定积分的概念课件2北师大选修3.pptx

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1、,01 定积分的定义02 定积分的计算方法03 定积分的应用04 定积分的物理应用05 定积分的经济应用积分概念的应用：广泛应用于物理学、工程学等领域积分概念的起源：源于古希腊数学家阿基米德的研究积分概念的发展：经过牛顿、莱布尼茨等人的完善和发展积分概念的定义：积分是函数在某一区间上的积分和，表示函数在该区间上的面积或体积。定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线下的面积。定积分的定义公式为：f(x)dx，其中f(x)是积分函数，x是积分变量。定积分的定义中，积分区间是a,b，其中a和b是积分的起点和终点。定积分的定义中，积分函数f(x)在积分区间a,b上必须是连续的。定积分的几何意义可以

2、用于计算不规则图形的面积定积分是函数在某一区间上的积分和定积分的几何意义是表示函数在某一区间上的面积定积分的几何意义可以用于计算旋转体的体积线性性：定积分具有线性性质，即两个函数积分的和等于它们的积分和单调性：定积分具有单调性，即如果函数在区间上单调递增，则积分值也递增可加性：定积分具有可加性，即两个函数积分的和等于它们的积分和连续性：定积分具有连续性，即如果函数在区间上连续，则积分值也连续牛顿-莱布尼茨公式的证明：通过极限和微积分基本定理推导得出牛顿-莱布尼茨公式的应用：用于计算定积分，解决实际问题牛顿-莱布尼茨公式是定积分计算的基本公式公式形式：f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)是f

3、(x)的原函数添加标题添加标题添加标题添加标题换元积分法的步骤：选择适当的换元函数，进行换元，计算新的积分，最后还原回原变量换元积分法的定义：通过引入新的变量，将原积分转化为更容易计算的形式换元积分法的应用：适用于解决一些复杂的积分问题，如三角函数积分、有理函数积分等换元积分法的注意事项：选择合适的换元函数，注意换元后的积分限和积分变量，以及换元后的积分计算过程原理：将复杂函数分解为简单函数，然后分别积分步骤：选择适当的u和v，使uv-vu=1应用：适用于求解含有三角函数、指数函数、对数函数的积分注意事项：选择适当的u和v，避免出现复杂的积分形式l矩形法：将积分区间划分为若干个等宽的矩形，计算

4、每个矩形的面积，然后求和得到近似值。l梯形法：将积分区间划分为若干个等宽的梯形，计算每个梯形的面积，然后求和得到近似值。l辛普森法：将积分区间划分为若干个等宽的矩形和梯形，计算每个矩形和梯形的面积，然后求和得到近似值。l蒙特卡洛法：通过随机采样的方法，计算积分区间内随机点的函数值，然后求和得到近似值。微元法的基本思想：将复杂的问题分解为简单的问题，通过求解简单问题的和来解决复杂问题微元法的优点：可以解决一些不能用初等函数表示的复杂函数的积分问题微元法的局限性：只能解决一些简单的定积分问题，对于复杂的定积分问题，需要采用其他方法，如数值积分等微元法的应用：在定积分中，将复杂的函数曲线分割成无数个

5、小段，每个小段近似为直线，然后求和得到积分值定积分可以用来计算平面图形的面积定积分的应用实例：计算三角形、矩形、圆等平面图形的面积定积分的计算方法：使用积分公式或数值积分方法定积分的定义：对函数f(x)在区间a,b上的积分定积分在柱体体积计算中的应用定积分在球体体积计算中的应用定积分在旋转体体积计算中的应用定积分在体积计算中的应用弧长公式：L=f(x)dx积分区间：a,b积分函数：f(x)积分变量：x积分常数：C弧长计算：L=f(x)dx+C变速直线运动：物体在直线上运动，速度随时间变化路程：物体在运动过程中所经过的距离定积分：计算变速直线运动的路程的一种方法定积分公式：f(x)dx，其中f(

6、x)是速度函数，x是时间应用：计算变速直线运动的路程，如自由落体运动、抛体运动等变力做功的实例：例如，在汽车行驶过程中，发动机对汽车做的功就是变力做功，可以通过定积分计算得到。变力做功的应用：在物理学、工程学等领域，变力做功的计算广泛应用于机械能、电能、热能等能量的转换和计算。变力做功：物体在变力作用下，位移与力的方向相同时，力对物体做正功；反之，力对物体做负功。变力做功的计算：利用定积分计算变力做功，将变力分解为若干个恒力，然后计算每个恒力对物体做的功，最后求和得到变力做功。l引力做功：物体在引力场中运动时，引力对物体所做的功l引力做功的计算：通过积分计算引力对物体所做的功l引力做功的应用：

7、计算天体运动、卫星轨道等物理问题l引力做功的物理意义：理解天体运动规律，预测天体运动轨迹压力计算：使用定积分计算液体压力液体压力：液体对容器壁的压力压力分布：液体压力随深度的增加而增加应用实例：计算水塔中的水压力l投资收益的定义：投资收益是指投资者在投资过程中获得的收益，包括利息、股息、资本利得等。l投资收益的计算：投资收益的计算通常需要运用定积分的概念，通过计算投资收益的累积值来衡量投资收益的大小。l投资收益的应用：投资收益的计算在金融、经济等领域有着广泛的应用，如股票投资、债券投资、基金投资等。l投资收益的风险：投资收益的计算需要考虑到投资风险，如市场风险、信用风险、流动性风险等，以避免投

8、资损失。生产成本：指生产过程中所消耗的各种资源，包括原材料、劳动力、设备等定积分在经济中的应用：通过计算定积分，可以精确地计算出生产成本生产成本与利润的关系：生产成本越低，利润越高优化生产成本：通过优化生产过程，降低生产成本，提高利润需求曲线：表示消费者愿意支付的价格与需求量之间的关系供给曲线：表示生产者愿意提供的价格与供给量之间的关系均衡价格：需求曲线与供给曲线的交点，表示市场供需平衡的价格价格弹性：衡量价格变动对需求量影响的指标，分为需求价格弹性和供给价格弹性需求与供给的均衡：价格与数量的平衡消费者均衡：消费者在预算约束下最大化效用生产者均衡：生产者在成本最小化下最大化利润市场均衡：供需双方在价格和数量上达成一致