第一讲 行程问题1--2024五年级数学思维拓展含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司1 第 1 讲 行程问题 1讨论有关物体运动的速度、时间、路程问题的应用题称为行程应用题。行程问题的主要数量关系是:路程=速度时间 如果用字母 s 表示路程，t 表示时间，v 表示速度。那么，上面的数量关系可用字母表示为:s=vt。行程问题的内容丰富多彩、千变万化。主要有一个物体的运动和两个或几个物体的运动两大类。两个或几个物体的运动又可以分为相遇问题、追及问题两类。这一讲我们讨论一个物体运动的问题和一些简单的相遇问题。例 1 小明上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了 90 分钟，如果他往返都坐车，全部行程需 30 分钟。如果他往返都步行，需多少分钟?【思路思路点拨

2、点拨】根据“往返都坐车，全部行程需 30 分钟”可以算出单程坐车需 15 分钟。再根据“上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了 90 分钟”可以算出单程步行需要的时间:90-15=75(分)。应用上述两个条件，求出了单程步行需要的时间，就可算出往返都步行需要多少分钟了。例 2 甲、乙两城相距 280 千米，一辆汽车原定用 8 小时从甲城开到乙城。汽车行驶了一半路程后，在中途停留 30 分钟。如果汽车要按原定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原来的时速加快多少?【思路点拨思路点拨】要求汽车比原来的时速快多少，应知道汽车行驶后半段的时速和原来的时速。原来的时速可以用 2808 求出。要求

3、行驶后半段的时速，关键是搞清楚行驶后半段所用的时间。行驶前半段用去 4 小时，又在中途停留 30 分钟，行驶后半段只剩 3.5 小时了，用(2802)3.5例题精学例题精学知识概述第 一 讲 行 程 问 题 1-2 0 2 4 五 年 级数 学 思 维 拓 展 含 答 案 学科网（北京）股份有限公司 2 即可求出行驶后半段的时速。例 3 一列火车于下午 1 时 30 分从甲站开出，每小时行 60 千米。1 小时后，另一列火车以同样的速度从乙站开出，当天下午 6 时两车相遇。甲、乙两站相距多少千米?【思路点拨思路点拨】将两列火车各自所行驶的路程加起来就是甲、乙两站相距多少千米。也可以这样思考:因

4、为这两辆列车是从两站面对面行驶，可运用相遇问题的解法来求解。具体思路是:速度和相遇时间(两车同时行驶的时间)=共行总路程。一列火车先行 1 小时后，两车行驶可看作相遇问题。下午 2 时 30 分至下午 6 时这段时间就是两列火车同时行驶的时间也就是相遇时间(3.5 小时)。总路程等于两车共行的路程加上第一列火车先行的 1 小时路程。例 4 甲、乙两车相距 516 千米，两车同时出发相向而行，乙车行驶 6 小时后停下修理车子，这时两车相距 72 千米。甲车保持原速继续前进，经过 2 小时与乙车相遇。求乙车的速度。【思路点拨思路点拨】根据题意可知，两车后来相距的 72 千米，是甲车 2 小时单独行

5、的。这样便可以算出甲车的速度。具体解法是:先求甲车的速度 722=36(千米/时),甲车先后共行了 6+2=8(时)，可求出甲车共行了 368=288(千米)，由于两车是相向而行.用总路程减去甲车共行的路程，得到乙车行的总路程 516-288=228(千米)。求乙车的速度只要用乙车行的总路程除以乙车行驶的时间即可。这道题是两车相向而行，所以还可用相遇问题的思路来求速度。即:相遇总路程相遇时间=速度和。再用:速度和-甲车速度=乙车速度。例 5 中巴车每小时行 60 千米，小轿车每小时行 84 千米，两车由同一个车库出发。已知中巴车先开出，30 分钟后小轿车沿着中巴车的路线开出，小轿车经过多少时间

