2024高考数学一轮复习_重难点01七种零点问题（核心考点讲与练）含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司2024高考一轮复习专项2024高考一轮复习专项重难点重难点 01 七种零点问题（核心考点讲与练）七种零点问题（核心考点讲与练）方法技巧1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数 yf(x)g(x)的零点个数转化为函数 yf(x)与 yg(x)图象公共点的个数来判断.3.正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数k的不等式组，从而可

2、求相应的参数的取值范围.4.涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.5.函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点6.对于复合函数 yfg x的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定

3、内层函数 ug x和外层函数 yf u；（2）确定外层函数 yf u的零点1,2,3,iuu in；（3）确定直线1,2,3,iuu in与内层函数 ug x图象的交点个数分别为1a、2a、3a、L、na，则函数 yfg x的零点个数为123naaaa.高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司能力拓展题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间一、单选题一、单选题1（2022河南河南三模（理）若实数a，b，c满足13log 4a，37b，2lncc，则（）AabcBbcaCacbDbac2（2022黑龙江双鸭山一中高三期末（理）函数1(

4、)2ln3f xxx的零点所在的区间为（）ln20.693,ln31.099,ln51.609（）A3,4（）B4,5（）C5,6（）D8,9（）3（2022北京密云高三期末）心理学家有时使用函数 1ektL tA来测定在时间()t min内能够记忆的量L，其中 A 表示需要记忆的量，k表示记忆率假设一个学生有 200 个单词要记忆，心理学家测定在 5min内该学生记忆 20 个单词则记忆率k所在区间为（）A1(0,)20B11(,)20 15C11(,)15 10D1(,1)104（2022河南焦作一模（理）设函数 23xxfx 的零点为0 x，则0 x（）A4,2B2,1C1,2D2,45

5、（2021江苏泰州中学高三阶段练习）已知2log 3a，函数 eln4xf xx的零点为b，3212g xxxx的极小值点为c，则（）A f af bf cB f bf af cC f bf cf aD f cf af b6（2022安徽安庆一中高三期末（理）函数2()logf xxx的零点所在的区间为（）A1 1,3 2B1 2,2 3C2 3,3 4D3,14二、多选题二、多选题7（2022湖北荆州中学高三开学考试）函数4()e12cosxf xax在区间0,2的最小值为1，且在高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司区间,2唯一的极大值点0 x则下列说法正确的有（）A1

6、a B03,24xC03,4xD01f x8（2022全国高三专题练习）设函数 yf x的定义域为 R，如果存在常数0T T，对于任意xR，都有 f xTTf x，则称函数 yf x是“类周期函数”，T 为函数 yf x的“类周期”现有下面四个命题，正确的是（）A函数 xf x 是“类周期函数”B函数 3fxx是“类周期函数”C如果函数 cosf xx是“类周期函数”，那么“k，Zk”D如果“类周期函数”yf x的“类周期”为1，那么它是周期为 2 的周期函数9（2021江西模拟预测）已知实数1mn，设方程()()()(1)()(1)0 xmxnxmxxnx的两个实数根分别为1212,()x

7、x xx，则下列结论正确的是（）A不等式()()()(1)()(1)0 xmxnxmxxnx的解集为12(,)x xB不等式()()()(1)()(1)0 xmxnxmxxnx的解集可能为空集C121xm xn D121m xnx 三、填空题三、填空题10（2022全国高三专题练习）下列命题中，正确的是_(写出所有正确命题的编号)在ABC中，AB是sinsinAB的充要条件；函数2(1)1yxxx的最大值是12 2；若命题“xR，使得2(3)10axax”是假命题，则19a；若函数2()(0)f xaxbxc a，(1)2af，则函数()f x在区间(0,2)内必有零点11（2022全国高三专

8、题练习）已知函数 2 exf xaxx，且2a ，fx为 f x的导函数，下列命题：高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司存在实数a，使得导函数 fx为增函数；当0a 时，函数 f x不单调；当21a 时，函数 f x在R上单调递减；当1a 时，函数 f x有极值在以上命题中，正确的命题序号是_12（2021福建三明一中高三学业考试）已知函数()23xf xx的零点0,1xk kkZ，则k _13（2022全国高三专题练习）已知a，b均为正实数，且满足21log2aa，122logbb，则下面四个判断：n0()lab；21b a；11ab；22log0logab.其中一定成

