《高阶偏导数》课件.pptx

《《高阶偏导数》课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高阶偏导数》课件.pptx（46页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高阶偏导数高阶偏导数 制作人：时间：2024年X月CONTENTCONTENT目录目录第第1 1章章 简介简介第第2 2章章 高阶偏导数的一阶应用高阶偏导数的一阶应用第第3 3章章 高阶偏导数的二阶应用高阶偏导数的二阶应用第第4 4章章 高阶偏导数的三阶应用高阶偏导数的三阶应用第第5 5章章 高阶偏导数的四阶应用高阶偏导数的四阶应用第第6 6章章 总结总结 0101第第1章章 简简介介 高阶偏导数是什高阶偏导数是什高阶偏导数是什高阶偏导数是什么？么？么？么？高阶偏导数是用于描述多元数学中，某一变量对函数的变化率随其他变量高阶偏导数是用于描述多元数学中，某一变量对函数的变化率随其他变量变化而变化

2、率的变化率的概念。变化而变化率的变化率的概念。高阶偏导数的定义高阶偏导数的定义对于二元函数f(x,y)，其二阶偏导数是指对于每个变量分别求其一阶偏导数之后再求其偏导数。二阶偏导数二阶偏导数对于三元函数f(x,y,z)，其三阶偏导数是指对于每个变量分别求其二阶偏导数之后再求其偏导数。三阶偏导数三阶偏导数对于n元函数f(x1,x2,.,xn)，其n阶偏导数是指对于每个变量分别求其n-1阶偏导数之后再求其偏导数。n n阶偏导数阶偏导数 高阶偏导数的作高阶偏导数的作高阶偏导数的作高阶偏导数的作用用用用高阶偏导数可以帮助我们更好地理解一个多维函数的性质，比如是否具有高阶偏导数可以帮助我们更好地理解一个多

3、维函数的性质，比如是否具有极值点、弧度和曲率等特性。极值点、弧度和曲率等特性。如何求高阶偏导数？如何求高阶偏导数？通过链式法则来求取高阶偏导数，可以使用求导的“链式法则”将f(x,y)的每个变量对应的导数分别求出来。然后，再使用偏导数的“乘法法则”，得出它们的乘积。链式法则链式法则使用Leibniz公式，可以将多元函数的高阶偏导数表示为一组轮换和的形式，其中每个轮换对应于对函数的不同反对称排列的求和。LeibnizLeibniz公式公式 高阶偏导数的性高阶偏导数的性高阶偏导数的性高阶偏导数的性质质质质高阶偏导数具有一些重要的性质，比如对称性和混合偏导数的交换性，这高阶偏导数具有一些重要的性质，

4、比如对称性和混合偏导数的交换性，这些性质在多维函数的求解中起到了重要作用。些性质在多维函数的求解中起到了重要作用。高阶偏导数的性质高阶偏导数的性质对于具有连续二阶偏导数的函数f，如果对于任意的i和j（i,j1,2,.,n），都有fij=fji，则函数f的二阶偏导数在各个变量上的次序可以交换。对称性对称性对于具有连续二阶偏导数的函数f，如果对于任意的i，j和k（i,j,k=1,2,.,n），都有fijk=fjik，则f的二阶偏导数fij和fji在xi和xj的偏导数处是相等的。混合偏导数的混合偏导数的交换性交换性 高阶偏导数的应用高阶偏导数的应用通过求取高阶偏导数，可以判断一个多元函数是否具有极值

5、点（最大值或最小值），从而更好地分析函数的性质。极值判定极值判定高阶偏导数可以帮助我们确定一个多元函数的奇异点类型，比如是否具有拐点等，从而有助于更好地理解函数的形态。奇异点分类奇异点分类 0202第第2章章 高高阶阶偏偏导导数的一数的一阶应阶应用用 雅可比矩阵雅可比矩阵雅可比矩阵是由一元函数对多元向量求导所构成的矩阵。在很多数学和物理问题中，雅可比矩阵有着广泛的应用，比如求解偏微分方程、流体力学等领域。总结总结总结总结高阶偏导数是现代数学研究中的重要内容之一，它在数学建模、物理学、高阶偏导数是现代数学研究中的重要内容之一，它在数学建模、物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。在学习高阶

