人大微积分课件5-5广义积分.pptx

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1、人大微积分课件人大微积分课件5-55-5广义积广义积分分 制作人：时间：2024年X月目录目录第第1 1章章 简介简介第第2 2章章 线性变换与积分线性变换与积分第第3 3章章 Gamma Gamma函数与贝塞尔函数函数与贝塞尔函数第第4 4章章 傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数与傅里叶变换第第5 5章章 拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与Z Z变换变换 0101第第1章章 简简介介 微积分与广义积微积分与广义积微积分与广义积微积分与广义积分的关系分的关系分的关系分的关系微积分是研究不定积分和定积分的学科，广义积分是不定微积分是研究不定积分和定积分的学科，广义积分是不定积分和定积分的推广。微积分解决

2、的问题多数情况下是通积分和定积分的推广。微积分解决的问题多数情况下是通过定积分求解，但部分情况下定积分并不能解决问题，此过定积分求解，但部分情况下定积分并不能解决问题，此时就需要用到广义积分。时就需要用到广义积分。广义积分的概念与定义广义积分的概念与定义是无界函数的积分广义积分广义积分是对无界函数作积分的推广广义积分的定广义积分的定义义需要限制积分区间和函数的性质广义积分的计广义积分的计算算 可以用广义积分的形式表示概率密度函数概率密度函数0103可以用广义积分的形式表示方差方差02可以用广义积分的形式表示期望值期望值收敛性判别法收敛性判别法收敛性判别法收敛性判别法可以通过比较函数的大小来判可

3、以通过比较函数的大小来判断广义积分的收敛性。断广义积分的收敛性。如比较判断法、如比较判断法、CauchyCauchy判别法、判别法、DirichletDirichlet判别法等。判别法等。分部积分法分部积分法分部积分法分部积分法可以将广义积分化为两个定积可以将广义积分化为两个定积分的和。分的和。常用于求证函数的收敛性和计常用于求证函数的收敛性和计算一些特殊的广义积分。算一些特殊的广义积分。换元法换元法换元法换元法将广义积分的自变量写成另一将广义积分的自变量写成另一个函数的形式，从而化为求另个函数的形式，从而化为求另一个函数的定积分。一个函数的定积分。通常用于计算具有一定对称性通常用于计算具有一

4、定对称性的广义积分。的广义积分。广义积分的计算方法广义积分的计算方法利利利利用用用用函函函函数数数数的的的的连连连连续续续续性性性性、可可可可积积积积性性性性和和和和非非非非负负负负性性性性计计计计算广义积分算广义积分算广义积分算广义积分如果函数在积分区间上具有连如果函数在积分区间上具有连续性、可积性和非负性，则可续性、可积性和非负性，则可以用定积分的方法计算广义积以用定积分的方法计算广义积分。分。广义积分收敛的概念广义积分收敛的概念广义积分收敛的概念是指当积分区间为无穷大时，积分的值仍然有限。在广义积分收敛的情况下，我们可以通过定积分的方法求解广义积分。广义积分收敛的广义积分收敛的广义积分收

5、敛的广义积分收敛的充分条件充分条件充分条件充分条件广义积分收敛的充分条件是函数在积分区间上的绝对值函广义积分收敛的充分条件是函数在积分区间上的绝对值函数的积分是有限的。也就是说，如果绝对值函数的积分是数的积分是有限的。也就是说，如果绝对值函数的积分是有限的，那么原来的广义积分就是收敛的。有限的，那么原来的广义积分就是收敛的。广义积分发散的充要条件广义积分发散的充要条件如果积分的函数在积分区间上是正值，则广义积分发散。充分条件充分条件如果广义积分收敛，则其收敛必须快于积分区间的某个正常函数。必要条件必要条件 函数的绝对值在积分区间上是可积的，表示广义积分的绝对值收敛，原来的广义积分也一定收敛。绝

6、对收敛绝对收敛0103 02广义积分的绝对值不收敛，但是本身的积分是收敛的，表示广义积分是条件收敛。条件收敛条件收敛 0202第第2章章 线线性性变换变换与与积积分分 线性变换的概念与性质线性变换的概念与性质线性变换是指在数学中，一个函数可以称为线性变换，当且仅当满足线性叠加性和齐次性条件。其中线性叠加性是指函数的输入可以分解成基底的线性组合，而函数的输出也可以用同一组基底的线性组合表示；齐次性是指函数的零元素的输出也是零元素。线性变换有许多常见的性质，如必须保持向量空间中的加法和标量乘法，必须满足对抗性和同态性等。线性变换的基本性质线性变换的基本性质定义线性变换的重要条件线性叠加性质线性叠加

