微积分导数与微分省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

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1、第三章 导数与微分1 1第三章第三章 导数与微分导数与微分 3.1 引出导数概念例题引出导数概念例题 3.2 导数概念导数概念 3.3 导数基本公式与运算法则导数基本公式与运算法则 3.4 高阶导数高阶导数 3.5 微分微分第第1页页第三章 导数与微分2一、变速直线运动速度一、变速直线运动速度问题：问题：已知已知 s f(t)为物体运动旅程函数，为物体运动旅程函数，求求 t0 时刻瞬时速度时刻瞬时速度.t0 至至 t0t 时间内平均速度时间内平均速度:t0 时刻瞬时速度时刻瞬时速度:3.1 引出导数概念例题引出导数概念例题第第2页页第三章 导数与微分3割线割线MN斜率：斜率：切线切线MT斜率：

2、斜率：二、切线问题二、切线问题问题：问题：求曲线求曲线 y=f(x)在在 M(x0 y0)处切线斜率处切线斜率 第第3页页第三章 导数与微分4 43.2 导数概念导数概念一、导数定义一、导数定义二、导数几何意义二、导数几何意义三、左、右导数三、左、右导数四、可导与连续关系四、可导与连续关系第第4页页第三章 导数与微分5定义定义定义定义设函数设函数 y=f(x)在某在某U(x0)内有定义内有定义.存在，则称存在，则称 f 在点在点x0处处可导可导，称该极限值为，称该极限值为 f 在点在点x0处处若若导数导数，记作，记作 .（*）一、导数定义一、导数定义不然称不然称 f 在点在点x0处处不可导不可

3、导.注：注：1.意义：函数关于自变量瞬时改变率意义：函数关于自变量瞬时改变率.3.计算：计算：(*)式式,2.亦可记作亦可记作第第5页页第三章 导数与微分6例例1 讨论以下函数在指定点导数：讨论以下函数在指定点导数：1)f(x)x2 在点在点 x 2 处处;2)在点在点 x=0 处处.不存在不存在 f(x)在点在点 x 0 处不可导处不可导 2)解解 1)第第6页页第三章 导数与微分7定义定义定义定义若函数若函数 y=f(x)在在 I=(a,b)每一点都可导，则称之为每一点都可导，则称之为I 上上可导函数可导函数.任意任意 xI，由此定义由此定义 I 上函数称作上函数称作 f 在在 I 上上导

4、函数导函数.都存在都存在 与之对应，与之对应，即即记作记作注：注：1.区分区分 与与 概念与记号概念与记号.2.导函数导函数 常简称导数常简称导数.第第7页页第三章 导数与微分8例例2 求以下函数导求以下函数导(函函)数数:1)y x2;2)y=1/x.解解 1)2)第第8页页第三章 导数与微分9二、导数几何意义二、导数几何意义M(x0,y0)点处点处切线方程切线方程：M(x0,y0)点处点处法线方程法线方程：切线切线MT斜率：斜率：求曲线切线、法线求曲线切线、法线例例3 求曲线求曲线 y=1/x 在点在点(1,1)处切线方程、法线方程处切线方程、法线方程.（答案：切线（答案：切线 y=2-x

5、,法线法线 y=x）第第9页页第三章 导数与微分10注：注：1.f 在在x0可导可导f 在在 x0 左左,右导数右导数存在存在存在存在且且相等相等相等相等.定义定义定义定义存在，则称该极限值为存在，则称该极限值为 f 在点在点 x0 处处右右 导数导数.若若设函数设函数 y=f(x)在某在某U+(x0)内有定义内有定义.记作记作(左左)(或或 U-(x0)(或或 )(或或 )例例4.讨论函数讨论函数 f(x)=|x|在在 x=0 处左、右导数及导数处左、右导数及导数.三、左、右导数三、左、右导数2.f 在区间在区间(a,b 上可导，对于端点上可导，对于端点 b 仅要求左导数存在仅要求左导数存在

