福建宁德市2024年高一下学期期末考试数学试卷含答案.pdf

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1、 高一数学期末试题 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 宁德市 2023-2024 学年度第二学期期末高一质量检测 数学试题数学试题 本试卷有第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120 分钟，满分150 分.注意事项：1答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第 II 卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷

2、上作答，答案无效.第第 I 卷（选择题卷（选择题 共共 58 分）分）一、单项选择题：一、单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只中，只有一个选项是符合题目要求的有一个选项是符合题目要求的.1设复数2zi=+，则z=（）A.3 B.3 C.5 D.5 2已知向量()()1,2,3,2ab=，若()2aba，则=（）A.3 B.1 C.1 D.3 3把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A.对立 B.相等 C.相互独立 D.互

3、斥但不对立 4设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m，n，mn，则 B.若m，n，/m n，则/C.若m，n，/，则/m n D.若m，/m n，n，则 5.根据某地天气预报，在今后的三天中，每天下雨的概率均为20%利用计算机产生1到5之间整数值的随机数，当出现随机数1时，表示下雨，当出现随机数2,3,4,5时，表示不下雨，产生20组随机数：435 451 132 533 224 344 151 231 424 142 412 414 335 312 123 233 314 254 353 442 据此估计这三天中至少有1天下雨的概率为（）A.0.4 B.0.

4、5 C.0.55 D.0.6 6甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在余下的两局比赛中再赢一局就获得冠军，若余下比赛中甲队每局获胜的概率为25，则甲队获得冠军的概率为（）A.925 B.1325 C.1625 D.1925 高一数学期末试题 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 7若平面向量,a b c 两两的夹角相等，|1,|2,|3abc=，则|abc+=（）A.3 B.6 C.3或6 D.3或6 8将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量()342amn=,，()1,1b=的夹角为，则为

5、钝角的概率是（）A.518 B.16 C.736 D.1136 二、多项选择题：二、多项选择题：本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，分，共共 18 分分.在每小题给出的选项中有在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分分.9.若x是样本数据,a b c d的平均数，则（）A.,a b c d的极差等于,a b c d x的极差 B.,a b c d的中位数等于,a b c d x的中位数 C.,a b c d的众数等于,a b c d x的众数 D.,a b c d

6、的方差大于,a b c d x的方差 10已知ABC三个内角,A B C的对应边分别为,a b c，且2c=，则（）A.若13ADAB=，则2133CDCACB=+B.若6A=，则AB 在AC上投影向量的模长为1 C.若4B=，32b=，则角C有两解 D.若0CA CB ，则224CACB+且1)k 的点的轨迹是圆心在两定点所在直线上的圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆在棱长为 6 的正方体ABCDA B C D 中，点M是BC的中点，点P是正方体表面DCC D 上一动点（包括边界），且两直线AP，MP与平面DCC D 所成的角相等.（1）证明：点P的轨迹是一阿波罗尼斯圆的一段弧，并画出大致图象

7、（不要求写出画法）；（2）记点P的轨迹所在的阿波罗尼斯圆的圆心为O，求D P OP 的取值范围；（3）当线段D P最短时，在线段A D 上是否存在点N，使得D P平面AMN,若有，请求出平面AMN截正方体ABCDA B C D 的截面周长，若无，说明理由.高二数学参考答案 第1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 宁德市 2023-2024 学年度第二学期期末高一质量检测 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据

8、试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.C 2A 3D 4D 5.B 6.C 7C 8B 第 8 题解析：由/ab可得，()()()341210mn =，所以63nm=.因为为钝

9、角，所以0a b，且,a b 不共线，所以()()()34121063mnnm+，即32mn且3n，所以n可取 2，4，5，6；当2m=时，有4n，n可取 5，6；当3m=，4m=，5m=，6m=时，326nm，此时无解.综上所述，满足条件的,m n有 6 种可能.又先后抛掷两次，得到的样本点数共 36 种，所以为钝角的概率1.6p=二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）9 AD 10.ACD 11.AC 第 11 题解析：对于 A 该“刍童”的表面积为20312+，