6、能追上中巴车?例题精学 例题精学 例题精学 学科网（北京）股份有限公司 3 【思路点拨思路点拨】两车由同一个地点出发，中巴车先行驶了一段路程，然后小轿车追上了中巴车。这里首先要求出中巴车先行了多少路程。中巴车先开出 30 分钟，可求出小轿车出发时中巴车已行了 60(3060)=30(千米)。即中巴车已在小轿车前方 30 千米处。这两辆车是同向行驶，可用追及问题的思路解决。由于小轿车每小时比中巴车多行(84-60)=24(千米)，小轿车追上中巴车所用的时间，就是小轿车比中巴车多行 30 千米所需要的时间，即追及时间。追及问题的具体思路是:速度差追及时间=多行路程(即追及路程)。1.小王、小李从相

7、距 50 千米的两地相向而行，小王下午 2 时出发步行，每小时行 4.5 千米。小李下午 3 时 30 分骑自行车出发，经过 2.5 小时两人相遇。小李骑自行车每小时行多少千米?2.A、B 两地相距 60 千米。两辆汽车同时从 A 地出发前往 B 地。甲车比乙车早 30 分钟到达 B地。当甲车到达 B 地时，乙车离 B 地还有 10 千米。甲车从 A 地到 B 地共行了几小时?3.一辆公共汽车和一辆面包车同时从相距 255 千米的两地相向而行，公共汽车每小时行 33 千米，面包车每小时行 35 千米。行了几小时后两车相距 51 千米?再行几小时两车又相距 51 千米?4.A、B 两地相距 20

8、 千米，甲、乙两人同时从 A 地出发去 B 地。甲骑车每小时行 10 千米，乙步行每小时行 5 千米。甲在中途停了一段时间修车。乙到达 B 地时，甲比乙落后 2 千米。甲修车用了多长时间?5.A、B 两地相距 1000 千米，甲列车从 A 地开出驶往 B 地，2 小时后，乙列车从 B 地开出驶往A 地，经过 4 小时与甲列车相遇。已知甲列车比乙列车每小时多行 10 千米。甲列车每小时行多少千米?同步精练 学科网（北京）股份有限公司 4 6.小李由村里到县城办事，每小时行 4 千米，到预定到达的时间时，离县城还有 1.5 千米。如果小李每小时行 5.5 千米，到预定到达的时间时，又会多走 4.5

9、 千米。村里距县城多少千米?7.甲、乙两人分别从东、西两地同时出发，相向而行。2 小时后两人相距 96 千米，5 小时后两人相距 36 千米。东、西两地相距多少千米?8.甲、乙两人骑车从同一地点向相反方向出发，甲车每小时行 13 千米，乙车每小时行 12 千米。如果甲先行 2 小时，那么，乙行几小时后两人相距 699 千米？9.哥哥放学回家，以每小时 6 千米的速度步行，18 分钟后，弟弟也从同一所学校放学回家，弟弟骑自行车以每小时 15 千米的速度追哥哥。经过几分钟弟弟可以追上哥哥?10.两辆卡车为王村送化肥，第一辆以每小时 30 千米的速度由仓库开往王村，第二辆晚开 12分钟，以每小时 4

10、0 千米的速度由仓库开往王村，结果两车同时到达。仓库到王村的路程有多少千米?1.甲、乙两城相距 360 千米,客车从甲城出发向乙城开去,每小时行 80 千米,1 小时后货车从乙城出发向甲城开去,每小时行 60 千米。货车开出后几小时两车在路上相遇?课后作业 学科网（北京）股份有限公司 5 2.从王叔叔家到县城有 60 千米。王叔叔骑自行车上县城办事,原定用 5 小时达县城。骑了一半路程后,车子坏了,花了半个小时修车。如果王叔叔还想按预定时间到达县城,那么后半段路程应比原来的速度每小时快多少千米？3.芳芳和红红家相距 540 米,两人约定同时出发向对方家走去。芳芳走了 3 分钟后遇到同学,于是停

