二次函数与一元二次方程二次函数.pptx

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1、1第第9讲讲二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程第第1页页2 掌掌握握二二次次函函数数概概念念、图图象象特特征征；掌掌握握二二次次函函数数性性质质，会会求求二二次次函函数数在在给给定定区区间间上上最最值值；掌掌握握二二次次函函数数、二二次次方方程程、二二次次不不等等式式之之间间联联络络，提升综合解题能力提升综合解题能力.第第2页页31.已知已知f(x)=x2+ax+b,f(1)=0,f(2)=0,则则f(-1)=.6 由由f(1)=0，f(2)=0，得得方方程程x2+ax+b=0两根是两根是1,2，所以，所以a=-3，b=2.故故f(x)=x2-3x+2，所以，所以f(-1)=6.第第

2、3页页42.假假如如不不等等式式f(x)=ax2-x-c0(a、cR)解解集集为为（-2，1），那那么么函函数数y=f(-x)大大致致图象是图象是()C第第4页页5 由由ax2-x-c0解解集集为为（-2，1），知知a0),所以所以y-6.第第5页页65.当当x(1,2)时，时，x2+mx+40恒成立，则恒成立，则m取值范围是取值范围是 .(-,-5 （方法一）设（方法一）设f(x)=x2+mx+4，则则 f(1)0 m+50 f(2)0 4+2m+40（方法二）（方法二）m-=-(x+)(1x2).因为因为g(x)=x+4x在在(1,2)上是递减，上是递减，所以所以4g(x)0,开口向上开口

3、向上a0,开口向下开口向下图图象象性性质质定义域为定义域为R值域为值域为 .值域为值域为 .当当x=时时,函数函数有有 .当当x=时时,函数函数有有 .在区间（在区间（-,-上为上为 .函数函数,在区间在区间-,+)上为上为 .函函数数在区间（在区间（-,-上为上为 .函数函数,在区间在区间-,+)上为上为 .函数函数(-,1111 ,+)-最小值最小值1212-最大值最大值2ba13131414减减2ba1515增增2ba增增16161717减减2ba第第8页页93.一元二次方程根分布一元二次方程根分布.(1)方程方程ax2+bx+c=0(a0)两根：两根：一正一负一正一负ac0 x1+x2

4、=-0 x1x2=0;0 x1+x2=-0;两正根两正根两正根两正根一零根一零根 c=0.第第9页页10(2)实系数二次方程实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)两根两根x1、x2分布范围与二次方程系数之间关分布范围与二次方程系数之间关系系,以下表所表示以下表所表示:根分布图象图象充要条件充要条件x1x20 f(k)0 -k第第10页页11kx10 f(k)0 -kx1k0 x1、x2(k1,k2)f(k1)0 f(k2)0 k1-k2第第11页页12题型一题型一二次函数及它在闭区间上值域二次函数及它在闭区间上值域例例1 已知二次函数已知二次函数f(x)满足满足f(1+x)=f(1-x),

5、且且f(0)=0，f(1)=1.（1）求求f(x)解析式；解析式；（2）若若f(x)在区间在区间m,n上值域是上值域是m,n，求求m、n值值.第第12页页13 （1）设设f(x)=ax2+bx+c(a0).由已知得由已知得 -=1 c=0 ，解得，解得 a+b+c=1所以所以f(x)=-x2+2x.（2）f(x)=-(x-1)2+1，显然，显然n1,所以区间所以区间m,n在函数对称轴在函数对称轴x=1左边左边,所以所以 f(m)=m f(n)=n,即即m、n是方程是方程-x2+2x=x两根两根.又又mn，所以，所以m=0，n=1.a=-1b=2c=0.第第13页页141.求求二二次次函函数数解

