《约当标准型》课件.pptx

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1、约当标准型约当标准型制作人：时间：2024年X月contents目目 录录第第1 1章章 简介简介第第2 2章章 极限表达式极限表达式第第3 3章章 极限的应用极限的应用第第4 4章章 级数级数第第5 5章章 求导求导第第6 6章章 总结总结 0101第第1章章 简简介介课程介绍课程介绍本章节主要介绍课程的背景、目的、适应人群、课程大纲等信息。极限表达式极限表达式极限表达式极限表达式极限表达式是指当自变量无限趋近于某个值时，函数值的极限。极限的性质包括唯一性、极限表达式是指当自变量无限趋近于某个值时，函数值的极限。极限的性质包括唯一性、局部有界性、保号性等。计算极限的方法包括函数极限的四则运算

2、、初等函数的极限、局部有界性、保号性等。计算极限的方法包括函数极限的四则运算、初等函数的极限、洛必达法则、泰勒公式等。常用的极限表达式包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对洛必达法则、泰勒公式等。常用的极限表达式包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等。数函数等。极限的应用极限的应用极限的应用极限的应用极限的应用包括几何应用，如曲线的切线、曲率半径等；物理应用，如物体的速度、加极限的应用包括几何应用，如曲线的切线、曲率半径等；物理应用，如物体的速度、加速度等；经济应用，如边际分析、收益率等。速度等；经济应用，如边际分析、收益率等。极限的应用之几何应用极限的应用之几何应用切线是垂直于曲线某一点

3、的直线曲线的切线曲线的切线曲率半径是指曲线在某一点的曲率半径曲率半径曲率半径物体的速度、加速度等极限的应用之极限的应用之物理应用物理应用边际分析、收益率等极限的应用之极限的应用之经济应用经济应用级数级数级数是指由无穷多个数相加而成的数列。级数的收敛性包括绝对收敛、条件收敛和发散。常用的级数公式包括等比数列、调和数列、自然数的幂次方等。级数的应用包括无穷级数求和、无穷级数的收敛区间等。等比数列是指各项之间的比值相等的数列等比数列等比数列0103自然数的幂次方是指各项为自然数的幂次方的数列自然数的幂次方自然数的幂次方02调和数列是指各项的倒数之和等于一个常数的数列调和数列调和数列实例分析实例分析实

4、例分析实例分析求求$ninN$ninN$时，时，$1+dfrac12+dfrac13+.+dfrac1n$1+dfrac12+dfrac13+.+dfrac1n$的的和和将级数化为部分和的形式：将级数化为部分和的形式：$S_n1+dfrac12+dfrac13+.+dfrac1n$S_n1+dfrac12+dfrac13+.+dfrac1n$对部分和求导：对部分和求导：$S_n=dfrac112+dfrac122+dfrac132$S_n=dfrac112+dfrac122+dfrac132+.+dfrac1n2$+.+dfrac1n2$对对$S_n$S_n$求积分：求积分：$int_1n+1

5、S_ndx=S_n+dfrac1n+1$int_1n+1S_ndx=S_n+dfrac1n+1$得到级数的和：得到级数的和：$S_n=int_1n+1S_ndx-$S_n=int_1n+1S_ndx-dfrac1n+1=ln(n+1)$dfrac1n+1=ln(n+1)$级数的收敛区间级数的收敛区间级数的收敛区间级数的收敛区间使用判别法进行判断使用判别法进行判断判断级数是否收敛或发散判断级数是否收敛或发散判别法判别法判别法判别法比较判别法比较判别法积分判别法积分判别法根值判别法根值判别法级数的应用之无穷级数求和级数的应用之无穷级数求和等式推导等式推导等式推导等式推导将级数化为部分和的形式将级数

