2025高考数学专项数列的通项公式及数列求和大题综合--十年真题探规律含答案.pdf

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1、人不拼怎知输赢人不拼怎知输赢数列的通项公式及数列求和大题综合数列的通项公式及数列求和大题综合考点十年考情(2015-2024)命题趋势考点十年考情(2015-2024)命题趋势考点1 等差数列的通项公式及前n项和(10年5考)2023全国乙卷、2023全国新卷、2021全国新卷、2019全国卷、2018全国卷、2016全国卷1.掌握数列的有关概念和表示方法，能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式，理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题该内容是新高考卷的必考内容，常考查利用与关系求通项或项及通项公式构造的相关应用，需综合复习2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通

2、项公式与前 n 项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等差数列通项公式与前 n 项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前 n 项和，需综合复习3.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等比数列通项公式与前 n 项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n项和。需综合复习4.熟练掌握裂项相消求和和、错位相减求和、分组及并项求和，该内容是

3、新高考卷的常考内容，常考结合不等考点2 等比数列的通项公式及前n项和(10年4考)2020全国卷、2019全国卷2018全国卷、2017全国卷考点3 等差等比综合(10年6考)2022全国新卷、2020全国卷、2019北京卷2017北京卷、2017全国卷、2016北京卷2015天津卷考点4 数列通项公式的构造(10年9考)2024全国甲卷、2024全国甲卷、2023全国甲卷2022全国甲卷、2022全国新卷、2021天津卷2021浙江卷、2021全国乙卷、2021全国卷2020全国卷、2019全国卷、2018全国卷2016山东卷、2016天津卷、2016天津卷2016全国卷、2016全国卷、2

4、016全国卷2015重庆卷、2015全国卷考点5 数列求和(10年10考)2024天津卷、2024全国甲卷、2024全国甲卷2023全国甲卷、2023全国新卷、2022天津卷2020天津卷、2020全国卷、2020全国卷2019天津卷、2019天津卷、2018天津卷2017天津卷、2017山东卷、2016浙江卷2016山东卷、2016天津卷、2016北京卷2015浙江卷、2015全国卷、2015天津卷2015天津卷、2015山东卷、2015山东卷2015湖北卷、2015安徽卷考点6 数列中的不等式、最值及范围问题(10年几考)2023全国新卷、2022全国新卷、2021浙江卷2021全国乙卷、

5、2020浙江卷、2019浙江卷2017北京卷、2016浙江卷、2016天津卷2015重庆卷、2015浙江卷、2015四川卷2015上海卷、2015安徽卷考点7 数列与其他知识点的关联问题2024上海卷、2024全国新卷、2023全国新12025高考数学专项数列的通项公式及数列求和大题综合-十年真题探规律水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢式、最值及范围考查，需重点综合复习(10年5考)卷、2019全国卷、2017浙江卷、2015陕西卷2015湖南卷考点考点0101 等差数列的通项公式及前等差数列的通项公式及前n n项和项和1(2023全国乙卷高考真题)记Sn为等差数列 an

6、的前n项和，已知a2=11,S10=40(1)求 an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Tn2(2023全国新卷高考真题)设等差数列 an的公差为d，且d1令bn=n2+nan，记Sn,Tn分别为数列 an,bn的前n项和(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21，求 an的通项公式；(2)若 bn为等差数列，且S99-T99=99，求d3(2021全国新卷高考真题)记Sn是公差不为0的等差数列 an的前n项和，若a3=S5,a2a4=S4(1)求数列 an的通项公式an；(2)求使Snan成立的n的最小值2水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢4(2019全国高考真

7、题)记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=-a5(1)若a3=4，求an的通项公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范围5(2018全国高考真题)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=-7，S3=-15(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值6(2016全国高考真题)等差数列an中，a3+a4=4,a5+a7=6.()求an的通项公式；()设bn=an，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0,2.6=2.考点考点0202 等比数列的通项公式及前等比数列的通项公式及前n n项和项和1(2020全国高考真题)设等比数列an满足a1+a2=4