9、立的有_（填序号即可）.14（2020湖南邵阳三模（理）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数 f x，存在一个点0 x，使00f xx，那么我们称该函数 f x为“不动点”函数，给出下列函数：224fxxx；22,132,1xxfxx x 21xfxex；lnfxaxxa（01a）；2f xxx；其中为“不动点”函数的是_.（写出所有满足条件的函数的序号）15（2020全国高三专题练习（理）函数 f(x)1x22x33x，g(x)1x22x33x，若函数 F(x)f(x3)g(x

10、4)，且函数 F(x)的零点均在a，b(ab，a，bZ)内，则 ba 的最小值为_.四、解答题四、解答题16（2022陕西西安高三阶段练习（文）已知函数22()exf xax（e 为自然对数的底数，Ra）.(1)若1a ，求证：()fx在区间0,1内有唯一零点；(2)若 f x在其定义域上单调递减，求 a 的取值范围.17（2022贵州遵义高三开学考试（理）已知函数22()33 e(0)22xaaf xxxxaxx.(1)讨论()f x的导函数()fx零点的个数；(2)若()f x的最小值为 e，求 a 的取值范围.高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司题型二：方程法判断零

11、点个数题型二：方程法判断零点个数一、单选题一、单选题1（2022福建福州三模）已知函数 2cos1xf xx，以下结论中错误的是（）A f x是偶函数B f x有无数个零点C f x的最小值为12D f x的最大值为12（2022北京模拟预测）已知函数()cos2cosf xxx，且0,2x，则()f x的零点个数为（）A1个B2个C3个D4个3（2022安徽芜湖一中一模（理）声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数若某声音对应的函数可近似为1()sinsin22f xxx，则下列叙述正确的是（）A2x为 f x的对称轴B3,02为 f x的对称中心C f x在区间0,10上

12、有 3 个零点D f x在区间57,33上单调递增4（2022全国高三专题练习）已知函数，则函数()|yf xx零点个数为（）A0B1C2D3二、多选题二、多选题5（2022海南海口模拟预测）已知函数 1xfxx，则（）A f x的定义域为 RB f x是奇函数C f x在0,上单调递减D f x有两个零点6（2022全国高三专题练习）已知函数()(sincos)sincosf xxxxx，下列说法正确的是（）.A()f x是周期函数B若12()()2f xf x，则122kxx（kZ）高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司C()f x在区间,22 上是增函数D函数()()

13、1g xf x在区间0,2 上有且仅有一个零点7（2022全国高三专题练习）若()f x和()g x都是定义在R上的函数，且方程 fg xx有实数解，则下列式子中可以为 gfx的是（）A22xxB1xCcosxeDln(|1)x 8（2022全国高三专题练习（理）关于函数()sin|cos|f xxx有下述四个结论，则（）A()f x是偶函数B()f x的最小值为1C()f x在 2,2 上有 4 个零点D()f x在区间,2单调递增三、填空题三、填空题9（2022福建模拟预测）已知函数()2sin16f xx，其中0，若()f x在区间(4，23)上恰有 2个零点，则的取值范围是_.10（2

14、022河南襄城县教育体育局教学研究室二模（文）已知函数 23,0,1,01xxm xfxmxxx有 3 个零点，则实数 m 的取值范围为_四、解答题四、解答题11（2022全国模拟预测（文）已知函数 2exfxaxxa.(1)讨论 f x的单调性；(2)当102a时，证明 f x在R上有且仅有两个零点.12（2022四川省高县中学校模拟预测（文）已知函数 3211132f xaxax.(1)当3a 时，判定 f x的零点的个数；(2)是否存在实数a，使得当,2x 时，0f x 恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司题型

15、三：数形结合法判段函数零点个数题型三：数形结合法判段函数零点个数一、单选题一、单选题1（2022安徽淮南二模（文）已知函数 1,0ln,0 xa xf xxxa x，则下列关于函数()f x的描述中，其中正确的是（）当0a 时，函数()f x没有零点；当02a时，函数()f x有两不同零点，它们互为倒数；当2a 时，函数()f x有两个不同零点；当2a 时，函数()f x有四个不同零点，且这四个零点之积为 1ABCD2（2022河南安阳模拟预测（文）已知函数 221xf x，则关于x的方程 20fxmfxn有7个不同实数解，则实数,m n满足（）A0m 且0n B0m且0n C01m且0n D

