高数I（下）重点概念和定理.docx

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1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分 方程的解数相同这样的解叫做微分方程的通解。微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。齐次方程：如果一阶微分方程可化成案= 0)的形式，那么就称这个方程为齐 次方程。可分离变量的微分方程:如果一个一阶微分方程能写成g(y) dy = /(%) dx的形式, 就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy,另一段只含x的函数和小， 那么原方程就称为可分离变量的微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程：在二阶齐次线性微分方程y + P(%)y + Q(

2、%)y = 0中,如果yy的系数 P(x), Q(x)均为常数，即+ P(x)y, + Q(%)y = 0 成为+ py+ qy = 0,其中p，q是常数，那么称+ py+ qy = 0为二阶常 系数齐次线性微分方程。向量的模：向量的大小叫做向量的模。非零向量的方向角：方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位 角，向量(或有向直线)与坐标轴正向或基向量的交角称为向量的方向角。两向量的数量积：1.定义1设有向量心方，它们的夹角为e, 乘积称为向量M与B的数量积(内积或点积)，记为展瓦即a b=a b |cos0.向量积:1 .定义2若由两个向量万与5确定的向量0满足下列条件:(1)/

3、的方向既垂直于又垂直于在，了的方向按右手规则 从值转向方确定；(2) 0的模乙=M X sin夕(其中，为M、X间的夹角)，则称向量A为向量示与5的向量积(外积或又积)，记作直线的方向向量：空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向 量称为这条直线的一个方向向量。平面的法向量：如果一非零向量垂直于一个平面，这向量就叫做该平面的法线向 量。旋转曲面：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转 曲面。函数f (x, y)当(x, y) f (x0, y0)时的极限:设二元函数f (p) = /(%, y)的定义域为D,Po(%o，yo)是D的聚点。如果存在常数A,对于

4、任意给定的正数，总存在正数5, 使得当点PQ,y)eDnU(P(),6)时,都有|/()一川=|/(二,y)川v 成立，那 么就称常数A为函数f (x, y)当(x, y) (xo, y()时的极限，记作Um=(%,y)T(%o，yo)/或/(%,y) T 24(%, y) T (%o，y。)，也记作f(P) = A或/(P) - A(p - p()。 P-Po介值定理:在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的 任何值。函数f (x, y)在点(x0, y0)连续：1.定义3设函数Z =/(x,y)的定义域为Z) , A(x，%的D的聚点，且刀，如果lim f(x,y) =

5、 f(x0,y0), 则称函数/(x,y)在点(/Vo)处连续.二元函数在某一点的偏导数:定义1设函数二=/(占歹)在点(X。,%)某邻域内有定义，当固定 7 二 7(),而x在*0处有增量4V时，相应地，函数有增量 /(*+&%)-/(%,%),若极限 lim /(/+，?-/(/，) 存在,则称此极限值为函数/(用丁)在点(%,%)处对X的偏导数,记作记作dzdxJ=Jo包dx x=xq y=yoX=Xo 9 或尸Jo人(*0，70)/(汽+代/)一/(与，/)Ax类似，函数/(X，J)在点(X。,比您对，的偏导数定义为:/(*o,yo + 4，)/Go,%)4v也记作dy 二。dy x=

6、XQx=x()y=yo二元函数在点(x,y)的全微分:定义1若函数z = f(x,y)在点(x,y)的全增量& = /(x + 9 y + 49 - /(x, y) 可表示为Az- A Ax BAy + op其中/潭仅与x,y有关，与ztr,4y无关，/=J(-)2 + (dr)之, 则称函数Z = /(x,y)在点(x,y)处可微分，AAx + BAy 称为函数Z = /(x,仍在点(x,y)处的全微分，记作/瓦, 即 dz = NAx + BAy.若函数z = /(x, y)在区域刀内各点处都可微分，则称函数在d内 可微分.梯度：在二元函数的情形，设函数f(x, y)在平面区域D内具有一阶

7、连续偏导数， 则对于每一点尸0(%0，丫0)都可定出一个向量入(%o，y0)i+4(%0，丫0)/，这向量 称为函数f (x, y)在点尸o(%o，yo)的梯度，记作gradf(%0,yo)或0/(%o，yo),即 gradfx0,y0) = r/(x0,y0) = fx(x0,y0)i + fy(.x0,y0)jo函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分：定义1 设巧，)是有界闭区域。上的有界函数，将闭区域。 任意分成n个小闭区域其中Ab,表示第i 小闭区域,也表示它的面积，在每个区上任取一点(鼻)， 作乘积/(鼠)A5a=i2/)，并作和号/(半)当各小区域的直径中的最大值4趋于零时,如果

