高一数学必修一几类不同增长的函数模型(课堂PPT).ppt

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1、新课导入 函数是描述客观世界变化的规律的基本数学模函数是描述客观世界变化的规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。例如：澳大利亚的兔子数例如：澳大利亚的兔子数“爆炸爆炸”.”.1澳大利亚兔子澳大利亚兔子2 一大群喝水、嬉戏的兔子，多可爱啊，但是一大群喝水、嬉戏的兔子，多可爱啊，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋18591859年，有年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量

2、不断增加，不到不到100100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到达到7575亿只可爱的兔子变得可恶起来，亿只可爱的兔子变得可恶起来，7575亿只亿只兔子吃掉了相当于兔子吃掉了相当于7575亿只羊所吃的牧草，草原的亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学澳大利亚兔子数澳大利亚兔子数“爆炸爆炸”3家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳家

3、采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气大利亚人才算松了一口气想一想：想一想：这种现象可以用哪个函数模型来描述呢？这种现象可以用哪个函数模型来描述呢？在理想条件（食物或养料充足，空间条件充在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合期内的增长大致符合“J”“J”型曲线；型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈曲线呈“S”“S”型型4 实际问题实际

4、分析，那么如何选择恰当的函实际问题实际分析，那么如何选择恰当的函数模型来刻画呢？数模型来刻画呢？可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的数函数描述后期增长的.前期前期后期后期53.2.1 几类不同增长几类不同增长 的函数模型的函数模型y=axy=ax+by=lnx6教学目标知识与能力知识与能力 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性差异性7 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表能够借助信息技术，利用函数图象

5、及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用广泛应用过程与方法过程与方法情感态度与价值观情感态度与价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现

6、实问题中的作用世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用8教学重难点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义同函数类型增长的含义重点重点难点难点怎样选择数学模型分析解决实际问题怎样选择数学模型分析解决实际问题9 例例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案供你选择，这三种方案的回报如

7、下：方案一：每天回报方案一：每天回报40元元.方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前一元，以后每天比前一 天多回报天多回报10元元.方案三方案三:第一天回报第一天回报0.4元，以后每天的回元，以后每天的回 报比前一天翻一番报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？10分析：先建立三种方案所对应的函数模型，方案：分析：先建立三种方案所对应的函数模型，方案：通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据据.（1）涉及哪些数量关系？）涉及哪些数量关系？（2）如何用函数描述这些数量关系？）如何用函数描述这些数

8、量关系？探究探究111我们来计算三种方案所得回报的增长情况：我们来计算三种方案所得回报的增长情况：x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元y/元元y/元元增加量增加量增加量增加量增加量增加量1234040400010203010100.40.81.60.40.8045678304040404040400000040506070803001010101010103.26.412.825.651.2 214748364.81.63.26.412.825.6107374182.4 从表格中获取信从表格中获取信息，体会三种函数的增息，体会三种函数的增长差异长差异。12下面利用图象从整体上把

9、握不同函数模型的增长：下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：4080120160y 10 12xoy=40y=10 x 我们看到，底为我们看到，底为2的指数函的指数函数模型比线性函数模型增长速度数模型比线性函数模型增长速度要快得多要快得多,从中体会从中体会“指数爆炸指数爆炸”的的含义含义.13下面再看累计的回报数：下面再看累计的回报数：结论：结论：投资投资6天以下，应选择第一种投资方案；天以下，应选择第一种投资方案；投资投资7天，应该选择方案一或方案二；投资天，应该选择方案一或方案二；投资810天，天，应选择第二种投资方案；投资应选择第二种投资方案；投资11天（含天（含11天）以上，天）

10、以上，应选择第三种投资方案应选择第三种投资方案.天天数数回报回报/元元方案方案一二三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.814例例2 某公司为了实现某公司为了实现1000万元利润的目标，准万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到利润达到10元时，按销售利润进行奖励，且

11、奖元时，按销售利润进行奖励，且奖金金y（单位：万元）随销售利润（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时万元，同时奖金不超过利润的奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：。现有三个奖励模型：其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？例例2涉及了哪几类涉及了哪几类函数模型？本例的实质函数模型？本例的实质是什么？是什么？15我们不妨先作出函数图象：我们不妨先作出函数图象：通过观察函数图象得到通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的进行奖励时符合公司的要求。

12、要求。400600800 1000 1200200 1 2 3 45678xyo 对数增长对数增长模型比较适合于模型比较适合于描述增长速度平描述增长速度平缓的变化规律。缓的变化规律。y=5y=0.25x16列表计算确认上述判断：列表计算确认上述判断：2.51.022.1851.042.544.954.445.044.4424.55模型模型奖金奖金/万元万元利润利润10208008101000y0.25X 当当x20时，时，y5所以该模型所以该模型不符合要求不符合要求.可知道在区间（可知道在区间（800，810）内）内有一点有一点x0，满足，满足 所以说所以说当当xx0时，时，y5,该模型也不符