6、解析析式式，惯惯用用待待定定系系数数法法，若能恰当选择其形式，将可化繁为简若能恰当选择其形式，将可化繁为简.2.条条件件二二次次问问题题，注注意意一一看看开开口口方方向向，二二看看轴轴位位置置，三三算算端端点点数数值值.若若盲盲目目分分类，类，“前途前途”将很渺茫将很渺茫.第第14页页15 已知函数已知函数f(x)=ax2+bx-2(a0).（1）判断函数判断函数f(x)奇偶性；奇偶性；（2）当当a0时时，方方程程f(x)=x两两实实根根x1、x2满足满足x11x2-4.题型题型二二 二次函数性质及二次函数性质及二次方程根分布二次方程根分布例例2第第15页页16（1）当当b=0时时,f(-x)

7、=f(x),则则f(x)是偶函数；是偶函数；当当b0时，时，f(-x)-f(x)，f(-x)f(x),所以所以f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数.（2）证实证实:方程方程f(x)=x,化为化为ax2+(b-1)x-2=0.设设g(x)=ax2+(b-1)x-2(a0)，第第16页页17因为因为x11x20 a+b-1-20 g(2)0 4a+2(b-1)-20.因为因为a-4.一一元元二二次次方方程程根根分分布布，即即二二次次函函数数零零点点分分布布，关关键键在在于于作作出出二二次次函函数数草草图图，由由此此列列出出不不等等式式组组，要要注注意意二二次次函函数数对对称称轴与轴与与方程根关系与

8、方程根关系.第第17页页18题型三题型三 二次函数综合问题二次函数综合问题例例3 已已知知二二次次函函数数y=f(x)在在x=处处取取得最小值得最小值-(t0)，且，且f(1)=0.（1）求求y=f(x)表示式；表示式；（2）若若函函数数y=f(x)在在区区间间-1,上上最最小小值值为为-5，求此时，求此时t值和对应值和对应x值值.第第18页页19（1）设设f(x)=a(x-)2-(a0).因为因为f(1)=0，所以，所以(a-1)=0.又又t0，所以，所以a=1，所以，所以f(x)=(x-)2-(t0).（2）因为因为f(x)=(x-)2-(t0),当当 -1，即，即t ，即，即t-1时，时

9、，f(x)min=f()=(-)2-=-5,所以所以t=-（舍去）（舍去）.综上得，所求综上得，所求t=-，对应，对应x=-1.定定区区间间上上二二次次函函数数最最值值问问题题需需要要分分段段考考查查区区间间端端点点与与对对称称轴轴关关系系，分别求最值分别求最值.第第20页页21 设函数设函数f(x)=|x2-4x-5|.(1)在区间在区间-2,6上画出函上画出函数数f(x)图象；图象；(2)设集合设集合A=x|f(x)5,B=(-,-20,46,+).试试判判断断集合集合A和和B之间关系之间关系,并给予证实；并给予证实；(3)当当k2时时，求求证证：在在区区间间-1,5上上，y=kx+3k图

10、象位于函数图象位于函数f(x)图象上方图象上方.第第21页页22(1)将函数解析式变形为将函数解析式变形为f(x)=x2-4x-5(x5或或x-1)-x2+4x+5(-1x5).f(x)在区间在区间-2,6上图象以下：上图象以下：(2)方程方程f(x)=5解分别是解分别是2-,0,4和和2+.因为因为f(x)在在(-,-1和和2，5上单调递减上单调递减,在在-1，2和和5，+)上单调递增，上单调递增，第第22页页23 所所以以，A=（-,2-)0,42+,+).因为因为2+-2,所以所以B A.(3)（证法一（证法一)最值法最值法.当当 x-1,5 时时，f(x)=-x2+4x+5，g(x)=

11、k(x+3)-(-x2+4x+5)=x2+(k-4)x+(3k-5).因为因为k2,所以所以 1.又又-1x5,当当-1 1,即即2k6时，取时，取x=,第第23页页24 g(x)min=-=-(k-10)2-64.因因为为16(k-10)264,所所以以(k-10)2-640.当当 6时，时，取取 x=-1,g(x)min=2k0.由由 可可 知知，当当 k2时时,g(x)0,x-1,5.所所 以以,在在 区区 间间 -1,5 上上，y=k(x+3)图象位于函数图象位于函数f(x)图象上方图象上方.(证法二证法二)判别式法判别式法.当当x-1,5时，时，f(x)=-x2+4x+5.第第24页