10、所以正确 对于 B 由轴截面的等腰梯形EFGH可知，其高2GG=，如图所示：高二数学参考答案 第2 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 能够被完整放入该“刍童”内的圆台的最大的体积为7 23,所以不正确 对于 C 该“刍童”的外接球的球心到平面ABCD的距离为2，而平面A B BA 的外接圆的圆心恰为线段BA的中点，故该“刍童”的外接球的球心到平面A B BA 的距离为6，所以正确 对于 D，若正四面体在此容器内部可以任意转动，则正四面体的外接球可以放进容器，棱长为2的正四面体的外接球直径为3，由轴截面的等腰梯形EFGH可知，其高

11、2GG=，如下图所示：可知此棱台可放入的最大球的直径为2，小于正四面体的外接球直径，故不可以在此空心棱台容器内部任意转动，所以 D 不正确 故选：AC 三、填空题:（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡的相应位置）12.2800 13.2 14.152 第 14 题解析：如图示，可知：1324A A A A是边长为 2 的菱形，且1223=1=2A AA A，223423121=152A AA AA A=，所以343215=2A AA A 四、解答题：本大题共 5 小小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）（1）因

12、为12(15zzmi+=+），2 分 所以1m=4 分 高二数学参考答案 第3 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以1 2(1 3)(12)55z ziii=+=6 分（2）因为123(3)(12)12(12)(12)zmimiiziii=+7 分(6)(23)=5mim+9 分 所以60230mm 11 分 所以362m 13 分 16.（本小题满分 15 分）解：（1）证明：由于底面ABCD为矩形，所以ADCD 1 分 又有AE平面PCD，CD 平面PCD，所以AECD 4 分 因为ADAEA=，所以CD 平面PAD 6

13、分 因为CD 平面ABCD，所以平面PAD 平面ABCD 7 分（2）解：由于/AB CD即PCD为异面直线PC和AB所成角所成的角 8 分 因为异面直线PC和AB所成角的正切值为2，由于CD 平面PAD所以CDPD 所以在Rt PBC中，4PD=，所以2DC=9 分 由于APD是边长为 4 的正三角形，取AD的中点M，连接PM，所以,2 3PMAD PM=10 分 因为平面PAD 平面ABCD，PM 平面PAD，所以PM 平面ABCD 11 分 取BC的中点N，连接MN，PN，/MNDC，MNBC，所以PNBC 所以PNM为二面角PBCD的平面角，13 分 在Rt MNP中，2 3,2MPM

14、N=，所以3=PNM 14 分 所以PNM为二面角PBCD的平面角3 15 分 17.（本小题满分 15 分）解：（1）根据正弦定理可得：2sincossincossincosCCABBA=+，2 分 高二数学参考答案 第4 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 sin()sin()ABC=+=sinC=3 分 因为0C（，），sin0C 4 分 所以1cos2C=5 分 即3C=7 分 法二:根据余弦定理可得222222coscos=22acbbcaaBbA abcacbc+=2 分 即2 coscCc=，3 分 所以1cos2C

15、=4 分 因为0C（，），5 分 所以3C=.7 分(2)解：因为3 32ABCS，2,AC=,3ACB=所以13 32sin232ABCSBC 8 分 解得3,BC=9 分 因为CD平分,ACB 在ACD中根据正弦定理得：ssin6inADACADC=在BCD中根据正弦定理得：sinsinsin6BDBCBCBDCADC=所以ADACBDBC=，11 分 所以23ADBD=，12 分 高二数学参考答案 第5 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以25CDACACAABD=+=+()325552CACBCACACB=+=+13

16、分 所以222110829242552525CCACA CBCBD=+=，14 分 解得6 35CD=，即6 35CD=；15 分 法二:因为3 32ABCS，2,AC=3,ACB=所以13 32sin232ABCSBC 8 分 解得3,BC=9 分 因为CD平分,ACB 所以13 3()sin262ABCACDBCDSSSACBC CD 12 分 整理得：53 342CD 14 分 即6 35CD=15 分 18.（本小题满分 17 分）（1）根据频率分布直方图有，男生成绩样本数据的平均数45 0.1 55 0.1565 0.1575 0.385 0.2595 0.0571x=+=4 分 所