11、下来聊天,这时两人相距 240 米。红红用原来的速度继续往前走,4 分钟后与芳芳会合。那么芳芳每分钟走多少米?4.六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。男同学骑自行车先从校门口出发，每小时行 12 千米,2 小时后,女同学坐汽车从校门口出发,每小时行 60 千米。那么经过多少时间女同学可以追上男同学?5.六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。男同学骑自行车先从校门口出发每小时行 12 千米,2 小时后,女同学坐汽车从校门口出发,经过半小时追上了男同学。汽车每小时行多少千米?6.明明去外婆家,如果去时坐车,回来时步行,那么来回路上一共花 80 分钟;如果他往返都步行,那么来回路上一共花 120 分钟

12、。如果明明往返都坐车,那么来回路上一共要多少时间?学科网（北京）股份有限公司 6 7.姐姐和妹妹同时从家里出发,如果反向而行,那么 5 分钟后两人相距 480 米;如果同向而行,那么 8 分钟后,姐姐在妹妹前面 32 米。请问:姐姐和妹妹每分钟各行多少千米?8.王老师从学校到教育局开会。如果用每分钟 60 米的速度前进会迟到 8 分钟;如果用每分钟100 米的速度前进会提早 4 分钟到。学校到教育局有多少米?9.王师傅和李师傅各加工 240 个相同的零件。他们约定同时开始做,结果王师傅比李师傅提前1 小时完成任务。当王师傅完成任务时,李师傅还有 30 个没有完成。那么王师傅完成这批零件一共用了

13、多少小时?10.甲、乙两地相距 600 千米,客车和货车同时从两地出发,相向而行,客车每小时行 120 千米,货车每小时行 80 千米。几小时后两车相距 200 千米?学科网（北京）股份有限公司 1 第 1 讲 行程问题 1 讨论有关物体运动的速度、时间、路程问题的应用题称为行程应用题。行程问题的主要数量关系是:路程=速度时间 如果用字母 s 表示路程，t 表示时间，v 表示速度。那么，上面的数量关系可用字母表示为:s=vt。行程问题的内容丰富多彩、千变万化。主要有一个物体的运动和两个或几个物体的运动两大类。两个或几个物体的运动又可以分为相遇问题、追及问题两类。这一讲我们讨论一个物体运动的问题

14、和一些简单的相遇问题。例 1 小明上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了 90 分钟，如果他往返都坐车，全部行程需 30 分钟。如果他往返都步行，需多少分钟?答案：150 分钟 【思路点拨思路点拨】根据“往返都坐车，全部行程需 30 分钟”可以算出单程坐车需 15 分钟。再根据“上学时坐车，回家时步行，在路上一共用了 90 分钟”可以算出单程步行需要的时间:90-15=75(分)。应用上述两个条件，求出了单程步行需要的时间，就可算出往返都步行需要多少分钟了。例 2 甲、乙两城相距 280 千米，一辆汽车原定用 8 小时从甲城开到乙城。汽车行驶了一半路程后，在中途停留 30 分钟。如果汽车要按原

15、定时间到达乙城，那么，在行驶后半段路程时，应比原来的时速加快多少?答案：5 千米/时 【思路点拨思路点拨】要求汽车比原来的时速快多少，应知道汽车行驶后半段的时速和原来的时速。原来的时速可以用 2808 求出。要求行驶后半段的时速，关键是搞清楚行驶后半段所用的时间。行驶前半段用去 4 小时，又在中途停留 30 分钟，行驶后半段只剩 3.5 小时了，用(2802)3.5例题精学 例题精学 知识概述 学科网（北京）股份有限公司 2 即可求出行驶后半段的时速。例 3 一列火车于下午 1 时 30 分从甲站开出，每小时行 60 千米。1 小时后，另一列火车以同样的速度从乙站开出，当天下午 6 时两车相遇

