《离散数学》课件.pptx

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1、离散数学 创作者：XX时间：2024年X月目录第第1 1章章 简介简介第第2 2章章 集合论集合论第第3 3章章 逻辑逻辑第第4 4章章 图论图论第第5 5章章 计数计数第第6 6章章 概率概率 0101第1章 简介 课程概述离散数学是数学中的一个分支，研究的是非连续的离散对象，是计算机科学、数据结构、密码学和很多其他领域的基础。本课程的主要内容包括：集合论、逻辑、图论、计数、概率等。在现代计算机科学中，离散数学被广泛应用于算法设计、分析和复杂性分析。集合论集合的定义、元素、包含关系等基本概念交、并、差、补、对称差等基本运算有限集合和无限集合的区分集合的大小逻辑命题逻辑、谓词逻辑基本分支计算机

2、科学、人工智能等应用重要性和应用逻辑系统点和边的组成基本结构0103最短路径算法、最小生成树算法等应用02基本分支有向图和无向图组合组合无序选择的计数方法无序选择的计数方法基本公式和应用基本公式和应用二项式定理二项式定理二项式定理的应用二项式定理的应用推广和扩展推广和扩展计数的应用计数的应用密码学密码学计算机网络计算机网络码论等领域码论等领域计数排列排列有序排列的计数方法有序排列的计数方法基本公式和应用基本公式和应用概率概率是一种用于描述随机事件发生的可能性的数学工具。离散概率和连续概率是概率论的两个基本分支。概率论在计算机科学和人工智能领域中广泛应用，例如随机算法和机器学习算法。课程总结课程

3、总结本章介绍了离散数学的基本概念和分支，包括集合论、逻辑、图本章介绍了离散数学的基本概念和分支，包括集合论、逻辑、图论、计数、概率等，为后续学习打下了基础。论、计数、概率等，为后续学习打下了基础。0202第2章 集合论 集合的基本概念集合的基本概念集合是由无序的元素组成的，具有唯一性。集合的基本运算有交、集合是由无序的元素组成的，具有唯一性。集合的基本运算有交、并、差、补、对称差等。具有相同元素的集合是相等的，具有不并、差、补、对称差等。具有相同元素的集合是相等的，具有不同元素的集合是不等的。同元素的集合是不等的。集合的运算规律集合的运算规律交换律、结合律和分配律是集合运算中的基本规律。两个集

4、合之交换律、结合律和分配律是集合运算中的基本规律。两个集合之间的运算可以用间的运算可以用VennVenn图表示。图表示。De MorganDe Morgan定律是集合运算中常定律是集合运算中常用的重要定理。用的重要定理。集合的基数和无集合的基数和无限集合限集合集合的基数可以用有限集合和无限集合来区分。有限集合的基数集合的基数可以用有限集合和无限集合来区分。有限集合的基数可以用一个自然数表示。无限集合的基数可以用可以用一个自然数表示。无限集合的基数可以用Cantor-Cantor-BernsteinBernstein定理来比较。定理来比较。关系与函数关系与函数集合上的关系是指一个集合内元素之间的

5、某种关联。函数是一种集合上的关系是指一个集合内元素之间的某种关联。函数是一种特殊的关系，是指每个输入都有唯一的输出。像、原像和合成函特殊的关系，是指每个输入都有唯一的输出。像、原像和合成函数是函数中常用的概念。数是函数中常用的概念。集合的基本运算A与B的交集是所有既属于A、又属于B的元素所组成的集合交集A与B的并集是所有属于A或者属于B的元素所组成的集合并集A与B的差集是所有属于A但不属于B的元素所组成的集合差集相对某个全集而言，除去集合A内的元素再取余集，所得到的集合补集结合律结合律交集的结合律：交集的结合律：(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)并集的结合律：并集的结合律：(AB)C

6、=A(BC)(AB)C=A(BC)分配律分配律分配律分配律1 1：A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)分配律分配律2 2：A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)DeMorganDeMorgan定律定律对于集合对于集合A A和和B B，有以下两个定，有以下两个定理：理：交集的对偶定理：交集的对偶定理：(AB)=AB(AB)=AB并集的对偶定理：并集的对偶定理：(AB)=AB(AB)=AB集合运算规律交换律交换律交集的交换律：交集的交换律：ABBAABBA并集的交换律：并集的交换律：AB=BAAB=BA一种特殊的关系，是指每个输入都有唯一的输出函数0103对于