6、.（答案：左导数（答案：左导数-1,右导数右导数1,不可导）不可导）第第10页页第三章 导数与微分11四、可导与连续关系四、可导与连续关系若若 f 在点在点 x0 可导，则必在点可导，则必在点 x0 连续连续.定理定理定理定理注注:连续未必可导，比如连续未必可导，比如与与 f(x)=|x|在在 x=0 处连续但不可导处连续但不可导.第第11页页第三章 导数与微分12第三章 导数与微分12例例5.求以下函数导函数：求以下函数导函数：(2)xn ,(nN N+);(3)sin x ,cos x ;(4)log ax (a 0,a1,x 0).nxn-1cos xlog ae /x-sin xln

7、x (x 0)1 /x(1)c (常函数常函数);答案：答案：0记结论记结论第第12页页第三章 导数与微分13第三章 导数与微分133.3 导数基本公式与运算法则导数基本公式与运算法则一、导数四则运算一、导数四则运算二、复合函数导数二、复合函数导数三、反函数导数三、反函数导数四、隐函数导数四、隐函数导数五、取对数求导法五、取对数求导法六、参变量函数导数六、参变量函数导数七、基本求导法则与公式七、基本求导法则与公式第第13页页第三章 导数与微分14第三章 导数与微分14定理定理定理定理 若函数若函数 在点在点x0可导可导,则函数则函数 在点在点 x0 也可导也可导,且且一、导数四则运算一、导数四

8、则运算注：注：推广得：推广得：定理定理定理定理 若函数若函数 在点在点x0可导可导,则函数则函数在点在点 x0 也可导也可导,且且尤其地，尤其地，第第14页页第三章 导数与微分15第三章 导数与微分15例例1 解解 注注：对于多项式对于多项式 f 而言而言,总是比总是比 f 低一个幂次低一个幂次.例例2 解解第第15页页第三章 导数与微分16第三章 导数与微分16定理定理定理定理 若函数若函数 在点在点x0可导可导,则则在点在点 x0 也可导也可导,且且例例3 求以下函数导数：求以下函数导数：解解第第16页页第三章 导数与微分17第三章 导数与微分17 定理定理定理定理 设设 y=f(u),.

9、若若 在点在点 x0 可导，可导，y=f(u)在点在点 可导，则可导，则 在点在点 x0 可导，且可导，且二、复合函数二、复合函数导数导数注：注：1.注意区分注意区分 与与或写成：或写成：链式法则链式法则2.复合函数求导：由外到里复合函数求导：由外到里,逐步分解逐步分解,逐步求导逐步求导.第第17页页第三章 导数与微分18第三章 导数与微分18解解:(i)能够分解成能够分解成 y=sin u与与u=x2 复合复合.由链式法则，有由链式法则，有或直接写作：或直接写作：例例4 求以下函数导数：求以下函数导数：第第18页页第三章 导数与微分19第三章 导数与微分19 定理定理定理定理 设设 y=f(

10、x)在在 x0 可导，可导，f(x0)0.若其反函数若其反函数 x=f-1(y)在在 y0=f(x0)连续，则连续，则 x=f-1(y)在在 y0 可导可导 且且三、反函数三、反函数导数导数或写成：或写成：第第19页页第三章 导数与微分20第三章 导数与微分20例例5.求以下函数导数：求以下函数导数：记结论记结论(1)(2)第第20页页第三章 导数与微分第三章 导数与微分四、隐函数导数四、隐函数导数 若若F(x,y)=0确定了隐函数确定了隐函数 y=f(x),怎样求怎样求？F(x,y)=0方法一：方法一：y=f(x)显化显化显化显化已经有方法已经有方法已经有方法已经有方法求求F(x,y)=0方