6、偏导数的一阶应用工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。在学习高阶偏导数的一阶应用时，需要掌握一些基础的数学工具，比如拉格朗日乘子法、泰勒公式和雅时，需要掌握一些基础的数学工具，比如拉格朗日乘子法、泰勒公式和雅可比矩阵等。通过这些工具，我们可以计算出函数的极值、近似值和方向可比矩阵等。通过这些工具，我们可以计算出函数的极值、近似值和方向导数等重要信息，为解决实际问题提供了有效的数学手段。导数等重要信息，为解决实际问题提供了有效的数学手段。0303第第3章章 高高阶阶偏偏导导数的二数的二阶应阶应用用 条件极值条件极值Hessian矩阵的正负性二阶必要条件二阶必要条件Hessian矩阵的正定性二阶充

7、分条件二阶充分条件 稳定性分析稳定性分析相轨线和相图的画法相空间相空间如何分析线性系统的稳定性线性稳定性线性稳定性 二阶必要条件二阶必要条件二阶必要条件二阶必要条件在优化问题中，我们需要判断极值点的类型。如果它是局部极小值或者局在优化问题中，我们需要判断极值点的类型。如果它是局部极小值或者局部极大值，那么它的二阶偏导数应该具有一定的性质，这就是二阶必要条部极大值，那么它的二阶偏导数应该具有一定的性质，这就是二阶必要条件。而这个条件可以通过件。而这个条件可以通过HessianHessian矩阵来判定，即矩阵来判定，即HessianHessian矩阵的正定性矩阵的正定性和负定性。如果和负定性。如果

8、HessianHessian矩阵是正定的，则该点为局部极小值；如果矩阵是正定的，则该点为局部极小值；如果HessianHessian矩阵是负定的，则该点为局部极大值。矩阵是负定的，则该点为局部极大值。Hessian矩矩阵阵的正的正负负性性二阶充分条件二阶充分条件除了二阶必要条件之外，我们还有二阶充分条件。如果一个点的二阶偏导数满足Hessian矩阵的正定性或负定性，并且它的一阶偏导数为零，那么它一定是局部极小值或局部极大值。这里的充分性是指只有满足这两个条件才能证明它是极值点。相空间相空间相空间相空间相空间是研究力学系统稳定性的一种重要方法，通常用来描述系统每个时相空间是研究力学系统稳定性的一

9、种重要方法，通常用来描述系统每个时刻的状态。相轨线和相图是相空间中的两个重要概念，前者表示系统在某刻的状态。相轨线和相图是相空间中的两个重要概念，前者表示系统在某一时刻某个状态下的运动轨迹，后者则是相轨线的总体图像。相图的画法一时刻某个状态下的运动轨迹，后者则是相轨线的总体图像。相图的画法包括欧拉法、线性化法、等势线法等多种方法。包括欧拉法、线性化法、等势线法等多种方法。相相轨线轨线和相和相图图的画法的画法线性稳定性线性稳定性Jacobian矩阵的特征定常点的判定定常点的判定Asymptotically Stable、Unstable、Semi-Stable稳定性分类稳定性分类Lyapunov

10、函数、拉格朗日量等其它方法其它方法 极点极点极点极点极点是非线性系统分支图中的一种特殊情况，通常表示系统发生了分岔。极点是非线性系统分支图中的一种特殊情况，通常表示系统发生了分岔。极点的稳定性和不稳定性决定了进入该点的轨迹是向内收敛还是向外发散。极点的稳定性和不稳定性决定了进入该点的轨迹是向内收敛还是向外发散。在极点附近可以通过微扰法来求出分岔的位置和类型。在极点附近可以通过微扰法来求出分岔的位置和类型。极点的极点的稳稳定性和不定性和不稳稳定性定性极限环极限环极限环极限环极限环是非线性系统中出现的一种振荡现象，通常表示系统出现了周期解。极限环是非线性系统中出现的一种振荡现象，通常表示系统出现了

11、周期解。极限环的特征和分析方法与极点类似，主要考虑它的稳定性和不稳定性，极限环的特征和分析方法与极点类似，主要考虑它的稳定性和不稳定性，以及周期解的周期和振幅。在控制系统中，极限环常常作为一个重要的参以及周期解的周期和振幅。在控制系统中，极限环常常作为一个重要的参考目标。考目标。极限极限环环的特征和分析方法的特征和分析方法齐次方程组齐次方程组齐次方程组齐次方程组齐次方程组是指所有常数项都等于零的线性方程组，它是线性代数领域中齐次方程组是指所有常数项都等于零的线性方程组，它是线性代数领域中的一种基础内容。对于齐次方程组，我们主要关注它的解的性质，其中基的一种基础内容。对于齐次方程组，我们主要关注