7、性质零向量的输出也是零向量齐次性质齐次性质线性变换必须保持向量空间中的加法和标量乘法保持加法、标保持加法、标量乘法量乘法矩阵的对抗性是指如果某个矩阵的秩为r，则其伴随矩阵的秩也为r对抗性对抗性线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示将向量空间的基底变换后得到的矩阵变换矩阵变换矩阵将变换矩阵用不同的基底表示的公式基变换公式基变换公式线性变换的乘法可以解释为矩阵的乘法矩阵乘法的解矩阵乘法的解释释矩阵的秩与线性变换有密切的关系矩阵的秩矩阵的秩线性变换下积分线性变换下积分线性变换下积分线性变换下积分的变换的变换的变换的变换在线性变换下，积分的不变性是一个重要的性质。这个性在线性变换下，积分的不变性是一个重

8、要的性质。这个性质说明变换后的函数的积分与变换前的函数的积分是相等质说明变换后的函数的积分与变换前的函数的积分是相等的。另外，坐标变换公式和定积分的线性性质也是线性变的。另外，坐标变换公式和定积分的线性性质也是线性变换下积分的重要概念。换下积分的重要概念。矩矩矩矩阵阵阵阵变变变变换换换换下下下下积积积积分分分分的的的的不变性证明不变性证明不变性证明不变性证明矩阵变换下积分的不变性可以矩阵变换下积分的不变性可以通过证明两个积分的等价性来通过证明两个积分的等价性来完成。完成。假设有两个函数假设有两个函数f(x)f(x)和和g(x)g(x)，它们通过一个矩阵它们通过一个矩阵A A的变换得到的变换得到

9、了了f(Ax)f(Ax)和和g(Ax)g(Ax)。如果证明。如果证明f(Ax)f(Ax)和和g(Ax)g(Ax)的积分相等，就的积分相等，就可以得出矩阵变换下积分的不可以得出矩阵变换下积分的不变性。变性。矩矩矩矩阵阵阵阵变变变变换换换换下下下下定定定定积积积积分分分分的的的的求法求法求法求法由于矩阵变换下积分的不变性，由于矩阵变换下积分的不变性，定积分的求法可以直接应用线定积分的求法可以直接应用线性变换下定积分的求法。性变换下定积分的求法。具体而言，根据定积分的线性具体而言，根据定积分的线性性质和矩阵变换下积分的不变性质和矩阵变换下积分的不变性，可以将矩阵变换下的定积性，可以将矩阵变换下的定积

10、分转化为线性变换下的定积分，分转化为线性变换下的定积分，然后再按照线性变换下定积分然后再按照线性变换下定积分的求法计算即可。的求法计算即可。矩矩矩矩阵阵阵阵的的的的特特特特征征征征值值值值和和和和特特特特征征征征向量向量向量向量矩阵的特征值和特征向量是矩矩阵的特征值和特征向量是矩阵变换下的重要概念。特征值阵变换下的重要概念。特征值是指矩阵变换下的一个标量，是指矩阵变换下的一个标量，特征向量是指与特征值相关联特征向量是指与特征值相关联的向量。的向量。矩阵变换下积分的不变性矩阵变换下积分的不变性矩阵变换的定义矩阵变换的定义矩阵变换的定义矩阵变换的定义矩阵变换是指在向量空间中，矩阵变换是指在向量空间

11、中，通过乘以一个矩阵来实现的线通过乘以一个矩阵来实现的线性变换。性变换。定积分的上下限随变量的线性变换而变化积分变量线性变换的概念积分变量线性变换的概念0103与线性变换下积分的不变性相类似，积分变量的线性变换下积分的不变性也是成立的积分变量线性变换下积分的不变性积分变量线性变换下积分的不变性02以一个简单的多项式为例，说明如何求积分变量的线性变换积分变量线性变换的求法积分变量线性变换的求法总结总结线性变换在微积分中具有重要的作用线性变换线性变换积分变量的线性变换对积分计算非常有用积分变量的线积分变量的线性变换性变换矩阵变换下积分的不变性是线性代数中的一个重要结果矩阵变换下积矩阵变换下积分的不

12、变性分的不变性特征值和特征向量是线性变换下的重要概念特征值和特征特征值和特征向量向量 0303第第3章章 Gamma函数与函数与贝贝塞塞尔尔函数函数 GammaGammaGammaGamma函数的定函数的定函数的定函数的定义及性质义及性质义及性质义及性质GammaGamma函数是一种广义的阶乘函数，定义为：函数是一种广义的阶乘函数，定义为：$Gamma(z)int_0inftytz-1e-tdt$Gamma(z)int_0inftytz-1e-tdt$。它的。它的性质包括：对于正整数性质包括：对于正整数$n$n$，$Gamma(n)=(n-1)!$Gamma(n)=(n-1)!$；$Gamma

