考点22 三角函数的图象和性质9种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)含解析.docx

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1、考点22 三角函数的图象和性质9种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点22 三角函数的图象和性质9种常见考法归类考点一 三角函数的定义域考点二 三角函数的值域(最值）（一）yAsin(x)型函数值域（二）二次函数模型（三）分式型（四）根据三角函数的值域（最值）求参数考点三 三角函数的图象考点四 三角函数的周期性考点五 三角函数的单调性（一）求三角函数的单调区间（二）比较三角函数值的大小（三）根据三角函数的单调性求参数考点六 三角函数的奇偶性（一） 判断三角函数的奇偶性（二）根据奇偶性判断三角函数图象（三）根据奇偶性求函数值（四）根据奇偶性

2、求参数考点七 三角函数的对称性考点八 三角函数的零点考点九 三角函数性质的综合应用1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解注：解三角不等式时要注意周期，且kZ不可以忽略（1）分式：分母不能为零；（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）（3）零次幂：中底数；（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；（5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为 若，

3、则2.求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域(2)形如yasinxbcosxk的三角函数,可设,逆用和角公式得到yAsin(x)k,化为一次函数型,再求值域(最值)；对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；例如（特别的可先用和差角公式展开化为yasin xbcosxk的形式;即逆用倍角公式化为yasin xbcosxk的形式;进一步都可以转化为yAsin(x)k的形式，然后结合一次函数求最值。总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)(3)形如yasin

4、2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制；对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。=(4)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。(5)形如分式型：等三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。基本类型一:、型方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法 基本类型二：型转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求

5、其最值；3. “五点法”作图(1)在确定正弦函数ysinx在0，2上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，(，0)，(2，0). (2)在确定余弦函数ycosx在，上的图象形状时，起关键作用的五个点是(，1)，(0，1)，(，1). 4. 周期函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有xTD，且f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数. 非零常数T叫做这个函数的周期. 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 5. 三角函数的图象和性质函数性质ysinxycosxytanx定义

6、域RRx|xk，kZ图象(一个周期)值域1，11，1R最值(kZ)当x2k时，ymax1；当x2k时，ymin1当x2k时，ymax1；当x2k时，ymin1无函数性质ysinxycosxytanx对称性(kZ)对称轴：xk；对称中心：(k，0)对称轴：xk；对称中心：无对称轴；对称中心：最小正周期22单调性(kZ)单调递增区间2k，2k；单调递减区间2k，2k单调递增区间2k，2k；单调递减区间2k，2k单调递增区间(k，k)奇偶性奇函数偶函数奇函数6. 关于周期性的常用结论(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一. 例如，2，4，6，以及2，4，6，都是正弦函数

7、的周期. 同时，不是每一个周期函数都有最小正周期，如f(x)2(xR). (2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(nZ且n0)也是f(x)的周期. (3)周期函数的定义域是无限集. (4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质. 因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究它在一个周期内的性质. (5)最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数，是对x而言，而不是对x而言7. 求三角函数的周期，一般有三种方法（1） 定义法：直接利用周期函数的定义求周期使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2） 公式法，即将函数化为或的形式，

8、再利用求得，ytan(x)的最小正周期为，对于形如yasinxbcosx的函数，一般先将其化为ysin(x)的形式再求周期；（3） 图象法：利用三角函数图象的特征求周期如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为. 函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它

9、不定. 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变.8. 与三角函数的奇偶性有关的问题（1）对于函数（A0,0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数（2）对于函数（A0,0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数9. 与三角函数的单调性有关的问题（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得（2）当0时，先利用诱导公式将变形为，将变形为，再求函数的单调区间（3）当A0，0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令xZ，将函数转化为yAsinZ的形式求最值13.正切函数单调性的三个关注点(1)正切函数在定义域上不具有单调性(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单

10、调递增区间，在(，)，(，)，上都是增函数(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(，)(，)上是增函数14. 三角函数对称轴和对称中心的求解方法(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点(2)公式法：函数yAsin(x)的对称轴为x，对称中心为；函数yAcos(x)的对称轴为x，对称中心为；函数yAtan(x)的对称中心为.上述kZ.15.三角函数性质的综合探究函数yAsin(x)或yAtan(x)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令tx)

11、，将x看作一个整体，结合ysin x，xR(ytan x)的性质求解对于yasin xbcos x型的函数，首先用辅助角公式将其转化为yAsin(x)的形式；若弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为yAsin(x)的形式 考点一 三角函数的定义域1（2023全国高三专题练习）函数的定义域为_2（2023全国高三专题练习）函数的定义域为_3（2023全国高三专题练习）函数的定义域是_.4（2023全国高三专题练习）函数的定义域是_5（2023全国高三专题练习）函数的定义域是（）ABCD6（2023全国高三专题练习）函数的定义域是_.考点二 三角函数的值域(最值）（一）yAsin（x）型函数值