6、化为部分和的形式对部分和求导或积分对部分和求导或积分得到级数的和得到级数的和 0202第第2章章 极限表达式极限表达式极限表达式的定义极限表达式的定义数列极限和函数极限的定义极限的定义极限的定义左极限和右极限的定义单侧极限的定单侧极限的定义义 极限的性质极限的性质极限唯一的原因唯一性原理唯一性原理保持大小关系不变保号性质保号性质利用中间项的大小关系确定极限夹逼定理夹逼定理 计算极限的方法计算极限的方法适用于直接代入可求值的情况直接代入法直接代入法适用于含有未知量的极限消元法消元法适用于含有分式的极限分式法分式法利用导数求极限洛必达法则洛必达法则常用的极限表达式常用的极限表达式sin(x)函数在

7、不同点上的极限正弦函数的极正弦函数的极限限cos(x)函数在不同点上的极限余弦函数的极余弦函数的极限限e(x)函数在不同点上的极限指数函数的极指数函数的极限限log(a,x)函数在不同点上的极限对数函数的极对数函数的极限限利用夹逼定理求解极限的左右夹逼极限的左右夹逼0103适用于含有未知量的极限利用换元法求解利用换元法求解02利用导数求解极限利用洛必达法则求解利用洛必达法则求解洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则利用导数求解，可避免计算困难利用导数求解，可避免计算困难不能代替其他方法，需要注意条件不能代替其他方法，需要注意条件换元法换元法换元法换元法适用于含有未知量的极限适用于含有未知量的

8、极限需要熟练掌握常见换元方法需要熟练掌握常见换元方法分式法分式法分式法分式法适用于含有分式的极限适用于含有分式的极限需要熟练掌握分式的简化方法需要熟练掌握分式的简化方法不同计算方法的比较不同计算方法的比较直接代入法直接代入法直接代入法直接代入法适用于直接代入可求值的情况适用于直接代入可求值的情况步骤简单步骤简单极限的应用极限的应用极限在数学和物理中具有重要的应用价值，如利用极限求解微积分、确定函数的收敛性和发散性、计算曲线的切线和法线、分析物理量的变化趋势等。极限不仅是数学和物理学科的基础，在工程、经济、生物等学科中也有着广泛的应用。极限的图示极限的图示极限的图示极限的图示极限是一种数学的思想

9、，可以用图形来直观地理解。下图是极限存在的情况，即当极限是一种数学的思想，可以用图形来直观地理解。下图是极限存在的情况，即当x x趋趋近于近于a a时，时，y y的取值趋近于的取值趋近于L L。0303第第3章章 极限的极限的应应用用极限的几何应用极限的几何应用极限的几何应用极限的几何应用极限的几何应用涉及求解曲线的斜率、切线方程以及弧长。在数学中，通过极限的概念，极限的几何应用涉及求解曲线的斜率、切线方程以及弧长。在数学中，通过极限的概念，我们能够准确地描述曲线在某一点的切线斜率，进而推导出切线的方程，以及曲线的弧我们能够准确地描述曲线在某一点的切线斜率，进而推导出切线的方程，以及曲线的弧长

10、。这些概念在微积分学中有着广泛的应用。长。这些概念在微积分学中有着广泛的应用。极限的几何应用极限的几何应用准确描述曲线在某一点的切线斜率求曲线的斜率求曲线的斜率通过切线斜率推导出切线的方程求曲线的切线求曲线的切线方程方程利用极限概念计算曲线的弧长求曲线的弧长求曲线的弧长 极限的物理应用极限的物理应用极限的物理应用极限的物理应用极限的物理应用广泛存在于自然科学领域，其中包括了物理学中的极限概念。例如，牛极限的物理应用广泛存在于自然科学领域，其中包括了物理学中的极限概念。例如，牛顿第二定律描述了力与物体加速度之间的关系，而牛顿万有引力定律则揭示了天体之间顿第二定律描述了力与物体加速度之间的关系，而

