广东省广州市八区2023~2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷含答案.pdf

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1、#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#广东省广州市八区20232024学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#20232023 学年第学年第二二学期期末教学质量监测学期期末教学质量监测高二数学高二数学答案答案一一

2、、选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的题号题号1 12 23 34 45 56 67 78 8答案答案C CD DB BC CD DB BC CD D8.解：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处表示三次骰子的点数之和是 8，16列举出在点数中能够使得三次数字和为 8，16 的有：(1,2,5)，(1,3,4)，(1,1,6)，(2,2,4)，(2,3,3)，(4,6,6)，(5,5,6)，共有 7 种组合，前 2 种组合(1,2,5)，(1,3

3、,4)每种情况可以排列出A33=6 种结果，共有 2A33=2 6=12 种结果；后 5 种组合各有 3 种结果，共有 5 3=15 种结果，由分类加法计数原理知，共有 12+15=27 种结果抛 3 次骰子共有 6 6 6=216 种结果，故抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率为271=2168故选 D二二、选择题选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对分，部分选对部分分部分分.题号题号9 9101

4、01111答案答案BCBCABDABDBCDBCD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12.12.6413.16514.240,)e（四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（13 分分）函数2()f xxx，R.（1）若函数()f x的图象在点(1,(1)f处的切线l与直线0 xy垂直，求切线l的方程；#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#（2）若0 x

5、,()1f x，求取值范围.解：(1)设切线l的斜率为lk直线0 xy的斜率为-11 分lk （-1)=-1=1lk2 分又2()2fxxx3 分(1)21lkf14 分21()f xxx点(1,(1)f为(1,2)5 分切线l的方程为：2(1)lyk x即：21yx化简得：+10 xy6 分(2)因为0 x.2()1f xxx由可化为3xx，7 分设3()g xxx则2()1 3g xx 8 分令2()1 30g xx，得33x 9 分令2()1 30g xx，得303x令2()1 30g xx，得33x 33()33g x在(0,上递增，在（，）上递减11 分max32 3()()39g

6、xg12 分#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#2 39所以的取值范围是2 3+)9，13 分16.（15 分分）某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：喜欢足球 不喜欢足球合计男生302050女生102030合计404080（1）依据小概率值=0.05的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？（2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，现抽取 8 人组成志愿服务队再从志愿服务队中抽取 3 人进行宣传报导活动，记抽到 3 人中的男生人数为X，求随机变量X的分布列

7、和期望附：22)()()()()n adbcab cd ac bd（，其中nabcd0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假设为0H：喜欢足球与性别之间无关联.1 分根据列联表，由22()()()()()n adbcab cd ac bd得，220.0580(302020 10)5.333.84140405030 x，5 分根据小概率值0.05的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为喜欢足球与性别之间有关联.6 分(2)在分层抽样中，喜欢足球的男生有 6 人，女生有 2 人，7 分则X的可能取值为 1,2,38 分#QQAB

8、TYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#且1262383(1)28C CP XC，21623815(2)28C CP XC，3062385(3)14C CP XC，11 分则X的分布列为X123p328152851412 分则315563()12328281428E X 15 分17.（15 分分）数列 na的首项15=2a，+134=1nnnaaa.（1）求证：12na 是等差数列，并求数列 na的通项；（2）9210nnnnba若（），当数列nb取得最大值时，求正整数n的值；求数列 nb的前n项和nS.解：（1）13422211nn

9、nnnaaaaa1 分111122nnaa，2 分111122nnaa3 分又111=25222a#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#12na 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列4 分121)112nnna（123211nnann5 分（2）nnnnnnaab）（）（）（109211029nn）（）（1091 6 分当 n=1 时1002435921bb，1b不是最大项 7 分设第 n 项（n=2）最大，则11109210911091091nnnnnnnn）（）（）（）（）（）（）（8 分129109101nnnn98

10、 n所以数列nb第 8、9 项取得最大。9 分nnnS）（）（）（1091109310922式式两边同时乘以109得13210911093)109(2109nnnS）（）（）（式10 分式-式得1321091109109)109(1092101nnnnS）（）（）（）（11 分1321091109109)109(109109101nnnnS）（）（）（）（12 分#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#110911091)109(1 109109101nnnnS）（）（13 分11091)109(1 9109101nnnnS）

11、（）（14 分nnnnnnnnnS109)1(10999109110)109(1 9091111）（）（15 分18.（17 分分）3名同学去听同时举行的A，B，C课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）(1)记选择B课外知识讲座的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望；(2)对于两个不相互独立的事件MN，若()0()0P MP N，称()()(),)()()()()P MNP M P NM NP M P M P N P N（为事件MN，的相关系数已知,)0M N（，证明(|)()P M NP M；记事件E:B课外知识讲座有同学选择，事件F:至少有两个课外

