第4章--振动系统的运动微分方程PPT参考课件.ppt

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1、返回总目录 第第4 4章章 振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程 振动理论与应用振动理论与应用Theory of Vibration with Applications1 返回首页 第第4 4章章 振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程 目录Theory of Vibration with Applications 4.1 4.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理 4.2 4.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程 4.3 4.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响

2、系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 2 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第4 4章章 振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程 4.1 4.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理3 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.1 4.1 4.1 4.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理4.1.1 质点的运动微分方程质点的运动微分方

3、程4.1.2 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式 4.1.3 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 4.1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 4 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.1 4.1 4.1 4.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理4.1.1 质点的运动微分方程质点的运动微分方程牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有以下几种形式以下几种形式 5 返回首页返回首页Theory of Vibration with

4、Applications 4.1 4.1 4.1 4.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理4.1.2 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式 设设质质点点系系由由n个个质质点点组组成成，其其在在理理想想约约束束的的条条件件下下，质质点点系系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。有。有其中其中表示作用在质点系上主动力的元功表示作用在质点系上主动力的元功表示质点系动能的微分表示质点系动能的微分6 返回首页返回首页Theory of Vibration with Applications 4.1 4

5、.1 4.1 4.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理4.1.3 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 刚刚体体的的平平面面运运动动可可简简化化为为具具有有相相同同质质量量的的平平面面图图形形在在固固定定平平面面内的运动。内的运动。应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得上式称为刚体平面运动微分方程。上式称为刚体平面运动微分方程。应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题。7 返回首页返回首页Theory of Vibration with Applications

6、 4.1 4.1 4.1 4.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理4.1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的普遍定理。普遍定理。各个定理都是从不同的方面提出了建立运动微分方程各个定理都是从不同的方面提出了建立运动微分方程的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。8 返回首页返回首页Theory of Vibrat

7、ion with Applications 4.1 4.1 4.1 4.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理4.1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 解：系统具有一个自由度，建立广义坐标解：系统具有一个自由度，建立广义坐标x，坐标原点位于，坐标原点位于弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标正方向如弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标正方向如图中所示。图中所示。x取任意值时，系统的动能为取任意值时，系统的动能为例例4-2无无重重量量不不可可伸伸长长的的细细绳绳绕绕过过质质量量为为m、半半径径R为为的的均均质质圆圆盘盘。弹弹簧簧刚刚度度为为

8、k，与与细细绳绳相相连连，如如图所示，列写该系统的运动微分方程。图所示，列写该系统的运动微分方程。9 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.1 4.1 4.1 4.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理4.1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 x取任意值时，系统的动能为设初始条件为设初始条件为在有限路程中主动力的功为在有限路程中主动力的功为10 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.1 4.1 4.1 4.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿

9、定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理4.1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 在有限路程中主动力的功为由动能定理的积分形式两边对时间求导数注意到在静平衡位置满足所以微分方程为11 返回首页Theory of Vibration with Applications例4-4 图示系统中，半径为 r 的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为 m，槽的半径为R。建立系统的运动方程。其中，为圆盘的角速度，IA=mr2/2是圆盘对质心的转动惯量。图4-4圆盘微幅振动解：若选择 为广义坐标，则系统微幅振动时的动能为圆盘作不滑动的滚动时，存在有 4.1 4.1 4.1 4.1 牛顿定律和普遍定理牛顿

10、定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理4.1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 12 返回首页Theory of Vibration with Applications系统的势能系统微幅振动时的运动方程由动能定理的积分形式两边对时间求导数 4.1 4.1 4.1 4.1 牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理牛顿定律和普遍定理4.1.4 普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用 13 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第4 4章章 振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程 4.2 4.2 拉格朗日运动方程拉

11、格朗日运动方程14 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.2 4.2 4.2 4.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrangeLagrangeLagrange）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程4.2.1 虚位移原理虚位移原理4.2.2 达朗贝尔（达朗贝尔（DAlembert）原理）原理 4.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程4.2.4 完整的非保守系统的拉格朗日运动方程完整的非保守系统的拉格朗日运动方程 15 返回首页Theory of Vibration with A

12、pplications 4.2 4.2 4.2 4.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrangeLagrangeLagrange）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程4.2.1 虚位移原理虚位移原理虚位移原理是分析非自由质点系平衡的最普遍的原理。虚位移原理可表述为：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即虚功方程虚功方程16 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.2 4.2 4.2 4.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗

13、日（LagrangeLagrangeLagrangeLagrange）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程4.2.1 虚位移原理虚位移原理质点Mi上的主动力和虚位移分别用Fi和ri表示，虚位移原理的矢量表达式为在直角坐标系的投影表达式为虚功方程17 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.2 4.2 4.2 4.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrangeLagrangeLagrange）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程4.2.2 达朗贝尔（达朗贝尔（DAlembert）原理）原理 根据虚功原理，可以得出达

14、朗贝尔原理的另一种叙述方式：在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于零。这就是动力学普遍方程，即18 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.2 4.2 4.2 4.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrangeLagrangeLagrange）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程4.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程 拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一