13、(z+1)=zGamma(z)$Gamma(z+1)=zGamma(z)$；$Gamma(frac12)=sqrtpi$Gamma(frac12)=sqrtpi$等。此外，还有一等。此外，还有一些特殊函数可以表示为些特殊函数可以表示为GammaGamma函数，如阶梯函数、函数，如阶梯函数、BetaBeta函函数等。数等。GammaGamma函数的应用函数的应用组合数学、数论等数学数学量子力学、统计力学等物理物理信号处理、波导等工程工程 贝塞尔函数的定贝塞尔函数的定贝塞尔函数的定贝塞尔函数的定义义义义贝塞尔函数是一组解某些偏微分方程的函数，最早由德国贝塞尔函数是一组解某些偏微分方程的函数，最早由

14、德国数学家贝塞尔研究得到。它的定义为：数学家贝塞尔研究得到。它的定义为：$J_n(x)=sum_k=0inftyfrac$J_n(x)=sum_k=0inftyfrac(-1)kk!(n+k)!(fracx2)n+2k$(-1)kk!(n+k)!(fracx2)n+2k$。贝塞尔。贝塞尔函数的性质包括：函数的性质包括：$J_-n(x)=(-1)nJ_n(x)$J_-n(x)=(-1)nJ_n(x)$；$J_n(x)=frac1piint_0picos(ntheta-$J_n(x)=frac1piint_0picos(ntheta-xsintheta)dtheta$xsintheta)dthet

15、a$等。等。贝塞尔函数的应用贝塞尔函数的应用微积分、泛函分析等数学数学电磁场、振动力学等物理物理天线、光学纤维等工程工程 有无穷多个零点参数小于参数小于1 10103图像单调递增且无零点参数大于参数大于1 102图像与x轴相切参数等于参数等于1 1性质性质性质性质奇偶性、单调性等奇偶性、单调性等贝塞尔函数的级数表示贝塞尔函数的级数表示贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式特殊函数特殊函数特殊函数特殊函数贝塞尔函数的邻居函数贝塞尔函数的邻居函数贝塞尔函数的贝塞尔函数的HankelHankel函数函数贝塞尔函数的球面贝塞尔函数贝塞尔函数的球面贝塞尔函数应用应用应用应用贝塞尔函数在微积分中的应用贝

16、塞尔函数在微积分中的应用贝塞尔函数在电磁场中的应用贝塞尔函数在电磁场中的应用贝塞尔函数在振动力学中的应贝塞尔函数在振动力学中的应用用贝塞尔函数的定义及性质贝塞尔函数的定义及性质定义定义定义定义贝塞尔函数的定义公式贝塞尔函数的定义公式贝塞尔函数的初等性质贝塞尔函数的初等性质贝塞尔函数的渐近展开贝塞尔函数的渐近展开总结总结本章主要介绍了Gamma函数和贝塞尔函数的定义、性质、应用及图像等方面的内容。Gamma函数是一种广义的阶乘函数，在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用。贝塞尔函数则是一组解某些偏微分方程的函数，具有广泛的应用价值。同时，贝塞尔函数还有很多特殊的性质和应用，如奇偶性、单调性、级数

17、表示、邻居函数、Hankel函数、球面贝塞尔函数等。掌握Gamma函数和贝塞尔函数的相关知识，在某些地方能够发挥重要的作用。0404第第4章章 傅里叶傅里叶级级数与傅里叶数与傅里叶变换变换 傅里叶级数的定义傅里叶级数的定义傅里叶级数是指将周期函数分解为正弦曲线和余弦曲线之和的级数展开形式，其定义由傅里叶提出。傅里叶级数的性质傅里叶级数的性质即对于任意常数a和b以及任意两个函数f(x)和g(x)，有f(x)+g(x)的傅里叶级数等于f(x)的傅里叶级数加上g(x)的傅里叶级数的和，另外af(x)的傅里叶级数等于a乘以f(x)的傅里叶级数。线性性线性性即对于偶函数和奇函数，傅里叶级数的系数具有不同

18、的性质，偶函数的傅里叶级数只包含余弦函数项，奇函数的傅里叶级数只包含正弦函数项。对称性对称性即一个函数的平方在区间a,b上的积分等于它的傅里叶系数平方的和，在求解信号能量和功率时有重要应用。ParsevalParseval定理定理 傅里叶级数的计傅里叶级数的计傅里叶级数的计傅里叶级数的计算公式算公式算公式算公式计算傅里叶系数的公式是一种复杂的积分运算，可以利用计算傅里叶系数的公式是一种复杂的积分运算，可以利用欧拉公式和复合函数的方法来简化计算。欧拉公式和复合函数的方法来简化计算。L2L2L2L2可和性可和性可和性可和性对于对于L2L2可和的周期函数，其傅可和的周期函数，其傅里叶级数在平方意义下