12、页25由由 y=k(x+3)y=-x2+4x+5 ,得得x2+(k-4)x+(3k-5)=0,令令=(k-4)2-4(3k-5)=0,解解得得k=2或或k=18.在在区区间间-1，5上上,当当k=2时时,y=2(x+3)图图象象与与函函数数f(x)图象只交于一点（图象只交于一点（1，8）;当当k=18时，时，y=18(x+3)图图象象与与函函数数f(x)图图象象没没有有交交点点.由由图图可可知知,因因为为直直线线y=k(x+3)过过点点(-3,0),当当k2时时,直直线线y=k(x+3)是是由由直直线线y=2(x+3)绕绕点点(-3,0)逆逆时时针针方方向向旋旋转转得得到到.所所以以,在在区区

13、间间-1,5上上,y=k(x+3)图象位于函数图象位于函数f(x)图象上方图象上方.第第25页页261.二二次次函函数数、一一元元二二次次不不等等式式和和一一元元二二次次方方程程是是一一个个有有机机整整体体，要要深深刻刻了了解解他他们们之之间间关关系系，利利用用函函数数与与方方程程思思想想将将他他们们进进行行转转化化，这这是是准准确确快快速速处处理理这这类类问问题题关键关键.第第26页页27 最最值值，另另一一最最值值在在区区间间端端点点处处取取得得；当当x-m,n时时，最最大大值值和和最最小小值值分分别别在区间两个端点处取得在区间两个端点处取得.(2)含含参参数数二二次次函函数数在在某某个个

14、区区间间上上最最值值问问题题常常需需分分类类讨讨论论.要要抓抓住住顶顶点点横横坐坐标标是是否否属属于于该该区区间间，结结合合开开口口方方向向及及单单调调性性进进行行分类讨论求解分类讨论求解.2.对对二二次次函函数数y=ax2+bx+c(a0)在在m,n上上最最值值研研究究是是本本讲讲内内容容重重点点.对对以以下下结结论论必须熟练掌握必须熟练掌握:(1)当当x=-m,n时时,是它一个是它一个第第27页页283.二次函数二次函数f(x)=ax2+bx+c.当当a0且且0成立；成立；当当a0且且0时，对时，对xR,f(x)0成立成立.第第28页页29 (福福建建卷卷)函函数数f(x)=ax2+bx+

15、c(a0)图图象象关关于于直直线线x=-对对称称.据据此此可可推推测测,对对任任意意非非零零实实 数数 a,b,c,m,n,p，关关 于于 x方方 程程mf(x)2+nf(x)+p=0解解集集都都不不可可能是能是()学例1DA.1,2 B.1,4C.1,2,3,4 D.1,4,16,64第第29页页30 若若方方程程mf(x)2+nf(x)+p=0解解集集是是1,4,16,64，则则 该该 方方 程程 化化 为为 f(x)=t1和和f(x)=t2，每每个个方方程程有有不不一一样样实实根根.而而由由f(x)=ax2+bx+c对对 称称 轴轴 性性 知知 f(x)=t1和和f(x)=t2两两个个根

16、根也也应应关关于于x=-对对称称，即即这这四四个个数数1,4,16,64中中必必有有两两对对数数和和相相等等，这是不可能这是不可能.第第30页页31 (江苏卷江苏卷)设设a为实数为实数,函函f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若若f(0)，求，求a取值范围；取值范围；(2)求求f(x)最小值最小值.学例2(1)若若f(0)1,则则-a|a|1 a-1.故故a取值范围是取值范围是(-,-1.a0a21第第31页页32 f(a)(a0)f()(a0)当当xa时，时，f(x)=x2+2ax-a2,f(-a)(a0)-2a2 (a0)f(a)(a0)2a2 (a0).-2a2 (a0)(a0).2a2 (a0)(a0);=则则f(x)min=则则f(x)min=综上综上,f(x)min=223a(2)当当xa时，时，f(x)=3x2-2ax+a2,第第32页页33本节完，谢谢聆听第第33页页