8、，a3-a1=8(1)求an的通项公式；(2)记Sn为数列log3an的前n项和若Sm+Sm+1=Sm+3，求m3水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢2(2019全国高考真题)已知an是各项均为正数的等比数列，a1=2,a3=2a2+16.(1)求an的通项公式；(2)设bn=log2an，求数列bn的前n项和.3(2018全国高考真题)等比数列 an中，a1=1，a5=4a3(1)求 an的通项公式；(2)记Sn为 an的前n项和若Sm=63，求m4(2017全国高考真题)记Sn为等比数列 an的前n项和，已知S2=2，S3=-6.(1)求 an的通项公式；(2)求Sn，

9、并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列考点考点0303 等差等比综合等差等比综合1(2022全国新卷高考真题)已知 an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4(1)证明：a1=b1；(2)求集合 kbk=am+a1,1m500 中元素个数4水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢2(2020全国高考真题)设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项(1)求an的公比；(2)若a1=1，求数列nan的前n项和3(2019北京高考真题)设an是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列()求an的通项公式

10、；()记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值4(2017北京高考真题)已知等差数列 an和等比数列 bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5()求 an的通项公式；()求和：b1+b3+b5+b2n-15(2017全国高考真题)已知等差数列 an的前n项和为Sn，等比数列 bn的前n项和为Tn，且a1=1，b1=1，a2+b2=4.(1)若a3+b3=7，求 bn的通项公式；(2)若T3=13，求S5.5水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢6(2016北京高考真题)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4(1)求an

11、的通项公式；(2)设cn=an+bn，求数列cn的通项公式7(2015天津高考真题)已知 an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5-3b2=7.()求 an和 bn的通项公式；()设cn=anbn，nN N*，求数列 cn的前n项和.考点考点0404 数列通项公式的构造数列通项公式的构造1(2024全国甲卷高考真题)记Sn为数列 an的前n项和，已知4Sn=3an+4(1)求 an的通项公式；(2)设bn=(-1)n-1nan，求数列 bn的前n项和Tn2(2024全国甲卷高考真题)已知等比数列 an的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.(

12、1)求 an的通项公式；(2)求数列 Sn的前n项和.6水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢3(2023全国甲卷高考真题)设Sn为数列 an的前n项和，已知a2=1,2Sn=nan(1)求 an的通项公式；(2)求数列an+12n 的前n项和Tn4(2022全国甲卷高考真题)记Sn为数列 an的前n项和已知2Snn+n=2an+1(1)证明：an是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值5(2022全国新卷高考真题)记Sn为数列 an的前n项和，已知a1=1,Snan 是公差为13的等差数列(1)求 an的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+1an26

13、(2021天津高考真题)已知 an是公差为2的等差数列，其前8项和为64 bn是公比大于0的等比数列，b1=4,b3-b2=48(I)求 an和 bn的通项公式；(II)记cn=b2n+1bn,nN*，(i)证明 c2n-c2n是等比数列；(ii)证明nk=1akak+1c2k-c2k0,a2=3a1，且数列Sn是等差数列，证明：an是等差数列.10(2020全国高考真题)设数列an满足a1=3，an+1=3an-4n(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；(2)求数列2nan的前n项和Sn11(2019全国高考真题)已知数列an和bn满足a1=1，b1=0，4an+1=3an-b

14、n+4，4bn+1=3bn-an-4.(1)证明：an+bn是等比数列，an-bn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式.8水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢12(2018全国高考真题)已知数列 an满足a1=1，nan+1=2 n+1an，设bn=ann(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列 bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求 an的通项公式13(2016山东高考真题)已知数列 an的前n项和Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1.()求数列 bn的通项公式；()令cn=(an+1)n+1(bn+2)n.求数列 cn的前n项和Tn.14(2