11、法二：方法二：两边同时求导两边同时求导两边同时求导两边同时求导求求例例6.已知已知 确定了函数确定了函数 y=f(x)，求，求（答案：（答案：）21第第21页页第三章 导数与微分22例例7.求求 导数导数.（提醒（提醒:两边取两边取 ln 对数）对数）记结论记结论练习练习 1.求求 导数导数.2.已知已知 求求3.求曲线求曲线 在在(1,-2)处切线与法线方程处切线与法线方程.第第22页页第三章 导数与微分23第三章 导数与微分23(适合用于多个函数相乘除、乘方、开方以及幂指函数情形适合用于多个函数相乘除、乘方、开方以及幂指函数情形)例例9.设设方程两边取对数，再分别求导方程两边取对数，再分别

12、求导.五、取对数求五、取对数求导法导法例例8.设设练习练习 1.2.求求 导数导数.（提醒（提醒:取对数求导）取对数求导）记结论记结论第第23页页第三章 导数与微分24第三章 导数与微分24六、参变量函数导数六、参变量函数导数设设 y=f(x)由参数方程由参数方程 确定，确定，可导，可导，且且 有反函数，则有反函数，则例例10.求由上半椭圆参量方程求由上半椭圆参量方程 所确定所确定函数函数 y=f(x)导数导数,并求此椭圆在并求此椭圆在 处切线方程处切线方程.第第24页页第三章 导数与微分25第三章 导数与微分251.1.求导法则：求导法则：求导法则：求导法则：七、基本求导法则与公式（书本七、

13、基本求导法则与公式（书本 p.125-126）要切记！要切记！第第25页页第三章 导数与微分26第三章 导数与微分262.2.基本初等函数导数公式：基本初等函数导数公式：基本初等函数导数公式：基本初等函数导数公式：要切记！要切记！第第26页页第三章 导数与微分27第三章 导数与微分275.4 高阶导数高阶导数一、高阶导数定义一、高阶导数定义二、高阶导数计算二、高阶导数计算第第27页页第三章 导数与微分28第三章 导数与微分28问题引入：问题引入：问题引入：问题引入：一、高阶导数定义一、高阶导数定义速度：速度：加速度：加速度：一阶导数一阶导数?定义定义定义定义存在，则称存在，则称 f 在点在点x

14、0处二阶可导处二阶可导，称该极限值为，称该极限值为 f 在点在点 x0处二阶导数处二阶导数，记作，记作 .若函数若函数 f 导函数导函数 在点在点 x0 可导，即可导，即 变速直线运动变速直线运动位移：位移：注：注：若若f 在在I 每点处都二阶可导每点处都二阶可导,则则f 在在I上有二阶导函数上有二阶导函数第第28页页第三章 导数与微分29第三章 导数与微分29定义定义定义定义二阶导数导数称为三阶导数二阶导数导数称为三阶导数,三阶导数导数称为四阶导数三阶导数导数称为四阶导数,二阶和二阶以上导数统称为二阶和二阶以上导数统称为高阶导数高阶导数.一阶导数导数称为二阶导数一阶导数导数称为二阶导数,普通

15、地，函数普通地，函数 f(x)n-1 阶导函数导函数称为阶导函数导函数称为f(x)n 阶导阶导(函函)数数.记作记作注：注：f(x)称为称为 f(x)零阶导数，零阶导数，称为称为 f(x)一阶导数一阶导数.记作记作 .记作记作 .记作记作 .第第29页页第三章 导数与微分30第三章 导数与微分30例例1.求以下函数各阶导数求以下函数各阶导数:二、高阶导数计算二、高阶导数计算1.1.逐阶求导，寻求规律，写出通式逐阶求导，寻求规律，写出通式逐阶求导，寻求规律，写出通式逐阶求导，寻求规律，写出通式第第30页页第三章 导数与微分31第三章 导数与微分31乘法法则乘法法则:2.2.高阶导数求导法则高阶导