12、域7（2023上海高三专题练习）已知函数，则函数的值域为_8（2023全国高三专题练习）函数的最大值为_，最小值为_.9（2023甘肃酒泉统考三模）若函数的最小值为，则_10（2023全国高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，则的取值范围是（）ABCD11（2023江西校联考模拟预测）已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）ABCD12（2023河北统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，当点在劣弧上运动时，的最小值为_13（2023四川自贡统考一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（）AB

13、CD（二）二次函数模型14（2023全国高三专题练习）函数的最小值为_15（2023全国高三专题练习）函数的最小值是（）ABCD16（2023陕西咸阳陕西咸阳中学校考模拟预测）函数的值域是_.17（2023江西鹰潭贵溪市实验中学校考模拟预测）函数的值域为_18（2023全国高三专题练习）若方程在内有解，则a的取值范围是_19（2023全国高三专题练习）函数的最大值为（）AB3CD420（2023全国高三专题练习）函数的值域为_（三）分式型21（2023全国高三专题练习）求函数的最大值及最小值22（2023四川达州统考二模）若，则实数m的取值范围是_.（四）根据三角函数的值域（最值）求参数23（

14、2023全国高三专题练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（）ABCD24（2023四川泸州统考模拟预测）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_.25【多选】（2023全国高三专题练习）若函数在区间的最大值为2，则的可能取值为（）A0BCD26（2023全国高三专题练习）若函数在区间上的最大值是，则（）A2B1C0D27（2023上海高三专题练习）若函数（常数）在区间没有最值，则的取值范围是_.28（2023上海高三专题练习）已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为_29（2023全国高三专题练习）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（）ABCD考点三 三角函

15、数的图象30（2023全国高三专题练习）已知函数.(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出在区间上的图象；(2)解不等式.31（2023辽宁丹东统考二模）已知函数，(1)若为的最小正周期，用“五点法”画在内的图象简图；(2)若在上单调递减，求32（2023全国学军中学校联考二模）设，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数.(1)求解析式，并通过列表描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；(2)在锐角中，分别是角的对边，若，求的值域.33（2023春江西宜春高三江西省宜春中学校考阶段练习）如图所示，函数（且）的图像是（）ABCD34（2023广东高三专题练习）已知函数部分图象如图

16、所示，则函数的解析式可能为（）ABCD考点四 三角函数的周期性35（2023全国高三专题练习）下列四个函数中，周期为的是（）ABCD36（2023湖南长沙雅礼中学校考一模）函数的最小正周期为（）ABCD不能确定37（2023全国高三专题练习）函数的最小值和最小正周期分别是（）A，B，C，D，38（2023春湖南湘潭高三湘钢一中校考开学考试）已知函数，则“”是“的最小正周期为2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件39（2023北京东城统考二模）函数在一个周期内的部分取值如下表：则的最小正周期为_； _40（2023安徽马鞍山统考三模）记函数的最小正周期为，若，

17、且，则（）ABCD41（2023山西校联考模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，若的图象关于直线对称，则（）ABCD42（2023秋江苏泰州高三统考期末）已知函数，若，的最小正周期，则的值为（）ABCD43（2023春山西晋城高三校考阶段练习）已知函数图象的对称中心到其相邻对称轴的距离为，则在上的值域为（）ABCD44（2023秋山东东营高三东营市第一中学校考期末）已知函数，为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点若，则的解析式为_45（2023河南校联考模拟预测）已知函数，周期为，且，则实数的最小值为_.（用弧度制表示）考点五 三角函数的单调性（一）求三角函数的单调区间46

18、【多选】（2023辽宁朝阳朝阳市第一高级中学校考模拟预测）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（）ABCD47（2023全国高三专题练习）函数的一个单调递增区间是（）ABCD48（2023春黑龙江哈尔滨高三哈九中校考开学考试）函数在上的单调递增区间为_.49（2023全国高三专题练习）已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（）A（）B（）C（）D（）50（2023全国高三专题练习）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求的单调增区间；(3)函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围；51（2023上海黄浦上海市敬业中学校考三模）已知向量，其中，若函数的最小正周期为.(1)求的单

19、调增区间；(2)在中，若，求的值.（二）比较三角函数值的大小52（2023云南昆明统考模拟预测）已知，则（）AabcBcabCcbaDac0,0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数（2）对于函数（A0,0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数9. 与三角函数的单调性有关的问题（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得（2）当0时，先利用诱导公式将变形为，将变形为，再求函数的单调区间（3）当A0，0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令xZ，将函数转化为yAsinZ的形式求最值13.正切函数单调性的三个关注点(1)正切函数在定义域上不具有单调性(2)

20、正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(，)，(，)，上都是增函数(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(，)(，)上是增函数14. 三角函数对称轴和对称中心的求解方法(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点(2)公式法：函数yAsin(x)的对称轴为x，对称中心为；函数yAcos(x)的对称轴为x，对称中心为；函数yAtan(x)的对称中心为.上述kZ.15.三角函数性质的综合探究函数yAsin(x)或yAtan(x)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令tx)，将x看作一个整体，结合ysin x，xR(ytan x)的性质求解对于yasin xbcos x型的函数，首先用辅助角公式将其转化为yAsin(x)的形式；若弦切函数并存的函数式，可将切化弦