15、016天津高考真题)已知 an是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的nN,bn是 an和an+1的等比中项.()设cn=b2n+1-b2n,nN*，求证：cn是等差数列；()设a1=d,Tn=2nk=1-1kbk2,nN*，求证：nk=11Tk12d2.15(2016天津高考真题)已知 an是等比数列，前n项和为SnnN，且1a1-1a2=2a3,S6=63.()求 an的通项公式；()若对任意的nN,bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列-1nbn2的前2n项和.9水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢16(2016全国高考真题)已知数列an的前n项

16、和Sn=1+an，其中0()证明an是等比数列，并求其通项公式；()若S5=3132，求17(2016全国高考真题)已知各项都为正数的数列 an满足a1=1，a2n-(2an+1-1)an-2an+1=0.()求a2,a3；()求 an的通项公式.18(2016全国高考真题)已知 an是公差为3的等差数列，数列 bn满足b1=1，b2=13，anbn+1+bn+1=nbn()求 an的通项公式；()求 bn的前n项和19(2015重庆高考真题)在数列 an中，a1=3,an+1an+an+1+an2=0 nN+(1)若=0,=-2,求数列an的通项公式；(2)若=1k0k0N+,k02,=-1

17、,证明：2+13k0+1ak0+10，a2n+2an=4Sn+3.()求an的通项公式；()设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和.考点考点0505 数列求和数列求和1(2024天津高考真题)已知数列 an是公比大于0的等比数列其前n项和为Sn若a1=1,S2=a3-1(1)求数列 an前n项和Sn；(2)设bn=k,n=akbn-1+2k,akn5时，TnSn12水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢6(2022天津高考真题)设 an是等差数列，bn是等比数列，且a1=b1=a2-b2=a3-b3=1(1)求 an与 bn的通项公式；(2)设 an的前n项和为Sn，求

18、证：Sn+1+an+1bn=Sn+1bn+1-Snbn；(3)求2nk=1ak+1-(-1)kakbk7(2020天津高考真题)已知 an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1=1,a5=5 a4-a3,b5=4 b4-b3()求 an和 bn的通项公式；()记 an的前n项和为Sn，求证：SnSn+2S2n+1nN N*；()对任意的正整数n，设cn=3an-2bnanan+2,n为奇数,an-1bn+1,n为偶数.求数列 cn的前2n项和8(2020全国高考真题)设数列an满足a1=3，an+1=3an-4n(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；(2)求数列2nan的前n项和

19、Sn9(2020全国高考真题)设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项(1)求an的公比；(2)若a1=1，求数列nan的前n项和13水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢10(2019天津高考真题)设 an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0，已知a1=b1=3，b2=a3，b3=4a2+3.()求 an和 bn的通项公式；()设数列 cn满足cn=1,n为奇数,bn2n为偶数,求a1c1+a2c2+a2nc2nnN*.11(2019天津高考真题)设 an是等差数列，bn是等比数列.已知a1=4,b1=6，b2=2a2-2,b3=2a3+4.()求 an和

20、 bn的通项公式；()设数列 cn满足c1=1,cn=1,2kn0，a2n+2an=4Sn+3.()求an的通项公式；()设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和.16水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢21(2015天津高考真题)已知 an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5-3b2=7.()求 an和 bn的通项公式；()设cn=anbn，nN N*，求数列 cn的前n项和.22(2015天津高考真题)已知数列an满足an+2=qan(q为实数，且q1)，nN*,a1=1,a2=2，且a2+a3,a3+a4,a4+a5

21、成等差数列.()求q的值和an的通项公式；()设bn=log2a2na2n-1,nN*，求数列 bn的前n项和.23(2015山东高考真题)已知数列 an是首项为正数的等差数列，数列1anan+1 的前n项和为n2n+1.(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn=an+12an，求数列 bn的前n项和Tn.17水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢24(2015山东高考真题)设数列 an的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.()求 an的通项公式；()若数列 bn满足anbn=log3an，求 bn的前n项和Tn.25(2015湖北高考真题)设等差数列an的公差为d，前n