12、知识讲座有同学选择，判断事件EF，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求,)E F（解：(1)由题意可知，的可能的取值为 0，1，2，3，1 分且 3,13，3 分故()=3 13=1；4 分(2)证明：因为()()(),)()()()()P MNP M P NM NP M P M P N P N（，且,)0M N（，所以 0，5 分即()()()，6 分而|=()()，7 分所以|成立8 分事件EF，不相互独立9 分#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#事件E:B课外知识讲座有同学选择，则事件 ：B课外知识讲座没有同学选

13、择由(1)可知(E)=30130233=827，10 分所以()=1 ()=1927，11 分事件F:至少有两个课外知识讲座有同学选择，则事件 ：有一个课外知识讲座有同学选择，()=3133=19，12 分所以()=1 ()=8913 分事件：至少有两个课外知识讲座有同学选择且B课外知识讲座有同学选择，分为两种情况，一种是三个课外知识讲座都有同学选择；另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且B课外知识讲座有同学选择，此时A或者C是没有同学选择，故按照 1、3 或者 2、2 分组即可，14 分故()=3333+2131222233=23，15 分所以,=2319278919278278919，16

14、 分化简得,=5197617 分19.（17 分分）已知函数axeaexfxx2)1(2)(2.（1）讨论()f x的单调性；（2）当0a 时，求证：23)12(ln)(2aaxf.解：)1)(2)(xxeaexf1 分当0a时，0)(xf,()f x在 R 上单调递增.2 分当0a时，令0)(xf得axln3 分当0)(xf得axln4 分当0)(xf得axln5 分所以当0a时()f x在),lna（上单调递增；在)lna，（上单调递增。6 分（2）证法一：由（1）知，当0a时，函数()f x在axln处取得最小值，aaaaaaeaeafaaln22ln2)1(2)(ln2lnln27 分

15、#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#要证23)12(-ln)(2aaxf，即证021lnln2232aaaaa设21lnln223)(2aaaaaag8 分aaaag14ln26)(065)61(6126)(222aaaaag9 分aaaag14ln26)(在），（0上单调递增10 分0254ln3)2(eeeg，12e11 分034ln)21(g设)2,21(0ea，满足0)(0ag，则014ln26000aaa，解得0002123lnaaa12 分当),21(0aa,0)(ag当)2(0eaa，,0)(ag)()(0m

16、inagag21lnln223000020aaaaa13 分把0002123lnaaa代入得)22125213)(000200eaaaaag（14 分设)22125213)(000200eaaaaah（02116)(2000aaah#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#)22125213)(000200eaaaaah（在)221e，（上单调递减，0125243)2(eeeeh15 分)2,21(0)(00eaah对恒成立，即)()()(00minahagag0 成立。16 分所以恒成立对0025213)(2aaaaag所以2

17、3)12(-ln)(2aaxf对0a恒成立。17 分（2）证法二：由（1）知，当0a时，函数()f x在axln处取得最小值，aaaaaaeaeafaaln22ln2)1(2)(ln2lnln27 分要证23)12(-ln)(2aaxf，即证021lnln2232aaaaa现证1ln aa设aaagln1)(8 分aag11)(9 分当令0)(ag得1a当0)(ag得1a当0)(ag得1aaaagln1)(在1a处取得最小值0)1()(min gag11 分即0ln1)(aaag1ln aa12 分)1)(12(ln)12(aaaa13 分#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICE

18、AQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#)1)(12(2321lnln22322aaaaaaaaa14 分只需证0)1)(12(232aaaa15 分即012aa043)21(122aaa显然成立。16 分所以23)12(-ln)(2aaxf对0a恒成立。17 分注：本题难点是证明21lnln223)(2aaaaaag恒大于 0，关键找到aaaag14ln26)(的零点所在区间，学生容易得到034ln)21(g，0)1(g，找到区间)1,21(，但会在后面遇到困难，)()(0minagag21lnln223000020aaaaa把0002123lnaaa代入得)12125213)

19、(000200aaaaag（设)12125213)(000200aaaaah（02116)(2000aaah)22125213)(000200eaaaaah（在)121，（上单调递减，01)1(h,无法证#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#明原命题结论。然而原来0)1(g,为什么这样？原因是经0002123lnaaa代换后改变了计算方式。因此要证明此命题，必须把aaaag14ln26)(的零点压缩到一个比较窄小的区间，在)1,21(范围内缩小，而且利于计算，应跟 e 有关，于是找到2e，事实上用92e也可以，不过计算量也挺大。此题考查了学生函数与导数综合能力，还考查学生数值逼近以及估算能力，要求比较高，难度较大。#QQABTYAAggAAAoBAAAhCUQEICEAQkBGAAQgORFAIsAAAABFABAA=#