2025苏教版高一数学第1章 1.1 第1课时　集合的概念.doc

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1、2025苏教版高一数学1.1集合的概念与表示第1课时集合的概念1通过实例了解集合的含义(难点)2掌握集合中元素的三个特性(重点)3体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用(重点、易混点)1通过集合概念的学习，培养数学抽象素养2借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的(如图所示)，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类知识点1元素与集合的概念(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对

2、象的全体组成一个集合集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性假如在军训时教官喊“全体高个子同学集合”，你会去集合吗？提示不去，不清楚自己是不是高个子集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性反过来一组对象若不具备这三个特性中任何一个，则这组对象不能构成集合集合中元素的三个特性是判断一组对象能否构成集合的重要依据1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)接近于1的数可以组成集合()(2)一个集合中可以找到两个相同的元素()(3)组成集合的元素一定是数()答案(1)(2)(3)知识点2元素与集合1元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉

3、丁字母a，b，c，表示集合中的元素(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合2元素与集合的关系(1)属于(符号：)，a是集合A中的元素，记作aA，读作“a属于A”(2)不属于(符号：或)，a不是集合A中的元素，记作aA或aA，读作“a不属于A”2已知集合A中有两个元素2和a1且3A，则实数a_4由题意知a13，即a4知识点3常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR3用“”或“”填空3.5_N；4_Z；0.5_R；_N*；_Q因为3.5不是自然数，故3.5N；因为4是整数，故4Z；因为0.5是实数，故0.5R；因为不是正整数，故N*；因为是有理

4、数，故Q 类型1集合的概念【例1】(1)考察下列每组对象，能构成集合的是()中国各地的美丽乡村；直角坐标系中横、纵坐标相等的点；不小于3的自然数；截至2022年1月1日，参加一带一路的国家A BC D(2)下列说法中，正确的有_(填序号)单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是ABC的三边长，则ABC不可能是等腰三角形；将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合(1)B(2)(1)中“美丽”标准不明确，不符合确定性，中的元素标准明确，均可构成集合，故选B(2)不正确book的字母o有重复，共有3个不同

5、字母，元素个数是3正确集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形不正确小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关判断一组对象为集合的依据(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合.(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数.(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关.1判断下列每组对象能否构成一个集合(1)不超过20的非负数；(2)方程x290在实数范围内的解；(3)某校2021年在校的所有高个子同

6、学；(4)的近似值的全体解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合(2)能构成集合(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数(如“2”)是不是它的近似值，所以不能构成集合 类型2元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是()R；R；Q；0N*；|2|ZA2 B3 C4 D5(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，当aA，有6aA则a的值为_(1)C(2)2或4(1)是无理数，R，故正确是无理数，R，正确是无理数，Q，正确0是自然数是非负整数，0N，

7、故错误|2|2Z，正确故选C(2)集合A含有三个元素2,4,6且当aA，有6aAa2A,6a4A，所以a2或者a4A,6a2A，所以a4综上所述，a2或4判断元素与集合关系的方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.2集合A中的元素x满足N，xN，则集合A中的元素个数为_3N，3x1或3x2或3x3或3x6，即x2或1或0或3又xN，故x0或1或2，即集合A中的元素个数为3 类型3集合中元素的特性及应用【例3】已知集

8、合A中含有两个元素1和a2，若aA，求实数a的值若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？若1A，则元素1与集合A中元素a，b存在怎样的关系？提示ab，a1或b1解由题意可知，a1或a2a(1)若a1，则a21，这与a21相矛盾，故a1(2)若a2a，则a0或a1(舍去)又当a0时，A中含有元素1和0满足集合中元素的互异性，符合题意综上可知，实数a的值为0母题探究1(变条件)本例若去掉条件“aA”，其他条件不变，求实数a的取值范围解由集合中元素的互异性可知a21，即a12(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1A，求a的值解若1A，则a1或a21，即a1当a1时，集合A有重复元

9、素，所以a1当a1时，集合A含有两个元素1，1，符合集合中元素的互异性所以a1由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤3已知集合A含有两个元素a3和2a1，若3A，试求实数a的值解因为3A，所以3a3或32a1若3a3，则a0，此时集合A含有两个元素3和1符合要求若32a1，则a1，此时集合A含有两个元素4，3符合要求综上所述，a的值为0或11下列给出的对象中，能组成集合的是()A一切很大的数B好心人C漂亮的小女孩D方程x210的实数根答案D2下列结论不正确的是()A0NBQC0Q D8ZC0是有理数，故0Q，所以C错误3若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形