16、10m 且0n 3（2022安徽模拟预测（文）已知函数 2ln,02,0 x xf xxx x，若 g xf xa有 4 个零点，则实数 a的取值范围是（）A0,1B0,1C0,1D1,4（2022河南河南三模（理）函数 112ee1xxf xx的所有零点之和为（）A0B2C4D6二、多选题二、多选题高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司5（2022广东普宁市华侨中学二模）对于函数sin,02()1(2),22xxf xf xx，下列结论中正确的是（）A任取12,1,)x x，都有123()()2f xf xB11511222222kfffk，其中kN；C()2(2)()k

17、f xf xk kN对一切0,)x恒成立；D函数()ln(1)yf xx有3个零点；6（2022江苏南京市宁海中学模拟预测）已知 f x是定义在 R 上的偶函数，且对任意xR，有11fxfx，当0,1x时，22f xxx，则（）A f x是以 2 为周期的周期函数B点3,0是函数 f x的一个对称中心C202120222ff D函数 2log1yf xx有 3 个零点三、填空题三、填空题7（2022四川成都七中三模（文）已知函数 sin,0,212,2,2x xf xf xx，则函数()ln(1)yf xx的零点个数是_个8（2022内蒙古呼和浩特一模（理）下面四个命题：已知函数 f x的定义

18、域为R，若2f x为偶函数，21fx为奇函数，则 30f；存在负数k，使得 lg2f xxkx恰有 3 个零点；已知多项式344321234(1)(1)xxxa xa xa xa，则15a；设一组样本数据12,nx xx的方差为0.01，则数据1210,10,10nxxx的方差为0.1其中真命题的序号为_.9（2022四川成都二模（文）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 2f xfx，且当0,1x时，2f xx 则函数 27xg xf x的所有零点之和为_高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司10（2022全国高三专题练习）已知 lg2f xxkx，给出下列四个结论：（1

19、）若0k，则()f x有两个零点；（2）0k，使得()f x有一个零点；（3）0k，使得()f x有三个零点；（4）0k，使得()f x有三个零点以上正确结论的序号是 _四、解答题四、解答题11（2022北京高三学业考试）给定集合(,0)(0,)D ，()f x为定义在 D 上的函数，当0 x 时，24()4xf xx，且对任意xD，都有_从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使()f x存在且唯一确定条件：()()1fxf x；条件：()()1fxf x；条件：()()1fxf x解答下列问题：（1）写出(1)f 和(1)f的值；（2）写出()f x在(0,)上的单调

20、区间；（3）设()()()g xf xm mR，写出()g x的零点个数12（2021河北高三阶段练习）已知函数 233sincossin022f xxxx的最小正周期为.（1）求函数 f x的单调递增区间；（2）若先将函数 f x图像上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将其图像向左平移6个高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司单位长度，得到函数 g x的图像，求方程 lg10g xx 在0,上根的个数.13（2021辽宁高三阶段练习）已知函数21()cos3sincos(0)22f xxxx的最小正周期为（I）求函数()f x的解析式；（II）若先将函数

21、()f x的图象向左平移12个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x的图象，求()|lg|yg xx在(0,)上的零点个数题型四：转化法判断函数零点个数题型四：转化法判断函数零点个数一、单选题一、单选题1（2022安徽巢湖市第一中学高三期中（文）已知函数 1,0ln,0 xxf xxx x，则函数 22g xff x 的零点个数为（）A3B4C5D62（2022全国高三专题练习）已知函数 1,1ln1,1xxf xxx，则函数 2g xff x的零点个数为（）A3B4C2D1高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司3（2021天

22、津市实验中学滨海学校高三期中）已知函数1,0,()ln(),0,xxf xxx x则函数2()()yfxmf xm的零点个数不可能是（）A1B2C3D44（2021辽宁沈阳高三阶段练习）对于任意正实数,m n p，关于x的方程2112xxpmxmxnee的解集不可能是（）A 1B0,2C0,1,2D二、多选题二、多选题5（2022江苏无锡高三期末）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设xR，用 x表示不超过x的最大整数，则()f xx称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f，(3.3)4f .则下列结论正确的是（）A函数()