22、项和为Sn，等比数列bn的公比为q已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn26(2015安徽高考真题)已知数列 an是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3=8.()求数列 an的通项公式；()设Sn为数列 an的前n项和，bn=an+1SnSn+1，求数列 bn的前n项和Tn18水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢考点考点0606 数列中的不等式、最值及范围问题数列中的不等式、最值及范围问题1(2023全国新卷高考真题)已知 an为等差数列，bn=an-6,n为奇数2a

23、n,n为偶数，记Sn，Tn分别为数列an，bn的前n项和，S4=32，T3=16(1)求 an的通项公式；(2)证明：当n5时，TnSn2(2022全国新卷高考真题)记Sn为数列 an的前n项和，已知a1=1,Snan 是公差为13的等差数列(1)求 an的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+1an219水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢3(2021浙江高考真题)已知数列 an的前n项和为Sn，a1=-94，且4Sn+1=3Sn-9.(1)求数列 an的通项；(2)设数列 bn满足3bn+(n-4)an=0(nN*)，记 bn的前n项和为Tn，若Tnbn对任意nN恒成立

24、，求实数的取值范围.4(2021全国乙卷高考真题)设 an是首项为1的等比数列，数列 bn满足bn=nan3已知a1，3a2，9a3成等差数列(1)求 an和 bn的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为 an和 bn的前n项和证明：Tn0，且b1+b2=6b3，求q与an的通项公式；()若数列bn为等差数列，且公差d0，证明：c1+c2+cn1+1d(nN*)6(2019浙江高考真题)设等差数列an的前n项和为Sn，a3=4，a4=S3，数列bn满足：对每nN,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.(1)求数列an,bn的通项公式；(2)记Cn=an2bn,nN,证明：C1+C2

25、+Cn2 n,nN.7(2017北京高考真题)已知等差数列 an和等比数列 bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5()求 an的通项公式；()求和：b1+b3+b5+b2n-121水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢8(2016浙江高考真题)设数列 an满足 an-an+121，n()证明：an2n-1a1-2，n；()若 an32n，n，证明：an2，n9(2016天津高考真题)已知 an是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的nN,bn是 an和an+1的等比中项.()设cn=b2n+1-b2n,nN*，求证：cn是等差数列；()设a1=d,Tn

26、=2nk=1-1kbk2,nN*，求证：nk=11Tk12d2.10(2015重庆高考真题)在数列 an中，a1=3,an+1an+an+1+an2=0 nN+(1)若=0,=-2,求数列an的通项公式；(2)若=1k0k0N+,k02,=-1,证明：2+13k0+1ak0+12+12k0+122水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢11(2015浙江高考真题)已知数列 an满足a1=12且an+1=an-a2n(nN*).(1)证明：1anan+12(nN*)；(2)设数列 a2n的前n项和为Sn，证明12(n+2)Snn12(n+1)(nN*).12(2015四川高考真题

27、)设数列 an的前n项和Sn=2an-a1，且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列 an的通项公式；(2)记数列1an 前n项和Tn，求使 Tn-1an(n)，求证：数列 bn的第n0项是最大项；(3)设a1=0,a1)(1)y=f x过 4,2，求 f 2x-20，点P15,4在C上，k为常数，0k1按照如下方式依次构造点Pnn=2,3,.：过Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1，令Pn为Qn-1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为 xn,yn.(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列 xn-yn是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设Sn为PnPn+1Pn+2的面积

28、，证明：对任意正整数n，Sn=Sn+1.24水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢3(2023全国新卷高考真题)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P Xi=1=1-P Xi=0=qi,i=1,2,n，则Eni=1Xi=ni=1qi记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投

29、篮的次数为Y，求E Y4(2019全国高考真题)为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一