7、函数f，输出集合B中的元素y的所有输入x的集合原像02对于函数f，输入集合A中的元素x在函数f下的值f(x)，所组成的集合像无限集合的基数一种有限或者无限的集合，其基数可以和自然数一一对应。比如整数集合、有理数集合等可数集合一种无限集合，其基数不能和自然数一一对应。比如实数集合、幂集合等不可数集合 0303第3章 逻辑 命题逻辑命题逻辑是研究命题的真假性和推理的学科分支。命题指可以判断为真或假的句子。在命题逻辑中，基本符号有非、与、或、条件和双条件等。命题逻辑的应用命题逻辑在人工智能、计算机科学和哲学等领域都有广泛的应用。命题逻辑可以用于描述和推理各种情况下的结论。可以通过转化为真值表和逻辑等

8、式等方式进行分析。谓词逻辑谓词逻辑是研究命题和量词的学科分支。谓词是指一类具有变量和命题函数的陈述语句。在谓词逻辑中，基本符号有全称量词和存在量词等。谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学和人工智能领域中有广泛的应用。可以用于描述和推理各种情况下的结论。可以用于自然语言处理和知识表示等任务。真值表为：非0103真值表为：或02真值表为：与与与真真真真-真真真假真假-假假假真假真-假假假假假假-假假或或真真真真-真真真假真假-真真假真假真-真真假假假假-假假条件条件真真真真-真真真假真假-假假假真假真-真真假假假假-真真命题逻辑的真值表非非真真-假假假假-真真命题逻辑的应用命题逻辑的应用命题逻辑在人

9、工智能领域中有广泛的应用。例如，在自然语言处命题逻辑在人工智能领域中有广泛的应用。例如，在自然语言处理中，可以使用命题逻辑进行语义分析和推理；在机器学习中，理中，可以使用命题逻辑进行语义分析和推理；在机器学习中，可以使用命题逻辑来表示问题，并使用基于逻辑的算法来解决问可以使用命题逻辑来表示问题，并使用基于逻辑的算法来解决问题。题。谓词逻辑的量词对于所有全称量词存在某个存在量词不定量词单调词表示可能性或必然性模态词谓词逻辑的应用谓词逻辑的应用谓词逻辑在自然语言处理中有广泛的应用。例如，可以使用谓词谓词逻辑在自然语言处理中有广泛的应用。例如，可以使用谓词逻辑来表示句子的结构和语义信息，从而进行语义

10、分析和推理；逻辑来表示句子的结构和语义信息，从而进行语义分析和推理；可以使用谓词逻辑来表示知识，并进行自动推理和问答。可以使用谓词逻辑来表示知识，并进行自动推理和问答。0404第4章 图论 有有向向图图和和无无向向图图是是图图论论研研究究的的两两个个基基本分支本分支无向图是指没有方向的边，有无向图是指没有方向的边，有向图是指每条边都有一个方向。向图是指每条边都有一个方向。有向图和无向图在图的遍历和有向图和无向图在图的遍历和连通性等方面有很大的区别。连通性等方面有很大的区别。图中的常用概念图中的常用概念图中的路径是指由边构成的序图中的路径是指由边构成的序列，从一个起点到终点。列，从一个起点到终点

11、。环是指起点和终点相同的一条环是指起点和终点相同的一条路径。路径。连通性是指图中任意两点之间连通性是指图中任意两点之间都有路径。都有路径。完全图是指每两个节点之间都完全图是指每两个节点之间都有边连接的图。有边连接的图。图的基本概念图图是是由由点点和和边边组组成成的一个离散结构的一个离散结构图是离散数学中的一个重要分图是离散数学中的一个重要分支，在现代计算机科学和应用支，在现代计算机科学和应用数学中具有广泛的应用。数学中具有广泛的应用。图的核心是由点和边组成的离图的核心是由点和边组成的离散结构，图的研究对象可以是散结构，图的研究对象可以是生活中的事物，例如社交网络、生活中的事物，例如社交网络、路