23、f x是R上的单调递增函数B函数2()()3g xf xx有2个零点C()f x是R上的奇函数D对于任意实数,a b，都有()()()f af bf ab6（2022全国高三专题练习）定义域和值域均为,a a（常数0a）的函数 yf x和 yg x图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（）A方程 0fg x有且仅有三个解B方程 0gf x有且仅有三个解C方程 0ff x有且仅有九个解D方程 0g g x有且仅有一个解高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司三、填空题三、填空题7（2022全国高三专题练习）已知()f x是定义在 R 上的奇函数，当0 x 时，()

24、f x=24xx，则方程()2f xx解的个数为_.8（2021全国模拟预测）已知函数 21,0,ln,0,xxf xx x 若直线ykx与函数 f x的图象交于 A，B 两点，且满足OAOB，其中 O 为坐标原点，则 k 值的个数为_.四、解答题四、解答题9（2021全国高三专题练习）证明：函数 3log 1f xx的图象与 2logg xx的图象有且仅有一个公共点10（2020安徽淮南市第五中学高三阶段练习（理）已知 yf x是定义在R上的偶函数，当0 x 时，22f xxx（1）求(1)f，(2)f 的值；（2）求()f x的解析式并画出函数的简图；（3）讨论方程 fxk的根的情况.题型

25、五：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数题型五：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数一、单选题一、单选题1（2022广东韶关二模）已知直线0lykx k：（）既是函数 21f xx的图象的切线，同时也是函数 ln1pxg xx pRx的图象的切线，则函数 g x零点个数为（）高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司A0B1C0 或 1D1 或 22（2022天津高三专题练习）设函数 lg,0sin,04xx xf xxx有 5 个不同的零点，则正实数的取值范围为（）A13 17,44B13,4C17,4D13 19,443（2022全国高三专题练习（理）已知函数 2e2

26、exxf xaax有两个零点，则a的取值范围为（）A1,0B0,1C1,eD1,e二、多选题二、多选题4（2021江苏泰州中学高三阶段练习）已知函数 f(x)sin(|cosx|)cos(|sinx|)，则以下结论正确的是（）Af(x)的图象关于直线2x对称Bf(x)是最小正周期为 2的偶函数Cf(x)在区间(0,)2上单调递减D方程1()2f xx恰有三个不相等的实数根5（2021湖北恩施高三开学考试）已知函数 12cosf xxxx，则以下说法正确的是（）A()f x是偶函数B()f x在(0,)上单调递增C当0 x 时，()1f x D方程()0f x 有且只有两个实根6（2022全国高

27、三专题练习）函数 2210log0 xxfxx x，则下列说法正确的有（）A函数 fx是R上的单调递增函数B对于任意实数a，不等式21f afa恒成立C若12xx，且 12f xf x，则120 xxD方程 0f xfx有 3 个不相等实数解三、解答题三、解答题7（2022江西南昌二模（文）已知函数 2110,2xfxeaxxxaR.(1)当0a 时，求函数 f x的单调区间；高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司(2)若1a，证明：方程 0fx 有且仅有一个正根.8（2022河北模拟预测）已知函数 12f xx.(1)请研究函数 sing xf xx在2,00,2x 上的

28、零点个数并证明；(2)当0 x 时，证明：11 2exf xf x.9（2022全国高三专题练习）设a为实数，函数2()()|(1)f xxaxaa a.(1)若(0)1f，求a的取值范围；(2)讨论()f x的单调性；(3)当2a 时，讨论()|f xx在R上的零点个数.10（2022全国高三专题练习）已知函数 sinexf xxax.(1)若0a，求函数 f x在,2 2 上的零点个数；(2)当0,x时都有 1fx，求实数a的取值范围.高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司题型六：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围题型六：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范

29、围一、单选题一、单选题1（2022四川成都三模（理）若函数 32log19xxf xxx的零点为0 x，则0091xx（）A13B1C3D22（2022湖南岳阳三模）已知函数2()lg()6af xxxx，若不等式()0f x 有且仅有 2 个整数解，则实数a的取值范围是（）A(lg3,lg2)B(lg3,lg2C(lg2,lg3)Dlg2,lg3)3（2022山西模拟预测（文）已知函数 24,1,ln1,1,xxa xf xxx若函数()2yf x有三个零点，则实数 a的取值范围是（）A(,2)B()3,4C(3,6)D(3,)二、多选题二、多选题4（2021辽宁东北育才学校二模）一般地，若