30、轮试验中甲药的得分记为X(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0,1,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)假设=0.5，=0.8(i)证明：pi+1-pi(i=0,1,2,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性25水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢5(2017浙江高考真题)已知数列 xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln 1+xn+1nN证明

31、：当nN*时，(I)0 xn+10，n，n2()证明：函数Fnx=fnx-2在12,1内有且仅有一个零点(记为xn)，且xn=12+12xn+1n；()设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gnx，比较 fnx与gnx的大小，并加以证明7(2015湖南高考真题)已知a0，函数 f(x)=eaxsinx(x0,+)，记xn为 f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点，证明：(1)数列 f(xn)是等比数列(2)若a1e2-1，则对一切nN N*，xn0，解得n0，可得Tn=a1+a2+an=a1+a2+an=Sn=14n-n2；当n8时，则an1令bn=n2+n

32、an，记Sn,Tn分别为数列 an,bn的前n项和(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21，求 an的通项公式；(2)若 bn为等差数列，且S99-T99=99，求d【答案】(1)an=3n(2)d=5150【详解】(1)3a2=3a1+a3，3d=a1+2d，解得a1=d，S3=3a2=3(a1+d)=6d，2水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢又T3=b1+b2+b3=2d+62d+123d=9d，S3+T3=6d+9d=21，即2d2-7d+3=0，解得d=3或d=12(舍去)，an=a1+(n-1)d=3n.(2)bn为等差数列，2b2=b1+b3，即12a2

33、=2a1+12a3，61a2-1a3=6da2a3=1a1，即a21-3a1d+2d2=0，解得a1=d或a1=2d，d1，an0，又S99-T99=99，由等差数列性质知，99a50-99b50=99，即a50-b50=1，a50-2550a50=1，即a250-a50-2550=0，解得a50=51或a50=-50(舍去)当a1=2d时，a50=a1+49d=51d=51，解得d=1，与d1矛盾，无解；当a1=d时，a50=a1+49d=50d=51，解得d=5150.综上，d=5150.3(2021全国新卷高考真题)记Sn是公差不为0的等差数列 an的前n项和，若a3=S5,a2a4=S

34、4(1)求数列 an的通项公式an；(2)求使Snan成立的n的最小值【答案】(1)an=2n-6；(2)7.【详解】(1)由等差数列的性质可得：S5=5a3，则：a3=5a3,a3=0，设等差数列的公差为d，从而有：a2a4=a3-da3+d=-d2，S4=a1+a2+a3+a4=a3-2d+a3-d+a3+a3+d=-2d，从而：-d2=-2d，由于公差不为零，故：d=2，数列的通项公式为：an=a3+n-3d=2n-6.(2)由数列的通项公式可得：a1=2-6=-4，则：Sn=n-4+n n-122=n2-5n，则不等式Snan即：n2-5n2n-6，整理可得：n-1n-60，解得：n6

35、，又n为正整数，故n的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.4(2019全国高考真题)记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=-a5(1)若a3=4，求an的通项公式；3水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢(2)若a10，求使得Snan的n的取值范围【答案】(1)an=-2n+10；(2)1n10(nN).【详解】(1)设等差数列 an的首项为a1，公差为d，根据题意有9a1+982d=-(a1+4d)a1+2d=4，解答a1=8d=-2，所以an=8+(n-1)(-2)=-2n+

36、10，所以等差数列 an的通项公式为an=-2n+10；(2)由条件S9=-a5，得9a5=-a5，即a5=0，因为a10，所以d0，并且有a5=a1+4d=0，所以有a1=-4d，由Snan得na1+n(n-1)2da1+(n-1)d，整理得(n2-9n)d(2n-10)d，因为d0，所以有n2-9n2n-10，即n2-11n+100，解得1n10，所以n的取值范围是：1n10(nN)【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.5(2018全国高考真题)记Sn为等差数列an的前