10、可能是()A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形A由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等4若集合A中的元素是由方程x22x30的解构成的，若集合A中的元素是a，b，则ab_2因为方程x22x30的解为3和1，所以ab25已知集合A中有0，m，m23m2三个元素，且2A，求m的值解由2A可知，若m2，则m23m20这与m23m20相矛盾若m23m22，则m0或m3，当m0时与m0相矛盾当m3时，集合中含有3个元素0,2,3故m的值为3回顾本节知识，自我完成以下问题1元素与集合是怎样定义的？它们之间的关系是什么？提示一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个

11、集合集合中的每一个对象称为该集合的元素元素与集合之间为属于(或不属于)关系2利用集合中元素的特性解题时应注意什么？提示不要忽视集合中元素的互异性第2课时集合的表示1掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)(重点、难点)2通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用3了解集合相等的概念，并能用于解决问题(重点)1通过学习描述法表示集合的方法，培养数学抽象的素养2借助描述法转化为列举时的运算，培养数学运算的素养集合是数学中最基本的语言，在今后的数学中，我们都要用到它，要研究集合要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合，为此我们来学习

12、集合的表示方法当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？当集合中的元素具有一定的规律性，又该如何直观地表示集合？当集合中的元素具有一定的规律性，又该如何表示这类集合？知识点1集合的表示方法表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“”内a1，a2，an，描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来x|p(x)Venn图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合(1)中国的五岳组成的集合适合用什么方法表示？如何表示？(2)不等式x21的解集中的元素有什么共同特征？提示(1)列举法，表示为泰山，华山，衡山，恒山，嵩山(2)元素的共同特征为xR，且x5，xN是用

13、描述法表示的一个集合()答案(1)(2)(3)知识点2集合的分类(1)集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作(2)集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等2(1)集合1,2,3与3,2,1_相等集合(填“是”或“不是”)(2)若集合1，a与集合2，b相等，则ab_(1)是(2)3(1)集合1,2,3与3,2,1元素完全相同，故两集合是相等集合(2)由于1，a2，b，故a2，b1，ab3 类型1用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的

14、集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程x2x20的实根组成的集合C解(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10所以A0,2,4,6,8,10(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B2,3,5,7(3)方程x2x20的实根为2，1，所以C2，1用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来.提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“,”隔开.如(2,3)，(5,1).1用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方

15、程x290的实数根组成的集合B；(3)一次函数yx2与y2x5的图象的交点组成的集合D解(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5，所以A2,3,4,5(2)方程x290的实数根为3,3，所以B3,3(3)由得所以一次函数yx2与y2x5的交点为(1,3)，所以D(1,3) 类型2用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合解(1)偶数可用式子x2n，nZ表示，但此题要求为正偶数，故限定nN*，所以正偶数集可表示为x|x2n，nN*(2)设被3除余2的数为x，则x3n2，nZ，但元素为正整数，故n

16、N，所以被3除余2的正整数集合可表示为x|x3n2，nN(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为(x，y)|xy0利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合x|x1，xR不能写成x1.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，x|x2k，kZ，这种表达方式就不符合要求，需将kZ也写进花括号内，即x|x2k，kZ.(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下，集合中元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x22x10的实数解集可表示为x|x22x10，xR，也可写成x|x22x

17、10.2用描述法表示下列集合：(1)函数y2x2x图象上的所有点组成的集合；(2)不等式2x35的解组成的集合；(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合解(1)函数y2x2x的图象上的所有点组成的集合可表示为(x，y)|y2x2x(2)不等式2x35的解组成的集合可表示为x|2x35，即x|x0，即k1，且k0所以实数k组成的集合为k|k0，解得a8，且x4B满足x8且x8，且x5的解集为_x|x1由不等式3x25得x1，用描述法可表示为x|x14已知M2，a，b，N2a,2，b2，且MN，则ab_1或MN，则有或解得或ab1或5已知集合Ax|yx23，

18、By|yx23，C(x，y)|yx23，它们三个集合相等吗？试说明理由解三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样集合A表示yx23中x的范围，xR，AR，集合B表示yx23中y的范围，By|y3，集合C表示yx23上的点组成的集合回顾本节知识，自我完成以下问题1集合常用的表示方法有哪些？各有什么特点？提示列举法、描述法列举法通常适用于元素个数较少或元素有规律的集合描述法通常适用于元素个数较多或无规律的集合2对集合的表示有什么要求？提示要根据集合元素的特点，选择适当的方法表示集合一般要符合最简原则3通过本节课培养了哪些核心素养和思想方法？提示培养数学运算素养和逻辑推理素养思

19、想方法有等价转化和分类讨论的思想1.2子集、全集、补集第1课时子集、真子集1理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否有包含关系(重点)2能通过分析元素的特点判断集合间的关系(难点)3能根据集合间的关系确定一些参数的取值(难点、易错点)1通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养2借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？知识点1子集的概念及其性质(1)子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若aA，则aB