30、函数 f x的定义域为,a b，值域为,ka kb，则称为的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为,a b，值域也为,a b，则称,a b为 f x的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A若1,b为 222f xxx的跟随区间，则2b B函数 11fxx 存在跟随区间C若函数 1f xmx存在跟随区间，则1(,04m D二次函数 212f xxx 存在“3 倍跟随区间”三、填空题三、填空题5（2022福建南平三模）已知函数 2e9e42x aa xf xxx有零点，则实数a_.6（2022四川石室中学三模（文）若函数 221fxxxaxb的图象关于直线2x 对称，且直线yk与函数 f x的图象有三个

31、不同的公共点，则实数 k 的值为_高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司四、解答题四、解答题7（2021辽宁东北育才学校二模）已知二次函数()yf x满足以下条件：经过原点(0,0);Rx，()(2)f xfx;函数()1yf x只有一个零点(1)求二次函数()yf x的解析式；(2)若函数|e12()e1xxfg x与|()2e142xh xtt的图象有两个公共点，求实数t的取值范围.题型七：利用函数的交点（交点个数）求参数题型七：利用函数的交点（交点个数）求参数一、单选题一、单选题1（2022河南安阳模拟预测（理）已知函数 1,0,ln,0,xaxfxx x（0a 且1

32、a），若函数 yff xa的零点有 5 个，则实数 a 的取值范围为（）A2a Bln21a或12aC0ln2a或12a或2a Dln21a或2a 2（2022山东济宁二模）已知函数,0ln,0 x xfxax x，若函数 g xf xfx有 5 个零点，则实数 a的取值范围是（）Ae,0B1,0eC,e D1,e 3（2022全国模拟预测（理）已知函数1f x的图象关于直线1x 对称，对x R，都有31f xf x恒成立，当0,2x时，212fxx，当0k 时，若函数 f x的图象和直线4yk x有5个交点，则k的取值范围为（）A1 2,3 3B1 1,5 2C1 1,5 3D1 1,3 2

33、二、多选题二、多选题高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司4（2022福建莆田三模）已知函数231,1()41613,1xxf xxxx，函数()()g xf xa，则下列结论正确的是（）A若()g x有 3 个不同的零点，则 a 的取值范围是1,2)B若()g x有 4 个不同的零点，则 a 的取值范围是0,1C若()g x有 4 个不同的零点12341234,x x x xxxxx，则344xxD若()g x有 4 个不同的零点12341234,x x x xxxxx，则34x x的取值范围是13 7,4 25（2022辽宁鞍山二模）已知函数 22log,(02)813

34、,2xxf xxxx，若 f xa有四个不同的实数解1x，2x，3x，4x，且满足1234xxxx，则下列命题正确的是（）A01aB12922 2,2xxC12342110,2xxxxD1222 2,3xx三、填空题三、填空题6（2022贵州毕节三模（文）已知函数 13sincos022fxxx在0,2有且仅有3个零点，则的取值范围为_7（2022福建宁德模拟预测）已知()f x是定义在 R 上的偶函数，当0 x 时，22e24xfxxaa.若()f x的图象与 x 轴恰有三个交点，则实数 a 的值为_.8（2022全国三模（理）已知 f x是定义在 R 上的奇函数，且1f x是偶函数，当01

35、x时，2log1fxx 设 g xf xfx，若关于 x 的方程 20g xmx有 5 个不同的实根，则实数m 的取值范围是_9（2022新疆昌吉二模（文）已知函数 216249,111,19xxxfxfxx，若关于 x 的方程 f xm mR有三个不同的实根，则 m 的取值范围为_四、解答题四、解答题10（2022北京密云高三期中）已知函数2()ln(21)f xxxax.(1)求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；(2)当0a 时，求证：函数()f x存在极小值；高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司(3)请直接写出函数()f x的零点个数.高考一轮复习专项高考一轮复习专项学科网（北京）股份有限公司