考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)含解析.docx

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1、考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类考点一 利用等比数列的定义求通项考点二 等比数列中an与Sn的关系考点三 等比数列基本量的运算考点四 等比数列的证明考点五 等比数列的性质及其应用（一）等比中项的应用（二）利用等比数列的性质计算考点六 等比数列前n项和性质的应用（一）等比数列的片段和性质的应用（二）等比数列奇偶项和的性质考点七 等比数列的单调性与最值问题考点八 等比数列的实际应用考点九 等差数列、等比数列的综合问题考点十 等比数列与其他知识的交汇1. 等比数

2、列的概念(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q0)，即q(nN*)，或q(nN*，n2). 注：(1)定义的符号表示：q(nN*且n2)或q(nN*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.(2) 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2ab. 注：两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它

3、们的等比中项有两个()，而不是一个()，这是容易忽视的地方.2. 等比中项与等差中项的异同对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项定义式AabA公式AG个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab0时，a与b才有等比中项3. 等比数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：ana1qn1. 该式又可以写成anqn，这表明q1时，an是常数与指数函数(关于n)的乘积. (2) 等比数列的通项公式与指数型函数的关系当q0且q1时，等比数列an的第n项an是指数

4、型函数f(x)qx(xR)当xn时的函数值，即anf(n)任意指数型函数f(x)kax(k，a是常数，k0，a0且a1)，则f(1)ka，f(2)ka2，f(n)kan，构成一个等比数列kan，其首项为ka，公比为a.注意点：(1)a10，q1时，数列an为正项的递增等比数列；(2)a10,0q1时，数列an为正项的递减等比数列；(3)a11时，数列an为负项的递减等比数列；(4)a10,0q1时，数列an为负项的递增等比数列；(5)q1时，数列an为常数列；(6)q1时，用公式Sn(qn1)代入计算，当q0)的正项等比数列时，数列lgan是等差数列，首项为lga1，公差为lgq. 公比不为1

5、的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，成等比数列，且公比为(2)与和有关的性质等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，仍为等比数列，且公比为qk(q1，或q1且k为奇数). 注：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn0.an为等比数列，若a1a2anTn，则Tn，成等比数列若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1).S奇a1qS偶在等比数列中，当qm1时，n，mN*. 在等比数列中，SnmSnqnSm(n，mN*)qn(q为公

6、比)8. 其他衍生等比数列若已知等比数列，公比为，前项和为，则：等间距抽取为等比数列，公比为等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）9. 等比数列项的性质应用（1）等比数列的性质多与其下标有关，故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系（2）应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式（3）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(4)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用10. 处理等比数列前n项和有关问题的常

7、用方法(1)充分利用SmnSmqmSn和Sn，S2nSn，S3nS2n(n为偶数且q1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元11. 处理等比数列奇偶项和有关问题的常用方法等比数列an共有2n项，要抓住q和S偶S奇S2n这一隐含特点；若等比数列an共有2n1项，要抓住S奇a1qS偶和S偶S奇S2n1这一隐含特点要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元12. 判断等比数列的单调性的方法(1)当a10，q1或a10，0q0，

8、0q1时，等比数列an是递减数列；(3)当q1时，它是一个常数列；(4)当q1BCD是数列中的最大项55（2023全国高三专题练习）已知为等比数列的前n项和，（c为实数）若，则当取最小值时，n_56（2023北京海淀校考三模）已知等比数列，对任意，是数列的前项和，若存在一个常数，使得，；下列结论中正确的是（）A是递减数列B是递增数列CD一定存在，当时，考点八 等比数列的实际应用57（2023广东广州统考模拟预测）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，连

9、续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（）ABCD58（2023广东广州统考模拟预测）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列，且满足递推公式：为数列的前项和，则_（答案精确到1）.59（2023陕西西安统考一模）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段

10、；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为_.（参考数据：）60（2023春上海杨浦高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量(1)求的表达式；(2)如果，为保护生态环境，大约经过多少年后，木材存储量能翻一番？（）61（2023全国高三专题练习）数学的发展推动着科技的进步，正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用，华为的5G技术领先世界目前某区域市场中5G智能终端产品

11、的制造由A公司及B公司提供技术支持据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品分别占比及，假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现每次技术更新后，上一周期采用B公司技术的产品中有20%转而采用A公司技术，采用A公司技术的仅有5%转而采用B公司技术，设第n次技术更新后，该区域市场中采用A公司与B公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响(1)用表示，并求实数，使是等比数列；(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用A公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新；若不能，说明理由？（参考数据：）考点九 等差

12、数列、等比数列的综合问题62（2023北京人大附中校考三模）已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则_63（2023宁夏石嘴山石嘴山市第三中学校考模拟预测）在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（）A28B20C18D1264（2023重庆校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，则（）ABCD65（2023重庆重庆南开中学校考模拟预测）是公差不为零的等差数列，前项和为，若，成等比数列，则_.66（2023全国高三专题练习）已知等差数列的公差为，且，且、成等比数列，若，为数列的前项和则的最小值为（）ABCD67（2023河北校联考一模）已知是公差不为0的等差数列的前n项和，是，

13、的等比中项，.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和.68（2023全国高三对口高考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，其公比，且，若，则（）ABCD或考点十 等比数列与其他知识的交汇69（2023海南统考模拟预测）在等比数列中，函数，则_70（2023辽宁丹东统考二模）等比数列an前6项中的两项分别为1，2，记事件A：a30且q1时，等比数列an的第n项an是指数型函数f(x)qx(xR)当xn时的函数值，即anf(n)任意指数型函数f(x)kax(k，a是常数，k0，a0且a1)，则f(1)ka，f(2)ka2，f(n)kan，构成一个等比数列kan，其首项为ka，公比为a

14、.注意点：(1)a10，q1时，数列an为正项的递增等比数列；(2)a10,0q1时，数列an为正项的递减等比数列；(3)a11时，数列an为负项的递减等比数列；(4)a10,0q1时，数列an为负项的递增等比数列；(5)q1时，数列an为常数列；(6)q1时，用公式Sn(qn1)代入计算，当q0)的正项等比数列时，数列lgan是等差数列，首项为lga1，公差为lgq. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，成等比数列，且公比为(2)与和有关的性质等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，仍为等比数列，且公比为qk(q1，或q1且k为奇

15、数). 注：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn0.an为等比数列，若a1a2anTn，则Tn，成等比数列若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1).S奇a1qS偶在等比数列中，当qm1时，n，mN*. 在等比数列中，SnmSnqnSm(n，mN*)qn(q为公比)8. 其他衍生等比数列若已知等比数列，公比为，前项和为，则：等间距抽取为等比数列，公比为等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）9. 等比数列项的性质应用（1）等比数列的性质多与其下标有关，故应用等比数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系（2）应用等比数列的性质要注意结合其通项公式、前项和公式（3）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(4)在应用相应性质解题时，要注意性质成立