16、数求导法则高阶导数求导法则高阶导数求导法则*加法法则加法法则:莱布尼茨公式莱布尼茨公式莱布尼茨公式莱布尼茨公式例例2.计算计算：20 阶导数阶导数.(1)(1)3 阶导数阶导数.二阶导数，其中二阶导数，其中 f 二阶可导二阶可导.不要求掌握不要求掌握第第31页页第三章 导数与微分32第三章 导数与微分32小结：小结：导导(函函)数计算数计算利用导函数：利用导函数：依据定义：依据定义：一、一、计算计算依据函数组成：依据函数组成：二、二、计算计算反函数求导法则反函数求导法则反函数求导法则反函数求导法则导数四则运算导数四则运算导数四则运算导数四则运算复合函数求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则复

17、合函数求导法则隐函数隐函数隐函数隐函数参变量函数参变量函数参变量函数参变量函数幂指函数幂指函数幂指函数幂指函数取对数求导取对数求导取对数求导取对数求导利用求导法则利用求导法则依据定义依据定义三、三、计算计算依据定义依据定义分段函数分段函数分段函数分段函数第第32页页第三章 导数与微分33第三章 导数与微分335.5 微分微分一、微分定义一、微分定义二、微分几何意义二、微分几何意义三、微分法则三、微分法则四、微分应用四、微分应用第第33页页第三章 导数与微分34第三章 导数与微分34定义定义定义定义则称则称 f 在点在点x0处处可微可微，称，称 Ax 为为 f 在点在点x0处处微分微分.设函数设

18、函数 y=f(x)在某在某U(x0)内有定义内有定义,x0 处自变量增量与处自变量增量与函数增量分别记为函数增量分别记为x,y.若存在常数若存在常数 A，使得，使得记作记作或或一、微分定义一、微分定义定理定理定理定理 f 在点在点 x0 处可微处可微 f 在点在点 x0 处可导处可导.且且注：注：2.对自变量对自变量 x 有有:dx=x,1.若若f 在在I 每点处都可微，则称每点处都可微，则称 f 为为I 上可微函数上可微函数.或写作或写作线性主部线性主部故故微商微商第第34页页第三章 导数与微分35第三章 导数与微分35例例1 求函数求函数 y x 2 当当 x 由由 1 改变到改变到 1

19、01 时微分时微分 例例2 求函数求函数 y ln x 微分微分 dy 计算：计算：例：例：注：注：第第35页页第三章 导数与微分36第三章 导数与微分36二、微分几何意义二、微分几何意义几何意义：几何意义：当当 x 较小时，可近似以较小时，可近似以”直直”(切线切线)代代”曲曲”(曲线曲线)第第36页页第三章 导数与微分37第三章 导数与微分37三、微分法则三、微分法则依据求导法则能够得到：依据求导法则能够得到：(一阶微分一阶微分形式不变性形式不变性)第第37页页第三章 导数与微分38第三章 导数与微分38例例3.求求 微分微分.例例4.求求 微分微分.第第38页页第三章 导数与微分39第三

20、章 导数与微分39四、微分应用四、微分应用 函数近似计算函数近似计算函数近似计算函数近似计算比如比如：例例6.试求试求 sin 33o 近似值近似值(保留三位有效数字保留三位有效数字).问题问题问题问题:已知已知 f(x0)值值,试预计试预计 f 在在 x0 附近点附近点 x 处函数值处函数值.尤其地，在原点附近有尤其地，在原点附近有例例5.试求试求 近似值近似值.第第39页页第三章 导数与微分40第三章 导数与微分40 微分学所要处理两类问题微分学所要处理两类问题:函数改变率问题函数改变率问题导数概念导数概念函数增量问题函数增量问题微分概念微分概念求导数与微分方法求导数与微分方法,叫做叫做 微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用科学研究微分法与导数理论及其应用科学,叫做叫做 微分学微分学.导数与微分联络导数与微分联络:近似计算基本公式近似计算基本公式:第第40页页