16、。甲、乙两站相距多少千米?答案：480 千米 【思路点拨思路点拨】将两列火车各自所行驶的路程加起来就是甲、乙两站相距多少千米。也可以这样思考:因为这两辆列车是从两站面对面行驶，可运用相遇问题的解法来求解。具体思路是:速度和相遇时间(两车同时行驶的时间)=共行总路程。一列火车先行 1 小时后，两车行驶可看作相遇问题。下午 2 时 30 分至下午 6 时这段时间就是两列火车同时行驶的时间也就是相遇时间(3.5 小时)。总路程等于两车共行的路程加上第一列火车先行的 1 小时路程。例 4 甲、乙两车相距 516 千米，两车同时出发相向而行，乙车行驶 6 小时后停下修理车子，这时两车相距 72 千米。甲

17、车保持原速继续前进，经过 2 小时与乙车相遇。求乙车的速度。答案：38 千米/时 【思路点拨思路点拨】根据题意可知，两车后来相距的 72 千米，是甲车 2 小时单独行的。这样便可以算出甲车的速度。具体解法是:先求甲车的速度 722=36(千米/时),甲车先后共行了 6+2=8(时)，可求出甲车共行了 368=288(千米)，由于两车是相向而行.用总路程减去甲车共行的路程，得到乙车行的总路程 516-288=228(千米)。求乙车的速度只要用乙车行的总路程除以乙车行驶的时间即可。这道题是两车相向而行，所以还可用相遇问题的思路来求速度。即:相遇总路程相遇时间=速度和。再用:速度和-甲车速度=乙车速

18、度。例 5 中巴车每小时行 60 千米，小轿车每小时行 84 千米，两车由同一个车库出发。已知中巴车先开出，30 分钟后小轿车沿着中巴车的路线开出，小轿车经过多少时间能追上中巴车?答案：1.25 时 例题精学 例题精学 例题精学 学科网（北京）股份有限公司 3 【思路点拨思路点拨】两车由同一个地点出发，中巴车先行驶了一段路程，然后小轿车追上了中巴车。这里首先要求出中巴车先行了多少路程。中巴车先开出 30 分钟，可求出小轿车出发时中巴车已行了 60(3060)=30(千米)。即中巴车已在小轿车前方 30 千米处。这两辆车是同向行驶，可用追及问题的思路解决。由于小轿车每小时比中巴车多行(84-60

19、)=24(千米)，小轿车追上中巴车所用的时间，就是小轿车比中巴车多行 30 千米所需要的时间，即追及时间。追及问题的具体思路是:速度差追及时间=多行路程(即追及路程)。1.小王、小李从相距 50 千米的两地相向而行，小王下午 2 时出发步行，每小时行 4.5 千米。小李下午 3 时 30 分骑自行车出发，经过 2.5 小时两人相遇。小李骑自行车每小时行多少千米?答案：每小时行 12.8 千米 2.A、B 两地相距 60 千米。两辆汽车同时从 A 地出发前往 B 地。甲车比乙车早 30 分钟到达 B地。当甲车到达 B 地时，乙车离 B 地还有 10 千米。甲车从 A 地到 B 地共行了几小时?答

20、案：2.5 小时 3.一辆公共汽车和一辆面包车同时从相距 255 千米的两地相向而行，公共汽车每小时行 33 千米，面包车每小时行 35 千米。行了几小时后两车相距 51 千米?再行几小时两车又相距 51 千米?答案：3 小时，1.5 小时 4.A、B 两地相距 20 千米，甲、乙两人同时从 A 地出发去 B 地。甲骑车每小时行 10 千米，乙步行每小时行 5 千米。甲在中途停了一段时间修车。乙到达 B 地时，甲比乙落后 2 千米。甲修车用了多长时间?答案：2.2 小时 5.A、B 两地相距 1000 千米，甲列车从 A 地开出驶往 B 地，2 小时后，乙列车从 B 地开出驶往A 地，经过 4