37、n项和，已知a1=-7，S3=-15(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值【答案】(1)an=2n-9；(2)Sn=n2-8n，最小值为-16【详解】(1)方法一：【通性通法】【最优解】公式法设等差数列an的公差为d，由S3=-15得，3-7+322d=-15，解得：d=2，所以an=2n-9方法二：函数+待定系数法设等差数列an通项公式为an=kn+b，易得k+b=-7，由S3=-15，即3a2=-15，即2k+b=-5，解得：k=2,b=-9，所以an=2n-9(2)方法1：邻项变号法由Sn=na1+n(n-1)d2可得Sn=n2-8n当an0，即2n-90，解得1n4，所

38、以Sn的最小值为S4=4a1+6d=-16，所以Sn的最小值为-16方法2：函数法由题意知Sn=d2n2+a1-d2n，即Sn=n2-8n=n-42-16，所以Sn的最小值为S4=42-48=-16，所以Sn的最小值为-164水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢【整体点评】(1)方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；(2)方法一：利用等差数列前n项和公式求Sn，再利用邻项变号法求最值；方法二：利用等差数

39、列前n项和公式求Sn，再根据二次函数性质求最值6(2016全国高考真题)等差数列an中，a3+a4=4,a5+a7=6.()求an的通项公式；()设bn=an，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0,2.6=2.【答案】()an=2n+35；()24.【详解】试题分析：()根据等差数列的通项公式及已知条件求a1，d，从而求得an；()由()求bn，再求数列 bn的前10项和.试题解析：()设数列 an的公差为d，由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=25.所以 an的通项公式为an=2n+35.()由()知bn=2n+35.当n=1,2,3时，

40、12n+352,bn=1；当n=4,5时，22n+353,bn=2；当n=6,7,8时，32n+354,bn=3；当n=9,10时，42n+350，所以m=6，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.2(2019全国高考真题)已知an是各项均为正数的等比数列，a1=2,a3=2a2+16.(1)求an的通项公式；(2)设bn=log2an，求数列bn的前n项和.【答案】(1)an=22n-1；(2)Sn=n2.【详解】(1)因为数列 an是各项均为正数的等比数列，a3=2a2+16，a1=2，所以令数列 an的公比为q，a3=a

41、1q2=2q2，a2=a1q=2q，所以2q2=4q+16，解得q=-2(舍去)或4，所以数列 an是首项为2、公比为4的等比数列，an=24n-1=22n-1(2)因为bn=log2an，所以bn=2n-1，bn+1=2n+1，bn+1-bn=2，所以数列 bn是首项为1、公差为2的等差数列，Sn=1+2n-12n=n2【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题3(2018全国高考真题)等比数列 an中，a1=1，a5=4a3(1)求 an的通项公式；(2)记Sn为 an的前n项和若Sm

42、=63，求m【答案】(1)an=-2n-1或an=2n-1.(2)m=6.【详解】分析：(1)列出方程，解出q可得；(2)求出前n项和，解方程可得m详解：(1)设an的公比为q，由题设得an=qn-1由已知得q4=4q2，解得q=0(舍去)，q=-2或q=2故an=-2n-1或an=2n-1(2)若an=-2n-1，则Sn=1-2n3由Sm=63得-2m=-188，此方程没有正整数解若an=2n-1，则Sn=2n-1由Sm=63得2m=64，解得m=6综上，m=66水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题4(2017

43、全国高考真题)记Sn为等比数列 an的前n项和，已知S2=2，S3=-6.(1)求 an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列【答案】(1)an=(-2)n；(2)见解析.【详解】试题分析：(1)由等比数列通项公式解得q=-2，a1=-2即可求解；(2)利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列试题解析：(1)设an的公比为q.由题设可得a11+q=2a11+q+q2=-6 ，解得q=-2，a1=-2.故an的通项公式为an=-2n.(2)由(1)可得Sn=a11-qn1-q=-23+-1n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+-1n2n+3-2n