15、个普遍的简单而又统一的方法。个普遍的简单而又统一的方法。在t1与t2区间的虚位移qi是任意的，而且qi彼此独立的。因此，得到著名的拉格朗日方程拉格朗日方程19 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.2 4.2 4.2 4.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrangeLagrangeLagrange）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程图4-5摆振系统例4-5 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚度为k，摆的质量为m，摆长为l

16、。试用拉格朗日方程求出系统的运动方程。解：（1）选择x及 为广义坐标。（2）动能及势能动能：势能：（3）广义外力为零20 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.2 4.2 4.2 4.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrangeLagrangeLagrange）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程 （4）运动方程这就是摆的运动方程。当微幅振动时，取cos 1，sin=0，并可略去高阶项，则可简化为两式相减得到得到运动方程图4-5摆振系统

17、21 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.2 4.2 4.2 4.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrangeLagrangeLagrange）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程 解：取刚体质心O点偏离平衡位置的x、y和刚体绕质心的转角为广义坐标，即图4-6刚体微幅运动例4-6 图示的刚体由四根拉伸弹簧支承，被限制在图示平面内运动。图示位置为平衡位置。且质量为m，转动惯量IO。试导出微幅运动微分方程。并且四根弹簧端点的坐标分别为22

18、 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.2 4.2 4.2 4.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrangeLagrangeLagrange）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程 图4-6刚体微幅运动系统的动能为系统的势能为计算拉格朗日方程中各项导数拉格朗日方程23 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.2 4.2 4.2 4.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（Lagrange

19、LagrangeLagrangeLagrange）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程完整的保守系统的拉格朗日运动方程 代入拉格朗日方程，得系统运动微分方程为图4-6刚体微幅运动24 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.2 4.2 4.2 4.2 拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrangeLagrangeLagrange）运动方程）运动方程）运动方程）运动方程4.2.5 完整的非保守系统的拉格朗日运动方程完整的非保守系统的拉格朗日运动方程 由于虚位移是任意的 ，且互相

20、是独立的。这就是具有瑞莱散逸函数的非保守系统的拉格朗日运动方程的标准形式。因此，有25 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第4 4章章 振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程 4.3 4.3 刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程26 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.3 4.3 4.3 4.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式若用矩阵表示，则可写成式

21、中分别是系统的坐标矢量坐标矢量和加速度矢量加速度矢量0方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。27 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.3 4.3 4.3 4.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵28 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.3 4.3 4.3 4.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度

22、系统中，简称弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标方向施加的力，定义为刚度影响系数刚度影响系数kij；在第j个质量坐标方向上施加的力称刚度影响系数kjj。由刚度影响系数的物理意义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数法影响系数法。刚度矩阵29 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.3 4.3 4.3 4.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程现

23、分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。画出各物块的受力图根据平衡条件，有首先令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力30 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.3 4.3 4.3 4.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程画出受力图，则有同理，令画出受力图，有最后令31 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.3 4.3 4.3 4.3 刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数刚度影响系数 作用

24、力方程作用力方程作用力方程作用力方程因此刚度矩阵为刚度矩阵一般是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即32 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第4 4章章 振动系统的运动微分方程振动系统的运动微分方程 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程33 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程在单自由度的弹簧质量系统中，若弹簧常数是k，则 就是物块上作用单位力时

25、弹簧的变形，称柔度影响系数，用 表示。具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 。n自由度系统的柔度矩阵 为n阶方阵，其元素 称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。34 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个弹簧的变形为零。首先施加单位力这时三物块所产生的静位移分别是所以三物块

26、的位移都是F1F135 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有令F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为36 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程F3再令可得到系统的柔度矩阵为37 返回首页Theory of Vibration wit

27、h Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即系统的柔度矩阵为38 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形应用叠加原理可得到39 返回首页Theory of Vibration

28、with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程写成矩阵形式位移方程是非奇异的，即 的逆矩阵存在与作用力方程比较40即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。返回首页Theory of Vibration with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方

29、程柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系41 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程例例4-7 试写出图所示刚体AB的刚度矩阵并建立系统的运动微分方程。解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心C的坐标yC(以水平位置O为坐标原点，且水平运动不计)和绕C的转角 确定。42 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数

30、柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程图为 时的受力图，分别表示保持系统在该位置平衡，应加在C点的力和力偶矩由刚体AB的平衡条件得到43 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程图为 时的受力图，分别表示保持系统在该位置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在C点的力。由平衡条件得刚度矩阵44 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔

31、度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程图为 取任意值时，刚体AB作平面运动的受力图，根据达朗贝尔原理，可写出系统的运动微分方程整理后得到45 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程例4-8 试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为EI，其质量不计)解：取y1、y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义，表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有按材料力学的挠度公式，则有46 返回首页Theory of Vibration with Applications 4.4 4.4 4.4 4.4 柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数柔度影响系数 位移方程位移方程位移方程位移方程 表示在m2处施加单位力在m1处产生的位移等于在m1处施加单位力在m1处产生的位移。有柔度矩阵为得系统的位移方程4748