11、牛顿万有引力定律则揭示了天体之间的万有引力。这些物理定律的推导与理解都离不开极限的概念。的万有引力。这些物理定律的推导与理解都离不开极限的概念。极限的物理应用极限的物理应用应用于自然科学领域的极限概念物理学中的极物理学中的极限限描述了力与物体加速度之间的关系牛顿第二定律牛顿第二定律揭示了天体之间的引力作用规律牛顿万有引力牛顿万有引力定律定律 极限的经济应用极限的经济应用极限的经济应用极限的经济应用在经济学中，极限的概念也有着重要的应用。边际效应研究的是单位变动对总体变动的在经济学中，极限的概念也有着重要的应用。边际效应研究的是单位变动对总体变动的影响，而成本与收益的平衡则是经济决策中必须考虑的

12、重要因素。这些经济学原理的推影响，而成本与收益的平衡则是经济决策中必须考虑的重要因素。这些经济学原理的推导与应用都离不开极限的思想。导与应用都离不开极限的思想。极限的经济应用极限的经济应用经济学领域中的极限概念及其应用经济学中的极经济学中的极限限单位变动对总体变动的影响边际效应边际效应经济决策中必须考虑的重要因素成本与收益的成本与收益的平衡平衡 综合应用综合应用综合应用综合应用本页主要介绍极限的综合应用，如面积的计算、容积的计算等。在实际问题中，我们经本页主要介绍极限的综合应用，如面积的计算、容积的计算等。在实际问题中，我们经常会遇到需要利用极限概念来解决的综合性计算问题。这些问题涉及到多个学

13、科领域，常会遇到需要利用极限概念来解决的综合性计算问题。这些问题涉及到多个学科领域，需要综合运用数学、物理、经济等知识来进行求解。需要综合运用数学、物理、经济等知识来进行求解。0404第第4章章 级级数数级数的定义级数的定义正项级数、反项级数、交替级数级数的概念级数的概念部分和、收敛的充分必要条件级数的和级数的和 级数的收敛性级数的收敛性收敛级数的定收敛级数的定义义发散级数的定发散级数的定义义比较级数、比值级数、根值级数比较判别法比较判别法正项级数、反项级数、交错级数积分判别法积分判别法常用的级数公式常用的级数公式通项公式、求和公式、收敛条件等比级数等比级数通项公式、求和公式、收敛条件调和级数

14、调和级数通项公式、求和公式、收敛区间幂级数幂级数泰勒公式、常用展开式泰勒级数泰勒级数级数的应用级数的应用级数的应用级数的应用在数学领域中，级数的应用涉及到数列极限、微积分、复数函数等领域；在物理和工程在数学领域中，级数的应用涉及到数列极限、微积分、复数函数等领域；在物理和工程领域，级数可以用于求解波动、震动、电路等问题。领域，级数可以用于求解波动、震动、电路等问题。数学、物理、工程等数学、物理、工程等领领域域数列与级数数列与级数收敛数列、发散数列、单调数列数列的概念与数列的概念与性质性质正项级数、比较级数、柯西收敛准则级数与数列级数与数列级数加减、级数乘法、级数除法级数的运算级数的运算 特殊技

15、巧特殊技巧特殊技巧特殊技巧翻转求和翻转求和求导求和求导求和倍增求和倍增求和应用实例应用实例应用实例应用实例级数计算级数计算级数证明级数证明级数应用级数应用软件工具软件工具软件工具软件工具MapleMapleMathematicaMathematicaMatlabMatlab级数求和的方法级数求和的方法基本方法基本方法基本方法基本方法分段求和分段求和变形求和变形求和分组求和分组求和收敛级数的定义收敛级数的定义0103比较级数、比值级数、根值级数比较判别法比较判别法02发散级数的定义发散级数的定义级数与数列级数与数列级数是由数列的部分和组成的无穷级数，而数列则是有限项之和的形式。级数的收敛性与数列