19、收敛。里叶级数在平方意义下收敛。L2L2可和的定义为：函数可和的定义为：函数f(x)f(x)的的平方在一定区间上是可积的，平方在一定区间上是可积的，即即|f(x)|2|f(x)|2的积分在这个区间的积分在这个区间上是有限的。上是有限的。点可和性点可和性点可和性点可和性对于点可和的周期函数，其傅对于点可和的周期函数，其傅里叶级数只在该点处收敛。里叶级数只在该点处收敛。点可和的定义为：在每一个点点可和的定义为：在每一个点x x处，函数处，函数f(x)f(x)的傅里叶级数收的傅里叶级数收敛于敛于f(x)f(x)。GibbsGibbsGibbsGibbs现象现象现象现象在傅里叶级数的某些情况下，在傅里

20、叶级数的某些情况下，其在波峰和波谷的位置出现明其在波峰和波谷的位置出现明显的振荡，这种现象被称为显的振荡，这种现象被称为GibbsGibbs现象。现象。GibbsGibbs现象的存在是由于傅里叶现象的存在是由于傅里叶级数在不连续点处的收敛不足，级数在不连续点处的收敛不足，可能导致过度拟合的现象。可能导致过度拟合的现象。傅里叶级数的收敛域傅里叶级数的收敛域绝对可和性绝对可和性绝对可和性绝对可和性对于绝对可和的周期函数，其对于绝对可和的周期函数，其傅里叶级数在整个实轴上收敛。傅里叶级数在整个实轴上收敛。绝对可和的定义为：对于任意绝对可和的定义为：对于任意小的正数小的正数，存在实数，存在实数T0T0

21、，使，使得在每一个长度为得在每一个长度为T T的周期内，的周期内，函数的积分不超过函数的积分不超过。用于将时域信号转换为频域信号，它将一个信号f(t)映射为另一个信号F()，其中为频率。傅里叶正变换傅里叶正变换0103 02用于将频域信号转换为时域信号，它将一个信号F()映射为另一个信号f(t)。傅里叶逆变换傅里叶逆变换傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质即对于任意常数a和b以及任意两个函数f(x)和g(x)，有aF()+bG()的傅里叶变换等于aF()的傅里叶变换加上bG()的傅里叶变换的和。线性性线性性即对于f(x)中的时间偏移量t0，其傅里叶变换为F()e(-jt0)。时移性时移性即对于f(

22、x)中的频率偏移量0，其傅里叶变换为F(-0)。频移性频移性即两个函数的卷积的傅里叶变换等于它们的傅里叶变换的乘积，即F()G()的反变换等于f(x)和g(x)的卷积。卷积定理卷积定理 0505第第5章章 拉普拉斯拉普拉斯变换变换与与Z变换变换 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种线性算子，可将一个时间域上的函数f(t)，转换成另一个复平面上的函数F(s)拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质满足各种代数性质线性性线性性一定时间的移动不会改变拉普拉斯变换时移性时移性单位圆上的平移不会改变拉普拉斯变换频移性频移性两个函数卷积的拉普拉斯变换等于它们各自的拉普拉斯变换的乘积卷积定理卷

23、积定理Z Z Z Z变换的定义变换的定义变换的定义变换的定义与拉普拉斯变换类似，与拉普拉斯变换类似，Z Z变换也有很多性质，比如线性性、变换也有很多性质，比如线性性、收敛性、位移性等收敛性、位移性等Z变换变换是一种离散是一种离散时间变换时间变换，可将离散，可将离散时间时间上的上的函数函数f(n)，转换转换成另一个复平面上的函数成另一个复平面上的函数F(z)信号处理信号处理信号处理信号处理数字滤波器设计数字滤波器设计数字信号重构数字信号重构频域分析频域分析控制工程控制工程控制工程控制工程稳定性分析稳定性分析控制系统设计控制系统设计状态空间设计状态空间设计图像处理图像处理图像处理图像处理数字图像滤

24、波数字图像滤波图像压缩图像压缩边缘检测边缘检测Z Z变换的应用变换的应用数学数学数学数学差分方程求解差分方程求解微分方程数值求解微分方程数值求解级数求和计算级数求和计算拉普拉斯变换的基本公式拉普拉斯变换的基本公式Laa/s常数函数常数函数Ltn=n!/s(n+1)幂函数幂函数Leat=1/(s-a)指数函数指数函数 将复杂函数分解成简单的有理函数部分分式法部分分式法0103使用拉普拉斯逆变换表找到对应的逆变换公式拉普拉斯逆变换的求法拉普拉斯逆变换的求法02包含常见的拉普拉斯逆变换公式拉普拉斯逆变换表拉普拉斯逆变换表Z Z变换的逆变换变换的逆变换Z变换的逆变换也有很多种求法，如等比换元法、极点重心法等。其中最为常用的是快速傅里叶变换（FFT）方法THANKSTHANKS 谢谢观看！