13、合要该模型也不符合要求求.17xyo我们来看函数我们来看函数 的图象的图象:问题问题:当当 时时,奖金是否不超过利润的奖金是否不超过利润的25%25%呢呢?10 对数函数，指数函数和幂函数在对数函数，指数函数和幂函数在(0,+(0,+)上都是上都是增函数，但是它们的增长是有差异的，这种差异具体增函数，但是它们的增长是有差异的，这种差异具体情况是怎么样的呢？情况是怎么样的呢？在在10，1000上总是上总是小于小于0.综上所述综上所述:模型模型 确实符合公司要求确实符合公司要求.18对于函数模型对于函数模型：y=2x,y=x2,y=log2x 其中其中x0.思考思考1:1:观察三个函数的自变量与函

14、数值对应观察三个函数的自变量与函数值对应 表表,这三个函数增长的快慢情况如何？这三个函数增长的快慢情况如何？1.7661.7661.5851.5851.3791.3791.1381.1380.8480.8480.4850.4850 0-0.737-0.737-2.322-2.322y=logy=log2x x11.5611.569 96.766.764.844.843.243.241.961.961 10.360.360.040.04y=xy=x210.55610.5568 86.0636.0634.5954.5953.4823.4822.6392.6392 21.5161.5161.1491

15、.149y=2y=2x3.43.43.03.02.62.62.22.21.81.81.41.41 10.60.60.20.2x x探究探究219xyo11 24y=2xy=x2y=log2x思考思考2：观察在同一坐标系中这三个函数图：观察在同一坐标系中这三个函数图象，标出使不等式象，标出使不等式log2x2xx2,log2xx20时，你估计函数时，你估计函数y=2x和和y=x2的图象共有几个交点？的图象共有几个交点？21xyo11 24y=2xy=x2由图像知由图像知2个交点个交点22思考思考4:上述不等式表明，这三个函数模型增上述不等式表明，这三个函数模型增长的快慢情况如何？长的快慢情况如何

16、？xyo11 24y=2xy=x2y=log2x23思考思考1:对任意给定的对任意给定的a1和和n0，在区间，在区间(0,+)上上ax是否恒大于是否恒大于xn?ax是否恒小于是否恒小于xn?思考思考2:一般地，指数函数一般地，指数函数y=ax(a1)和幂函数和幂函数y=xn(n0)在区间在区间(0,+)上，其增长的快慢情况是上，其增长的快慢情况是如何变化的？如何变化的？探究探究3 一般幂、指、对函数模型（一般幂、指、对函数模型（y=xn,y=ax,y=logax）的差异的差异.在区间在区间(0,+)上，无论上，无论n比比a大多少，尽管在大多少，尽管在x的一定变化范围内，的一定变化范围内，ax

17、会小于会小于xn，但是由于，但是由于ax 的的增长快于增长快于xn 的增长，因此总存在一个的增长，因此总存在一个x0，当，当x x0时，就会有时，就会有ax xn.24思考思考3:对任意给定的对任意给定的a1和和n0，在区间，在区间(0,+)上上,logax是否恒大于是否恒大于xn?logax是否恒小于是否恒小于xn?思考思考4:随着随着x的增大的增大,logax增长速度的快慢程度如增长速度的快慢程度如何变化何变化?xn增长速度的快慢程度如何变化？增长速度的快慢程度如何变化？xyo1y=log=logax xy=x=xn25 在区间在区间(0,+)上，随着上，随着x的增大，的增大，logax增

18、长增长得越来越慢，图像就像是渐渐与得越来越慢，图像就像是渐渐与x轴平行了一样，轴平行了一样，尽管在尽管在x的一定变化范围内，的一定变化范围内，logax可能会大于可能会大于xn，但由于，但由于logax的增长慢于的增长慢于xn 的增长，因此总存在的增长，因此总存在一个一个x0，当，当x x0时，就会有时，就会有logax xn思考思考5:对于指数函数对于指数函数y=ax(a1)，对数函数，对数函数 y=logax(a1)和幂函数和幂函数y=xn(n0)，总存在一个，总存在一个x0，使，使xx0时时,ax,logax,xn三者的大小关系如何？三者的大小关系如何？logaxxn ax26 指数函数

19、指数函数y=ax(0a1)，对数函数，对数函数y=logax(0a1)和幂函数和幂函数y=xn(n x0时，就时，就会有会有xnax logax.28例例3 某工厂今年某工厂今年1月，月，2月，月，3月生产某种产品分月生产某种产品分别为别为1万件，万件，1.2万件，万件，1.3万件，为了估计以后每万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量一个函数模拟该产品的月产量y与月份数与月份数x的关系的关系.模拟函数可以选用模拟函数可以选用y=ax2+bx+c或或y=abx+c.已知已知4月份该产品的产量月份该产品的产

20、量为为1.37万件，试选用一个适当的模拟函数万件，试选用一个适当的模拟函数.29 解：分别求出模拟函数中的解：分别求出模拟函数中的a,b,c。假如是。假如是模拟函数模拟函数y=ax2+bx+c得到得到a=-0.05,b=0.35,c=0.7，所以此模拟函数为，所以此模拟函数为y=-0.05x2+0.35x+0.7，则四月份的产量是，则四月份的产量是1.2万件万件.假如是模拟函数假如是模拟函数y=abx+c.30得到得到a=-0.8,b=0.5,c=1.4，所以此模拟函数为，所以此模拟函数为y=-0.80.5x+1.4，所以四月份的产量为，所以四月份的产量为1.45万件万件.由于已知四月份的产量