12、由网络等。路由网络等。连连通通图图和和强强连连通通图图是图中的重要性质是图中的重要性质连通图是指任意两个节点之间连通图是指任意两个节点之间都有路径的图。都有路径的图。强连通图是有向图中任意两个强连通图是有向图中任意两个节点之间都有路径的图。节点之间都有路径的图。判断连通性和强连通性是图论判断连通性和强连通性是图论中重要的问题。中重要的问题。最最小小生生成成树树和和最最短短路路算算法法是是图图中中常常用用的的优优化算法化算法最小生成树是指在一个连通无最小生成树是指在一个连通无向图中，选取一些边连接所有向图中，选取一些边连接所有节点，使得边的权值之和最小。节点，使得边的权值之和最小。最短路算法是求

13、解从一个起点最短路算法是求解从一个起点到其他节点的最短路径的算法。到其他节点的最短路径的算法。最小生成树和最短路算法在计最小生成树和最短路算法在计算机网络、社交网络等方面有算机网络、社交网络等方面有广泛的应用。广泛的应用。图的遍历和连通性深深度度优优先先搜搜索索和和广广度度优优先先搜搜索索是是图图的的遍历中常用的算法遍历中常用的算法深度优先搜索是一种递归搜索深度优先搜索是一种递归搜索算法，从一个起点开始，优先算法，从一个起点开始，优先访问其相邻的几个节点，直到访问其相邻的几个节点，直到到达没有未被访问的节点为止。到达没有未被访问的节点为止。广度优先搜索则是从一个起点广度优先搜索则是从一个起点开

14、始，依次访问其相邻的节点，开始，依次访问其相邻的节点，每个节点只被访问一次。每个节点只被访问一次。带权图和网络流图的边上带有数值的图被称为带权图带权图是在图的边上带有权值的图贪心算法是指每一步局部最优选择，以期达到全局最优。分支限界算法是指在广义优先队列的框架下，以优先权为限制限制条件的搜索算法贪心算法和分支限界算法是带权图中常用的算法网络流问题是指在一个有向图中，有一个源点和一个汇点，每条边都有一个容量限制，要求从源点到汇点的最大流量网络流是一种在有向图中流动的物质或信息图论可以用于计算机网络路由算法的设计和实现计算机网络0103最小生成树算法可以用于城市规划、图像分割和电子设计等领域最小生

15、成树算法02图论可以用于社交网络中关系分析和推荐系统的设计社交网络图的基本概念图的基本概念图是由点和边组成的离散结构，有向图和无向图是图论研究的两图是由点和边组成的离散结构，有向图和无向图是图论研究的两个基本分支。图中的路径、环、连通性和完备图等是图论中常用个基本分支。图中的路径、环、连通性和完备图等是图论中常用的概念。的概念。深度优先搜索从一个起点开始，优先访问其相邻的几个节点，直到到达没有未被访问的节点为止。深度优先搜索是一种递归搜索算法深度优先搜索可以用于迷宫的求解、括号匹配的判断、求解组合数等问题深度优先搜索的应用深度优先搜索的时间复杂度是O(m+n)，其中m是边的数目，n是节点的数目

16、深度优先搜索的时间复杂度广度优先搜索广度优先搜索广度优先搜索是从一个起点开始，依次访问其相邻的节点，每个广度优先搜索是从一个起点开始，依次访问其相邻的节点，每个节点只被访问一次。广度优先搜索可以用于迷宫最短路径的求解、节点只被访问一次。广度优先搜索可以用于迷宫最短路径的求解、求解最少步数等问题求解最少步数等问题 最短路算法最短路算法最短路算法是求解从一个起点最短路算法是求解从一个起点到其他节点的最短路径的算法。到其他节点的最短路径的算法。典型的应用场景是在地图导航典型的应用场景是在地图导航和货物运输中，寻找最短的路和货物运输中，寻找最短的路径。径。最最小小生生成成树树和和最最短短路路算法的时间

17、复杂度算法的时间复杂度最小生成树和最短路算法的时最小生成树和最短路算法的时间复杂度都是间复杂度都是O(mlogn)O(mlogn)，其中，其中mm是边的数目，是边的数目，n n是节点的数目。是节点的数目。最小生成树和最短路算法可以最小生成树和最短路算法可以用于电子设计、系统设计和城用于电子设计、系统设计和城市规划等领域。市规划等领域。最小生成树和最短路算法最小生成树最小生成树最小生成树是指在一个连通无最小生成树是指在一个连通无向图中，选取一些边连接所有向图中，选取一些边连接所有节点，使得边的权值之和最小。节点，使得边的权值之和最小。典型的应用场景是在城市规划典型的应用场景是在城市规划中，寻找连