21、 小时与甲列车相遇。已知甲列车比乙列车每小时多行 10 千米。甲列车每小时行多少千米?答案：每小时行 104 千米 6.小李由村里到县城办事，每小时行 4 千米，到预定到达的时间时，离县城还有 1.5 千米。如果小李每小时行 5.5 千米，到预定到达的时间时，又会多走 4.5 千米。村里距县城多少千米?答案：17.5 千米 7.甲、乙两人分别从东、西两地同时出发，相向而行。2 小时后两人相距 96 千米，5 小时后两人相距 36 千米。东、西两地相距多少千米?答案：136 千米或 184 千米(提示:第一种情况是行 5 小时后，两人没有相遇;第二种情况是行 5 小时后，两人已经相遇)8.甲、乙

22、两人骑车从同一地点向相反方向出发，甲车每小时行 13 千米，乙车每小时行 12 千米。如果甲先行 2 小时，那么，乙行几小时后两人相距 699 千米？答案：26.92 小时 9.哥哥放学回家，以每小时 6 千米的速度步行，18 分钟后，弟弟也从同一所学校放学回家，弟弟骑自行车以每小时 15 千米的速度追哥哥。经过几分钟弟弟可以追上哥哥?答案：12 分钟 10.两辆卡车为王村送化肥，第一辆以每小时 30 千米的速度由仓库开往王村，第二辆晚开 12分钟，以每小时 40 千米的速度由仓库开往王村，结果两车同时到达。仓库到王村的路程有多少千米?同步精练 学科网（北京）股份有限公司 4 答案：24 千米

23、 1.甲、乙两城相距 360 千米,客车从甲城出发向乙城开去,每小时行 80 千米,1 小时后货车从乙城出发向甲城开去,每小时行 60 千米。货车开出后几小时两车在路上相遇?答案 2 小时相遇。提示:由于客车先出发 1 小时,所以两辆车同时行的路程是 360-80=280(千米),根据“相遇路程=速度和=相遇时间”,可以求出相遇时间:280=(80+60)=2(小时),即货车开出后 2 小时两车相遇。2.从王叔叔家到县城有 60 千米。王叔叔骑自行车上县城办事,原定用 5 小时达县城。骑了一半路程后,车子坏了,花了半个小时修车。如果王叔叔还想按预定时间到达县城,那么后半段路程应比原来的速度每小

24、时快多少千米？答案 应比原来速度快 3 千米/时。提示:可以把路程分段进行分析。(1)行驶前半段的速度:60:5=12(千米/时);(2)行驶后半段路程所用的时间:5=2-0.5=2(时):(3)行驶后半段路程的速度:60=2=2=15(千米/时):(4)行驶后半段路程比原来快的速度:15-12=3(千米/时)。3.芳芳和红红家相距 540 米,两人约定同时出发向对方家走去。芳芳走了 3 分钟后遇到同学,于是停下来聊天,这时两人相距 240 米。红红用原来的速度继续往前走,4 分钟后与芳芳会合。那么芳芳每分钟走多少米?答案 芳芳每分钟走 40 米。提示:根据题意可以知道,240 米是红红单独走

25、的,因此可以先求出红红的速度。(1)红红的速度:240=4=60(米 1 分);(2)红红一共行的路程:60 x(3+4)=420(米);(3)芳芳行的路程:540-420=120(米);(4)芳芳的速度:120=3=40(米/分)。4.六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。男同学骑自行车先从校门口出发，每小时行 12 千米,2 小时后,女同学坐汽车从校门口出发,每小时行 60 千米。那么经过多少时间女同学可以追上男同学?答案 经过 0.5 小时就可追上。提示:先要算出汽车要追的路程和两种交通工具的速度差。(1)汽车所要追及的路程:12x2=24(千米);(2)汽车与自行车的速度差:60-12=