12、它的解的性质，其中基础解系是解的最小自由度表示，通解是基础解系的线性组合。础解系是解的最小自由度表示，通解是基础解系的线性组合。基基础础解系和通解解系和通解线性无关和线性相关线性无关和线性相关在研究齐次方程组的解的时候，我们经常需要判断一组向量是否线性无关。如果它们线性无关，则它们的线性组合可以表示解空间中的任意一个向量；如果它们线性相关，则它们的线性组合只能表示解空间的一个子集。判断线性无关和线性相关的方法有初等行变换和矩阵的秩。0404第第4章章 高高阶阶偏偏导导数的三数的三阶应阶应用用 平衡点的分析平衡点的分析定义和解释平衡点的概念平衡点的概念线性方程组的应用平衡点的稳定平衡点的稳定性性

13、 二维流场分析二维流场分析流场和流线二维流的概念二维流的概念梯度和偏导的关系等势线和流线等势线和流线 线性方程组理论线性方程组理论高斯消元法和矩阵的应用方程组的秩方程组的秩矩阵的逆和行列式的定义可逆矩阵可逆矩阵 矩阵分析矩阵分析线性变换和对称矩阵的特征值矩阵的特征值矩阵的特征值与特征向量与特征向量矩阵的可逆性和相似变换对角化与相似对角化与相似变换变换 平衡点分析平衡点分析平衡点分析平衡点分析在微积分的应用中，平衡点是个非常重要的概念。平衡点是指某一时刻下，在微积分的应用中，平衡点是个非常重要的概念。平衡点是指某一时刻下，物体所处位置的稳定状态。在分析平衡点时，我们需要研究物体的位移函物体所处位

14、置的稳定状态。在分析平衡点时，我们需要研究物体的位移函数，即位移随时间的变化。平衡点的稳定性能决定某一状态下物体所处的数，即位移随时间的变化。平衡点的稳定性能决定某一状态下物体所处的位置是否稳定，是一个非常重要的指标。位置是否稳定，是一个非常重要的指标。二维流场分析二维流场分析流场和流线二维流的概念二维流的概念梯度和偏导的关系等势线和流线等势线和流线二维流的特征流量和涡量流量和涡量 010203040506 线性方程组理论线性方程组理论 0505第第5章章 高高阶阶偏偏导导数的四数的四阶应阶应用用 简单振动简单振动在物理学中，简单振动是最基本的力学模型之一，它可以用数学方式进行建模，为了深入了

15、解简单振动，我们需要了解单自由度振动和多自由度振动。单自由度振动单自由度振动单个物体相对于平衡位置的周期性运动定义定义m x(t)+k x(t)F(t)方程公式方程公式特殊情况下的单自由度振动，满足x(t)+(k/m)x(t)=0简谐振动简谐振动 多自由度振动多自由度振动多个物体相对于平衡位置的复杂运动定义定义M x(t)+K x(t)=F(t)方程公式方程公式特殊情况下的多自由度振动，满足M x(t)+K x(t)=0刚体振动刚体振动 边值问题边值问题在数学中，边值问题是指寻找一个函数，它在给定的边界上有一些限制条件，而这些限制条件是由实际问题所决定的。线性边值问题线性边值问题方程具有线性形

16、式的边值问题定义定义本征值问题（特征值问题）、分离变量法等求解方法求解方法 非线性边值问题非线性边值问题方程具有非线性形式的边值问题定义定义数值解法、变分法和最小二乘法等求解方法求解方法 热传导方程热传导方程描述物体内部温度分布随时间的演化过程定义定义u_t=k*u_xx数学形式数学形式热力学、地球物理学等应用场景应用场景 反应扩散方程反应扩散方程描述物体内部某种物质的浓度分布随时间和空间的演化过程定义定义u_t=D*u_xx+f(u)数学形式数学形式生物学、化学工程、地质学等应用场景应用场景 0606第第6章章 总结总结 本课程的收获本课程的收获熟练掌握高阶偏导数的求法掌握高阶偏导掌握高阶偏导数的求法数的求法深入理解高阶偏导数在实际问题中的应用理解高阶偏导理解高阶偏导数的应用数的应用 进一步学习进一步学习深入学习数学分析分析学分析学学习数学物理相关知识数学物理数学物理 010203040506 结语结语 THANKS 谢谢观看！