穷或不连续的情况，需要使用极限理论进行定义及计算。广义积分的性质包括线性性、可加性、区间可减性等。广义积分的实际意义和应用领域包括面积、体积、能量、质量等方面。收敛与发散收敛与发散广义积分的收敛与发散是判断广义积分是否存在有限值的重要方法。收敛的广义积分是有限的，而发散的广义积分是无限的或不存在。判定方法包括比较审敛法、比值审敛法、积分判别法、绝对收敛性等。将被积函数与其余收敛的函数进行比较比较审敛法比较审敛法0103比较审敛法和比值审敛法适用于广义积分的大部分判定情况应用范围应用范围02计算被积函数与一个收敛的参考函数的比值比值审敛法比值审敛法比值审敛法比值审敛法比值审敛法比值审敛法计算被

18、积函数与一个收敛的参计算被积函数与一个收敛的参考函数的比值考函数的比值求出比值的极限，判断极限是求出比值的极限，判断极限是否为有限值否为有限值如果为有限值，则该广义积分如果为有限值，则该广义积分收敛；否则发散收敛；否则发散积分判别法积分判别法积分判别法积分判别法将被积函数分解为基本函数的将被积函数分解为基本函数的和和对每个基本函数分别判定其广对每个基本函数分别判定其广义积分的收敛性义积分的收敛性根据不同基本函数的收敛性推根据不同基本函数的收敛性推导出广义积分的收敛性导出广义积分的收敛性绝对收敛性绝对收敛性绝对收敛性绝对收敛性当被积函数的绝对值在有限区当被积函数的绝对值在有限区间上可积时，称该广

19、义积分绝间上可积时，称该广义积分绝对收敛对收敛绝对收敛的广义积分一定收敛，绝对收敛的广义积分一定收敛，但收敛的广义积分未必绝对收但收敛的广义积分未必绝对收敛敛判定方法的实际应用判定方法的实际应用比较审敛法比较审敛法比较审敛法比较审敛法计算被积函数与一个收敛的参计算被积函数与一个收敛的参考函数的差值考函数的差值判断差值是否收敛，即该广义判断差值是否收敛，即该广义积分是否收敛积分是否收敛广义积分的实际广义积分的实际广义积分的实际广义积分的实际应用应用应用应用广义积分在实际问题中应用广泛，例如计算面积、体积、广义积分在实际问题中应用广泛，例如计算面积、体积、质心、重心等物理量；求解常微分方程、偏微分

20、方程等数质心、重心等物理量；求解常微分方程、偏微分方程等数学问题；研究概率、统计、信号处理等领域。学问题；研究概率、统计、信号处理等领域。广义积分的应用领域广义积分的应用领域求解物理量的密度、质心、重心、惯性矩等物理物理求解微积分、常微分方程、偏微分方程等数学问题数学数学求解弹性力学、电动力学、热力学、流体力学等工程问题工程工程应用广义积分计算概率密度、期望、方差等概率论与数理统计问题统计统计广义积分的优点广义积分的优点广义积分的优点广义积分的优点广义积分具有分段性和统一性，可以推广到属于不同可积广义积分具有分段性和统一性，可以推广到属于不同可积类的函数，在特殊的积分计算中具有独特的优势。类的

21、函数，在特殊的积分计算中具有独特的优势。0606第第6章章 总结总结 本课程回顾本课程回顾导数、微分、积分微积分基础知微积分基础知识识最值问题、曲线拟合、微分方程微积分应用微积分应用收敛性判定、审敛法反常积分反常积分 微积分应用发展趋势微积分应用发展趋势微积分在物理、化学、生物等领域的应用科学研究科学研究微积分在机械、建筑、电子等工程领域的应用工程技术工程技术微积分在统计、金融、市场营销等领域的应用数据分析数据分析 微积分知识的应微积分知识的应微积分知识的应微积分知识的应用和实践意义用和实践意义用和实践意义用和实践意义微积分作为数学的重要分支，应用广泛。熟练掌握微积分微积分作为数学的重要分支，

22、应用广泛。熟练掌握微积分知识，不仅有利于解决实际问题，还能够培养人们的创新知识，不仅有利于解决实际问题，还能够培养人们的创新精神和科学思维。精神和科学思维。微积分入门微积分入门微积分入门微积分入门作者：作者：Michael SpivakMichael Spivak特点：适合初学者，注重基础特点：适合初学者，注重基础概念的讲解概念的讲解微积分与宏观经济学微积分与宏观经济学微积分与宏观经济学微积分与宏观经济学作者：作者：Eric ChiapporiEric Chiappori特点：介绍微积分在经济学中特点：介绍微积分在经济学中的应用的应用微积分及其应用微积分及其应用微积分及其应用微积分及其应用作者

23、：作者：Marvin BittingerMarvin Bittinger特点：注重实际问题的讲解，特点：注重实际问题的讲解，配有大量例题配有大量例题推荐参考书推荐参考书微积分微积分微积分微积分作者：作者：James StewartJames Stewart特点：全面深入，适合高年级特点：全面深入，适合高年级学生学生包括导数、微分、积分等掌握微积分基础知识掌握微积分基础知识0103更好地理解反常积分掌握反常积分的审敛法掌握反常积分的审敛法02能够解决实际问题理解微积分的应用理解微积分的应用 0707第第7章章 附附录录 是数学的一个分支，涉及极限、导数、微分、积分、级数等概念微积分微积分0103

24、函数与坐标轴围成的面积积分积分02函数在一点处的变化率导数导数作者：谢铁牛微积分学教程微积分学教程0103作者：陈纪修微积分学微积分学02作者：刘汝佳微积分学教程习题集微积分学教程习题集课程评价课程评价可以帮助巩固课堂知识，复习复杂概念听课笔记听课笔记是对学生学习效果的一次检验，也是课程的重要组成部分期末考试期末考试可以帮助教师了解学生的实际需求，及时调整教学策略学生反馈学生反馈是衡量课程成功的重要指标，需要从多个维度进行评价教学质量教学质量联系方式联系方式Email:calculus_Tel:1234567890Address:人民大学欢迎随时和我联系，共同推动微积分课程的发展THANKSTHANKS 谢谢观看！