18、接所有建筑的最短中，寻找连接所有建筑的最短路路径。路路径。网络流问题网络流问题是指在一个有向图中，有一个源点和一个汇点，每条边都有一个容量限制，要求从源点到汇点的最大流量。网络流问题可以用于货物运输、通信网络设计和电力系统优化等领域。0505第5章 计数 排列和组合在计数问题中，排列和组合是两个重要的概念。排列是指从一个集合中取出若干个元素并按照一定顺序排列的方式；组合是指从一个集合中取出若干个元素并不按顺序排列的方式。基本原理当事件A和事件B互不相关时，发生A或发生B的总数为：n(AorB)n(A)+n(B)加法原理当事件A和事件B相互独立时，发生A且发生B的总数为：n(AandB)=n(A

19、)n(B)乘法原理二项式定理的展开式中包含了帕斯卡三角形的系数帕斯卡三角形二项式定理二项式定理二项式定理是指一种用于展开一个二项式幂次的公式。它的展开二项式定理是指一种用于展开一个二项式幂次的公式。它的展开式中包含了帕斯卡三角形的系数，因此在组合数学中有着广泛的式中包含了帕斯卡三角形的系数，因此在组合数学中有着广泛的应用。应用。容斥原理和离散概率容斥原理是一种用于求交集和并集的计数方法。离散概率是一种用于描述随机事件发生的可能性的数学工具。离散概率中的概率空间、条件概率和贝叶斯定理等都是重要的概念。计数在密码学中有着重要的应用，例如组合数学的应用可以帮助我们构建更加安全的密码系统密码学0103

20、码论是运用数学和计算机算法来设计编码、解码和纠错方法的学科，计数在码论中也有着重要的应用码论02计数在计算机网络中也有着广泛的应用，例如在路由算法和网络拓扑的设计中计算机网络 0606第6章 概率 离散概率离散概率离散概率是一种用于描述随机事件发生的可能性的数学工具。离离散概率是一种用于描述随机事件发生的可能性的数学工具。离散随机变量和概率分布是离散概率的基本概念。期望、方差和协散随机变量和概率分布是离散概率的基本概念。期望、方差和协方差是离散概率中常用的概念和计算方法。方差是离散概率中常用的概念和计算方法。连续概率连续概率连续概率是一种用于描述随机事件发生的可能性的数学工具。连连续概率是一种

21、用于描述随机事件发生的可能性的数学工具。连续随机变量和概率密度函数是连续概率的基本概念。期望、方差续随机变量和概率密度函数是连续概率的基本概念。期望、方差和协方差是连续概率中常用的概念和计算方法。和协方差是连续概率中常用的概念和计算方法。概率分布和多维随机变量描述一个随机变量取值的概率分布函数概率分布具有多个分量的随机变量多维随机变量描述多个随机变量共同取值的概率分布函数联合分布描述在给定一个或多个随机变量取值的条件下另一个随机变量的概率分布函数条件分布概率应用实例概率应用实例概率在统计学、数据分析和金融工程等领域都有广泛的应用。概概率在统计学、数据分析和金融工程等领域都有广泛的应用。概率可以

22、用于描述随机事件的发生和推断未知的参数。概率可以用率可以用于描述随机事件的发生和推断未知的参数。概率可以用于机器学习算法、随机算法和模拟等方面。于机器学习算法、随机算法和模拟等方面。连续随机变量连续随机变量正态分布正态分布指数分布指数分布伽马分布伽马分布常见离散分布常见离散分布负二项分布负二项分布超几何分布超几何分布均匀分布均匀分布常见连续分布常见连续分布卡方分布卡方分布t t分布分布F F分布分布随机变量和概率分布离散随机变量离散随机变量二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布描述一个函数关于随机变量的平均值期望0103描述两个随机变量之间的相关程度协方差02描述一个函数关于随机变量的离散程度方差小结概率是一种用于描述随机事件发生的可能性的数学工具，离散概率和连续概率是概率的两个主要分支。概率分布和多维随机变量是概率中的重要概念，期望、方差和协方差是常用的计算方法。掌握概率理论对于理解数据分析、机器学习和统计学都非常重要。谢谢观看！再见