20、)，那么集合A称为集合B的子集符号表示AB(或BA)读法集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)图示(2)子集的性质AA，即任何一个集合是它本身的子集A，即空集是任何集合的子集若AB，BC，则AC，即子集具备传递性(3)集合相等若AB且BA，则AB1(1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？(2)符号“”与“”有何不同？提示(1)不一定，如集合A1,2与B3,4这两个集合之间没有包含关系(2)符号“”表示元素与集合间的关系；而“”表示集合与集合之间的关系不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)空集中只

21、有元素0，而无其余元素()(2)任何一个集合都有子集()(3)若AB，则AB且BA()(4)若aA，则aA()答案(1)(2)(3)(4)知识点2真子集的概念与性质(1)真子集的概念如果AB，并且AB，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”(2)性质是任一非空集合的真子集若AB，BC，则AC20与相等吗？提示不相等0表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而表示空集，其不含有任何元素，故02集合Ax|0x2，xN的真子集的个数为_3集合A0,1，其真子集分别为，0，1，共3个 类型1确定集合的子集、真子集【例1】设Ax|(x216)(x25x4)0

22、，写出集合A的子集与真子集解由(x216)(x25x4)0，得(x4)(x1)(x4)20，解方程得x4，或x1或x4，故集合A4，1,4由0个元素构成的子集为：；由1个元素构成的子集为：4，1，4；由2个元素构成的子集为：4，1，4,4，1,4；由3个元素构成的子集为：4，1,4；故集合A的子集为：，4，1，4，4，1，4,4，1,4，4，1,4共8个子集真子集为：，4，1，4，4，1，4,4，1,4共7个确定子集、真子集的关键点和规律1有限集的子集的确定问题，求解关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；

23、(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身2与子集、真子集个数有关的三个结论假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数为2n个；(2)A的真子集的个数为2n1个；(3)A的非空真子集的个数为2n2个1已知集合M满足1,2M1,2,3,4,5，写出集合M所有的可能情况解由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：1,2,3，1,2,4，1,2,5；含有4个元素：1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5；含有5个元素：1,2,3,4,5故满足条件的集合M为1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4，

24、1,2,3,5，1,2,4,5，1,2,3,4,5 类型2集合关系的判断【例2】指出下列各对集合之间的关系：(1)A1,1，Bx|x21，xN；(2)A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；(3)Px|x3n1，nZ，Qx|x3n2，nZ；(4)Ax|x是等边三角形，Bx|x是三角形；(5)Ax|1x4，Bx|x50解(1)用列举法表示集合B1，故BA(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系(3)P表示3的整数倍少1的数构成的数集，Q表示3的整数倍多2的数构成的数集，PQ(4)等边三角形是三边相等的三角形，故AB(5)集合Bx|x2m1时

25、B.解(1)当B时，由m12m1，得m2(2)当B时，如图所示或解这两个不等式组，得2m3综上可得，m的取值范围是m|m3母题探究1(变条件)若本例条件“Ax|2x5”改为“Ax|2x2m1，得m2(2)当B时，如图所示，解得即2m3，综上可得，m的取值范围是m|m32(变条件)若本例条件“BA”改为“AB”，其他条件不变，求m的取值范围解当AB时，如图所示，此时B即m不存在即不存在实数m使AB1对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答2两个易错点(1)当BA时，应分B和B两种情况讨论；(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立3已知

26、集合Ax|3x4，Bx|2m1xm1且BA求实数m的取值范围解BA，可以分B或B讨论(1)当B时，m12m1，解得m2(2)当B时，有解得1m2综上可得m11对于集合A，B，“AB”不成立的含义是()AB是A的子集BA中的元素都不是B的元素CA中至少有一个元素不属于BDB中至少有一个元素不属于AC“AB”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，不成立的含义是集合A中至少有一个元素不属于集合B，故选C2设集合M1,2,3，N1，则下列关系正确的是()ANMBNMCNM DNMD11,2,3，1M，又2N，NM3集合Ax|x(x2)0，则集合A的子集的个数为_4由x(x2)0得x0，或x2，所以A0,2A的子集有，0，2，0,24设x，yR，A(x，y)|yx，B，则A，B的关系是_BAB(x，y)|yx，且x0，故BA5已知集合Ax|x1，Bx|xa若BA，则实数a的取值范围为_a1结合数轴(图略)知a1回顾本节知识，自我完成以下问题1两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？提示AB或AB从集合中元素入手，根据集合间关系的定义得出结论2本节课中有哪些易错地方？提示(1)忽略对集合是否为空集的讨论(2)忽视是否能够取到端点值3本节课主要学习了哪些数学思想方法提示分类讨论、数形结合