44、+23=2-23+-1n2n+13 =2Sn，故Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列.考点考点0303 等差等比综合等差等比综合1(2022全国新卷高考真题)已知 an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4(1)证明：a1=b1；(2)求集合 kbk=am+a1,1m500 中元素个数【答案】(1)证明见解析；(2)9【详解】(1)设数列 an的公差为d，所以，a1+d-2b1=a1+2d-4b1a1+d-2b1=8b1-a1+3d，即可解得，b1=a1=d2，所以原命题得证(2)由(1)知，b1=a1=d2，所以bk=am+a1b12k-1=a1+m-1d+

45、a1，即2k-1=2m，亦即m=2k-21,500，解得2k10，所以满足等式的解k=2,3,4,10，故集合 k|bk=am+a1,1m500中的元素个数为10-2+1=92(2020全国高考真题)设an是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项(1)求an的公比；(2)若a1=1，求数列nan的前n项和【答案】(1)-2；(2)Sn=1-(1+3n)(-2)n9.7水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢【详解】(1)设an的公比为q，a1为a2,a3的等差中项，2a1=a2+a3,a10,q2+q-2=0，q1,q=-2；(2)设nan的前n项和为Sn，a1=1,

46、an=(-2)n-1，Sn=11+2(-2)+3(-2)2+n(-2)n-1，-2Sn=1(-2)+2(-2)2+3(-2)3+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n，-得，3Sn=1+(-2)+(-2)2+(-2)n-1-n(-2)n=1-(-2)n1-(-2)-n(-2)n=1-(1+3n)(-2)n3，Sn=1-(1+3n)(-2)n9.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.3(2019北京高考真题)设an是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列()求an的通项公式；()记an的前n项和

47、为Sn，求Sn的最小值【答案】()an=2n-12；()-30.【详解】()设等差数列 an的公差为d，因为a2+10，a3+8，a4+6成等比数列，所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)，即(2d-2)2=d(3d-4)，解得d=2，所以an=-10+2(n-1)=2n-12.()由()知an=2n-12,所以Sn=-10+2n-122n=n2-11n=n-1122-1214；当n=5或者n=6时，Sn取到最小值-30.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.4(2017北京高考真题)已知等差数列 an和等

48、比数列 bn满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5()求 an的通项公式；()求和：b1+b3+b5+b2n-1【答案】(1)an=2n-1.(2)3n-12【详解】试题分析：()设等差数列的公差为d，代入建立方程进行求解；()由 bn是等比数列，知 b2n-1依然是等比数列，并且公比是q2，再利用等比数列求和公式求解.试题解析：()设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.8水不撩不知深浅人不拼怎知输赢水不撩不知深浅人不拼怎知输赢所以an=2n-1.()设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以

49、b2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1=3n-12.【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：(1)分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；(2)裂项相消法求和，一般适用于cn=canan+1，cn=nn!=n+1!-n!,cn=cn+1+n等的形式；(3)错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；(4)倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.5(2017全国高考真题)已知等差数列 an的前n项和为Sn，等比数列 bn的前n项和为Tn，且a1=

50、1，b1=1，a2+b2=4.(1)若a3+b3=7，求 bn的通项公式；(2)若T3=13，求S5.【答案】(1)bn=2n-1；(2)5或75.【分析】(1)设等差数列 an公差为d，等比数列 bn公比为q q0，由已知条件求出q，再写出通项公式；(2)由T13=13，求出q的值，再求出d的值，求出S5.【详解】设等差数列 an公差为d，等比数列 bn公比为q q0有 1+d+q=4，即d+q=3.(1)1+2d+q2=7，结合d+q=3得q=2，bn=2n-1.(2)T3=1+q+q2=13，解得q=-4或3，当q=-4时，d=7，此时S5=5+5427=75；当q=3时，d=0，此时S