16、的收敛性密切相关，通常通过数列极限的判定来判断级数的收敛性。0505第第5章章 求求导导导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义导数是描述函数在某一点处的变化率或者斜率的概念。在几何上，导数可以理解为函数导数是描述函数在某一点处的变化率或者斜率的概念。在几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线的斜率。曲线在某一点处的切线的斜率。导数的定义导数的定义描述函数变化率导数的概念导数的概念切线的斜率几何意义几何意义 导数的计算导数的计算导数的计算导数的计算计算导数时，常用的求导法则包括幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函计算导数时，常用的求导法则包括幂函数求导、指数函数求导、对数函数求

17、导、三角函数求导等。另外，当函数是复合函数或者隐函数时，需要使用复合函数求导法则或者隐数求导等。另外，当函数是复合函数或者隐函数时，需要使用复合函数求导法则或者隐函数求导法则。函数求导法则。复合函数的导数复合函数的导数复合函数的导数复合函数的导数链式法则链式法则反函数求导反函数求导隐函数的求导隐函数的求导隐函数的求导隐函数的求导隐函数求导法则隐函数求导法则 导数的计算导数的计算常用求导法则常用求导法则常用求导法则常用求导法则幂函数求导幂函数求导指数函数求导指数函数求导对数函数求导对数函数求导三角函数求导三角函数求导高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数是对函数的导数再次求导的概念。二阶导数是

18、对一阶导数再次求导的结果。高高阶导数是对函数的导数再次求导的概念。二阶导数是对一阶导数再次求导的结果。高阶导数的计算涉及多次使用求导法则。阶导数的计算涉及多次使用求导法则。高阶导数高阶导数对函数的导数再次求导高阶导数的定高阶导数的定义义对一阶导数再次求导二阶导数的计二阶导数的计算算多次使用求导法则高阶导数的计高阶导数的计算算 应用应用应用应用求导在曲线研究、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。在曲线研究中，导数可以用求导在曲线研究、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。在曲线研究中，导数可以用于确定切线、判别极值点等。在物理学中，导数可以描述物体的运动状态。在经济学中，于确定切线、判别极值点等。

19、在物理学中，导数可以描述物体的运动状态。在经济学中，导数可以解释边际收益、边际成本等概念。导数可以解释边际收益、边际成本等概念。0606第第6章章 总结总结矩阵的相似变换矩阵的相似变换矩阵的相似变换矩阵的相似变换什么是矩阵相似变换什么是矩阵相似变换相似变换的定义相似变换的定义相似变换的性质相似变换的性质约当矩阵的特征值约当矩阵的特征值约当矩阵的特征值约当矩阵的特征值约当矩阵的性质约当矩阵的性质约当矩阵的特征值和特征向量约当矩阵的特征值和特征向量约当矩阵的主对角元约当矩阵的主对角元 知识回顾知识回顾约当标准型的定义约当标准型的定义约当标准型的定义约当标准型的定义什么是约当标准型什么是约当标准型约

20、当标准型的推导过程约当标准型的推导过程约当标准型的性质约当标准型的性质做好笔记做好笔记做好笔记做好笔记用不同的颜色做标记用不同的颜色做标记及时整理笔记及时整理笔记完善笔记内容完善笔记内容参与讨论参与讨论参与讨论参与讨论积极参与课堂讨论积极参与课堂讨论主动提出问题主动提出问题与同学互动与同学互动 学习建议学习建议制定计划制定计划制定计划制定计划明确学习目标明确学习目标合理分配时间合理分配时间制定每日学习计划制定每日学习计划学习效果评估学习效果评估是否按计划学习学习计划执行学习计划执行情况情况笔记是否整理完善笔记整理情况笔记整理情况是否积极参与讨论课堂表现情况课堂表现情况学习效果是否明显提升考试成绩考试成绩作者:Gilbert Strang线性代数与其应用线性代数与其应用0103作者:同济大学数学系高等数学高等数学02作者:严士健矩阵分析与应用矩阵分析与应用 THANKS