考点25 平面向量的概念、线性运算及坐标表示7种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)含解析.docx

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1、考点25 平面向量的概念、线性运算及坐标表示7种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点25 平面向量的概念、线性运算及坐标表示7种常见考法归类考点一 平面向量的有关概念考点二 平面向量的线性运算考点三 由平面向量的运算判断四边形的形状考点四 共线向量定理的应用（一）向量共线问题（二）三点共线问题（三）向量共线性质的应用考点五 平面向量基本定理及应用（一）对基向量概念的理解（二）用基底表示向量（三）利用平面向量基本定理求参数考点六 平面向量的坐标运算考点七 共线向量的坐标表示及应用（一）由坐标判断向量是否共线（二）利用向量共线求参数（三）利用

2、向量共线解决三点共线问题（四）利用向量共线求向量或点的坐标（五）共线向量坐标表示的应用1. 向量的有关概念名称定义说明向量在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量平面向量是自由向量有向线段具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，表示有向线段包含三个要素：起点、方向、长度向量的模向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|向量的模是数量零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0其方向是任意的单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量a是非零向量，则是单位向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量规定：零向量与任意向量

3、平行相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小相反向量与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a0的相反向量仍是02. 有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混淆(4)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点(5)零向量和单位向量是两个特殊的向量它们的模确定，但方向不确定(6)ab，有a与b方向相同或相反两种情形；(7)向量的模与数的绝

4、对值有所不同，如|a|b|ab；(8)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(9)对于任意非零向量a，是与a同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(10)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(11)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，而向量的共线与向量的平行是一致的. 3. 向量的线性运算运算定义法则(或几何意义)运算律(性质)加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：abba，并规定：a00aa；结合律：a(bc)(ab)c；|a

5、b|a|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立减法求与的相反向量的和的运叫做与的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算a是一个向量，其长度：|a|a|；其方向：0时，与a方向相同；0时，与a方向相反；0时，a0设，R，则(a)(a)；()aaa；(ab)ab【注意】（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向

6、量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件（4）加法运算的推广：An1An. （5）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，（6）向量三角不等式：|a|b|ab|a|b|. 两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“0时，与a方向相同；0时，与a方向相反；0时，a0设，R，则(a)(a)；()aaa；(ab)ab【注意】（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系（3）要注意三

7、角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件（4）加法运算的推广：An1An. （5）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，（6）向量三角不等式：|a|b|ab|a|b|. 两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“”成立；两向量共线时，可得出“”成立(分同向、反向两种不同情形). （7），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立（8）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线

8、时，向量不等式的等号成立4. 平面向量的线性运算解题策略（1）进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决. 一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则（2）找出图形中的相等向量、共线向量，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果 5. 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(

9、1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值6. 向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba. （口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）注：abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据，注意待定系数法和方程思想的应用；若a与b不共线且ab，则0. 对于两个向量共线定理(a(a0)与b共线存在唯一实数使得ba)中条件“a0”的理解：当a0时，a与任一向量b都是共线的；当a0且b0时，ba是不成立的，但a与

10、b共线. 因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a0. 换句话说，如果不加条件“a0”，“a与b共线”是“存在唯一实数使得ba”的必要不充分条件. 7.三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握注：A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得；存在唯一的实数，使得；存在，使得注：、三点共线，这是直线的向量式方程8.平面向量共线定理的三个应用9.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用

11、(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线10.线段定比分点的向量表达式如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握11. 线性运算重要结论(1)中线向量定理:若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则(). (2)若G为ABC的重心，则0. (3)若(，为实数)，则点A，B，C共线的充要条件是1. (4)如图，ABC中，BDm，CDn，则，特别地，D为BC的中点时(mn)，. 12. 平面向量基本定理如果e1

12、，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2. 我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 13. 平面向量基本定理的推论(1)设a1e12e2，b3e14e2(1，2，3，4R)，且e1，e2不共线，若ab，则13且24. (2)若a与b不共线，且ab0，则0. (3)平面向量基本定理的推论已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得(1t)t. 特别地，当t时，点P是线段AB的中点. 对于平面内任意一点O，P，A，B三点共线存在唯一的一对实数，

13、使得，且1. 14. 平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决(3)特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的15. 平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)线性运算的坐标表示文字叙述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和. 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2). 减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差. 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2). 两点构成的向量坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1). 数乘实数与向量的积的坐标等于用