21、为由于已知四月份的产量为1.37万件，与万件，与1.45万件更万件更接近，所以选用模拟函数接近，所以选用模拟函数y=abx+c作为估计以后每作为估计以后每月的产量月的产量.31确定函数模型确定函数模型利用数据表格、函数利用数据表格、函数体会直线上升、指数体会直线上升、指数图象讨论模型图象讨论模型爆炸、对数增长等不同类型函数的含义爆炸、对数增长等不同类型函数的含义.课堂小结32 1.购买收集购买收集“全球通全球通”卡，使用需付基本月租费卡，使用需付基本月租费50元，在市内通话时每分钟另收话费元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元（打出元（打出和接听的标准相同）；购买和接听的标准相同）；购买“神

22、州行神州行”卡，使用时不卡，使用时不收基本月租费，但在市内通话时每分钟花费为收基本月租费，但在市内通话时每分钟花费为0.60元（打出和接听的标准相同）。若某用户只在市内元（打出和接听的标准相同）。若某用户只在市内用手机，并且每月手机费预算为用手机，并且每月手机费预算为120元，在不考虑元，在不考虑其他因素的情况下，他购买这两种卡中的其他因素的情况下，他购买这两种卡中的更合算更合算.课堂练习“神州行神州行”卡卡33 2.某某学学生生离离家家去去学学校校，为为了了锻锻炼炼身身体体，一一开开始始跑跑步步前前进进，跑跑累累了了再再走走余余下下的的路路程程，下下图图中中，纵纵轴轴表表示示离离学学校校的的

23、距距离离，横横轴轴表表示示出出发发后后的的时时间间，则则 下下 列列 四四 个个 图图 形形 中中 较较 符符 合合 该该 学学 生生 的的 走走 法法 的的 是是 ()0td0td0td0tdABCDD34 3.某某种种细细菌菌在在培培养养过过程程中中，每每20分分钟钟分分裂裂一一次次（一一个个分分裂裂为为两两个个），经经过过3小小时时，这这种种细细菌菌由由1个个可繁殖成可繁殖成()A.511个个 B.512个个 C.1023个个 D.1024个个B35 4.某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，销售发生变化，A产品连续两次提价产品连续两次

24、提价20，B产品产品连续两次降价连续两次降价20，结果都以，结果都以23.04元出售，此时元出售，此时厂家同时出售厂家同时出售A、B产品各一件，盈亏情况为产品各一件，盈亏情况为 ()A不亏不赚不亏不赚 B亏亏5.92元元C赚赚5.92元元 D赚赚28.96元元B36 5.某某企企业业近近几几年年的的年年产产值值如如图图，则则年年增增长长率率最高的是（增长率最高的是（增长率=增长值增长值/原产值）原产值）()A.97年年 B.98年年 C.99年年 D.00年年B37 6.向向高高为为H的的水水瓶瓶中中注注水水，注注满满为为止止.如如果果注注水水量量V与与水水深深h的的函函数数关关系系的的图图象

25、象如如图图所所示示，那那么么水水瓶的形状是瓶的形状是 ()hV0HB38 7.某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，元，茶杯每只定价茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：元，该商店制定了两种优惠办法：（1）买一只茶壶赠送一只茶杯；）买一只茶壶赠送一只茶杯；（2）按总价的）按总价的92%付款付款 某顾客需买茶壶某顾客需买茶壶4只，茶杯若（不少于只，茶杯若（不少于4只），只），若购买茶杯若购买茶杯 x(只只)付款付款y（元），试分别建立两种优（元），试分别建立两种优惠办法中惠办法中x与与y之间的函数关系式，并讨论该顾客买之间的函数关系式，并讨论该顾客买同

26、样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？39 解：如果按照优惠办法（解：如果按照优惠办法（1）则茶杯）则茶杯x与付款与付款y之之间的函数关系式为间的函数关系式为y=5x+60.如果按照优惠办法（如果按照优惠办法（2）则茶杯则茶杯x与付款与付款y之间的函数关系式为之间的函数关系式为y=(80+5x）0.92=73.6+4.6x，由图可知：，由图可知：0 xy60-6-12y=5x+60-1673.6y=73.6+4.6x两函数有一个交点，即两函数有一个交点，即5x+60=73.6+4.6x，得到，得到x=34.即在这一点两种优惠即在这一点两种优惠方式付款都一样。在方式付款都一样。在x34时，优惠方法（时，优惠方法（2）换）换算算.40教材习题答案三个函数图像如下：三个函数图像如下：由图像可以看到，函数（由图像可以看到，函数（1）以）以“爆炸爆炸”式的速度式的速度增长；函数（增长；函数（2）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数）增长缓慢，并渐渐趋于稳定；函数（3）以稳定的速率增加）以稳定的速率增加.xy0（1）（2）（3）4142