26、48(千米/时);(3)追及的时间:24=48=0.5(时)。5.六年级的同学分乘两种交通工具去郊游。男同学骑自行车先从校门口出发每小时行 12 千米,2 小时后,女同学坐汽车从校门口出发,经过半小时追上了男同学。汽车每小时行多少千米?答案 汽车每小时行 60 千米。提示:(1)汽车所要追及的路程:12x2=24(千米);(2)汽车与自行车速度差:24=0.5=48(千米/时);(3)汽车的速度:12+48=60(千米/时)。6.明明去外婆家,如果去时坐车,回来时步行,那么来回路上一共花 80 分钟;如果他往返都步行,那么来回路上一共花 120 分钟。如果明明往返都坐车,那么来回路上一共要多少

27、时间?课后作业 学科网（北京）股份有限公司 5 答案 共要 40 分钟提示:根据“如果他往返都步行,那么来回路上一共花 120 分钟”,可以求出明单程步行需要的时间,120=2=60(分)。再根据“如果去时坐车,回来时行,那么来回路上一共花 80 分钟”,可以求出坐车一个单程所需的时间:8060=20(分),从而可以进一步求出坐车往返所需的时间:20 x2=40(分)。7.姐姐和妹妹同时从家里出发,如果反向而行,那么 5 分钟后两人相距 480 米;如果同向而行,那么 8 分钟后,姐姐在妹妹前面 32 米。请问:姐姐和妹妹每分钟各行多少千米?答案 姐姐每分钟行 50 米,妹妹每分钟行 46 米

28、。提示:这道题可以用和差问题的思路来分析 姐妹两人的速度和:480=5=96(米/分);姐妹两人的速度差:32=8=4(米 1 分);姐姐的速度:(96+4)=2=50(米 1 分);妹妹的速度:(96-4)=2=46(米 1 分)8.王老师从学校到教育局开会。如果用每分钟 60 米的速度前进会迟到 8 分钟;如果用每分钟100 米的速度前进会提早 4 分钟到。学校到教育局有多少米?答案 学校到教育局有 1800 米。提示:这道行程问题可以转化成盈亏问题。“如果用每分钟 60 米的速度前进会迟到 8 分钟”,即“如果用每分钟 60 米的速度前进,会少走 60 x8=480(米)”为“亏”;“如

29、果用每分钟 100 米的速度前进会提早 4 分钟”,即“如果用每分钟 100 米的速度前进会多走 100 x4=400(米)”,为“盈”。根据公式“(盈数+亏数)-两次分配相差数=参加分配的数”，可求出开会时间:(480+400)=(100-60)=22(分),再求出路程是:60 x(22+8)=1800(米)。9.王师傅和李师傅各加工 240 个相同的零件。他们约定同时开始做,结果王师傅比李师傅提前1 小时完成任务。当王师傅完成任务时,李师傅还有 30 个没有完成。那么王师傅完成这批零件一共用了多少小时?答案 王师傅用了 7 小时。提示:分析题意可知,李师傅1小时可以加工30个零件,那么可先

30、求出李师傅要几小时能完成任务,再求出王师傅完成任务的时间。240:30-1=7(小时)。10.甲、乙两地相距 600 千米,客车和货车同时从两地出发,相向而行,客车每小时行 120 千米,货车每小时行 80 千米。几小时后两车相距 200 千米?答案 2 小时或 4 小时后两车相距 200 千米。提示:要注意有两种情况。(1)没有相遇时两车相距 200 千米,即两车共行了 600-200=400(千米)。(600-200)=(120+80)=2(小时)。(2)相遇后两车继续行走了一段时间后再次相距 200 千米,此时两车共行了 600+200=800(千米)。所以(600+200)=(120+80)=4(小时)。7.姐姐和妹妹同时从家里出发,如果反向而行,那么5 分钟后两人相距 480 米;如果同向而行,那么 8 分钟后,姐姐在妹妹前面 32 米。请问:姐姐和妹妹每分钟各行多少千米?