17、以男生成绩样本数据的平均数为 71.（列式正确，计算错误扣 1 分）（2）在区间)40,50和90,100内的男生成绩样本数据分别有 4 个和 2 个，5 分 分别用a b c d,和,m n表示，则在这 6 个数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点 有()()()()(),a ba ca da ma n，()()(),d md nm n()()()()()()(),b cb db mb nc dc mc n，个数为()15n =，7 分 记事件A=“这两个样本来自同一区间”，则事件A包含的样本点有()()(),a ba ca d，()()(),b cb dc d(),m n 个数为()7n

18、 A=，9 分 所以()()(157)n AP An=；10 分 （3）设男生成绩样本数据为1x，2x，40 x，其平均数为 71，方差为2194;xs=女生成绩样本数据为1y，2y，60y，其平均数为76y=，高二数学参考答案 第6 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 方差为2120ys=；总样本的平均数为z，方差为2s.11 分 由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得406074100100zxy=+=.13 分 22222140()60()100 xyssxzsyz=+14 分 22140 194(7

19、1 74)60 120(7674)100=+15 分 155.6=.17 分 所以总样本的平均数和方差分别为74和155.6.19.（本小题满分 17 分）（1）解：由于ABCDA B C D 是正方体，两直线AP，MP与面 DCC D所成的角相等 即APDMPC=，由于090ADPMCP=1 分 法 1：tantanAPDMPC=，即2ADMCPDPC=3 分 法 2：所以RtRtADPMCP，又有M是BC的中点，2ADPDMCPC=3 分 即2PDPC=，依题意平面内点P到两定点,D C距离之比为 2,故点P的轨迹是圆，而点P是正方体表面 DCC D上一动点（包括边界），即点P的轨迹是一段

20、阿波罗尼斯圆的弧.4 分 画出上图弧线即给分，不要求精确 5 分（2）依题意可知：圆心O在DC所在的直线上，6 分 法一：作圆O与DC交于点E，与DC的延长线上交于点F,显然EF恰为圆O的直径，故依2DEEC=,高二数学参考答案 第7 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 E恰好为DC线段的三分之一分点，2EC=,2DFCF=,6CF=,8EF=,4DOCO=7 分 法二：易知此圆O与DC的交点为E，与CC的交点为F,则满足：2DEDFECFC=,故在2DEEC=,030FDC=,2,EC=2 3,FC=在Rt ECF中，060FE

21、C=,4EF=故EFO为正三角形，故4EOFOEF=,2OC=，4DOCO=7 分 法一：设OD 与OP 所成的角为，可知4cos0,5 8 分（）=+D P OPD OOPOP2=+D O OPOP cos16=+ODOP40cos16=+9 分 24,16D P OP 10 分 法二：（建系）以O为平面直角的坐标原点，分别以DO,过点O垂直于DO的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，故可设(4cos,4sin)P,(8,6)D,(0,0)O,(4cos8,4sin6)D P=+(4cos,4sin)OP=2,3 8 分 1632cos24sinD P OP=+1640sin()=其中4ta

22、n3=9 分 故24,16D P OP 10 分（3）由（2)可知，当线段D P的长最短时，即点P在直线OD上，故延长AM交DC于点R,过点R做RSOD,交DD于点S,交C D 于点T,交CC于点Q,连接SA交A D 于点N,所求的截面即为五边形AMQTN.以下证明D P平面AMN,由于D PSR,D P平面AMN,SR 平AMN 高二数学参考答案 第8 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以D P平面AMN,11 分 故有12CQCRDSDR=,13SDD TORD NSDDRDRAD=,在Rt ABM中，6,3,3 5ABBMAM=12 分 在Rt MCQ中，93 133,22MCCQQM=13 分 在Rt QC T 中，35,2,22QCC TQT=14 分 在Rt TD N中，4,2,2 5TDD NTN=15 分 在Rt NA A中，4,6,2 13NAA AAN=16 分 所以所求的截面五边形AMQTN的周长 AMQTNCAMMQQTTNNA=+3 1353 52 52 1322=+57 135 522=+17 分