8、该和式的极限 存在，则称此极限值为函数/(占外在闭区域。上的二重积分， 记作：JJ/(x,V)db ,即 Dnff f(x, y)d(r =理 X /(& , 7 )3 Df=l二重积分的中值定理：6.中值定理：设函数/(M,在闭区域。上连续，。为D的面积， 则至少存在一点使得JJ f(x,y)d(y = D 函数f(x, y, z)在闭区域。上的三重积分：定义1设/(x, J,Z)是定义在空间有界闭区域Q上的有界 函数，将闭区域。任意分割成个小区域/匕,4%,一,/匕,其中 /匕是第i个小闭区域，也表示它的体积，在每个/匕.上任取一点 (4,74),作乘积/(374)/匕(i = L2,)，

9、并作和 g/(&，%，？, )/匕，如果当各小区域的直径的最大值丸趋近于 i=l零时该和式的极限总存在,则称此极限值为函数/(X,人力在A 上的三重积分，记为“n即Iff /(*，外力小f&，3,4)/匕，函数f (x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分：定义 设上为xoy面内的一条光滑曲线弧，函数 f(x,y)在上有界.在L上任意插入一点列M”M2, 把上分成个小段.设第，个小段的长度为49”任取一点作乘,/(全功)企(i = l,2,)，并做和 /西)加，61n记丸=空公若极限山1工/河)4与总存在，则称此 1A 0 .1=1极限值为函数在曲线弧上上的对弧长的曲线积分或第一 类曲线积分，记

10、作f(x,y)ds.Jln即 Lf(y)ds = 1 巩其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段。格林公式(定理)：定理1设闭区域。由分段光滑的曲线1围成，函数网*4),2(/川 在。上有一阶连续偏导数，则有- db = %Pdx + Qdy格林(Green)公式其中z是。的取正向的整个边界曲线.函数f(x, y, z)在曲面X上对面积的曲面积分:定义 设曲面N是光滑的，函数/ （x在N上有界，把N任意分割成小块（人,.同时表示第i小块曲面的面积）; 在az上任取点（多次4），作乘积/4,7，.)&(，= 1,2, ./),并作和 /以4）4”如果当各小块曲面的直径的最大值 i=l2 f

11、0时，这和的极限总存在，IL与曲面的分法及点（口力4）的取法无关,则称此极限值为上的 对面积的曲面积分 或第一类曲面积分， 记为 jj/（x,y,z）dS，即11 /（羽八S =鸣Z /6金）小”ZT i=l其中/（MNZ）称为被积函数，/称为积分曲面.高斯公式（定理）：dz定理1 设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面？所围成，函数 尸（范）。（占y,z）,A（x,J,Z）在A上具有一阶连续偏导数厕有 ffff + 吆 + Vv = H Pdvdz + Odzdx + Rdxdv2= g(Pcoa + Qco，+Acosy)ds, (*)其电？是。整个边界曲面的外侧,cosa,cos仇cos/是上

12、上点（x,y,z） 处法向量的方向余弦.（*）式称为高斯公式.级数及其收敛性：1.级数的概念如果给定一个数列% , %，3，心二，由数列构成的表达式+ 2 + 3 + + + ,称为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为Z，即QO=1. =1 + “3 + , + +，式中每个数称为级数的项，其中称为级数的一般项或通项.定义 如果级数2%的部分和数列1存在极限S,即 11=111T6O0则称无穷级数Z收敛，其极限S称作级数的和，并记作 11=1S =+ 2 + 3 + 如果部分和数列没有极限，则称级数发散.若级数收敛于S ， 它们的差11=1r = s_% = +i + %+2+称为级数的余项,

13、且有lim rn = 0,则s Q % ,8rn是用近似代替所产生的误差.交错级数：1义市牧双：88若 0( = 1,2,)，称级数 (T)t“ 或工(-1)”，/=1 =1为交错级数.绝对收敛：定义设为一般常数项级数，则H=1oO1)当Zl% I收敛时，则称为绝对收敛.e般=i000082)若收敛，但2 % I发散，则称Z%为条件收敛. =1n=ln=l莱布尼兹定理：定理7(莱布尼茨定理)若交错级数(-1广满足：1) 2即+1( = 1,24)，”2)lim un - 0,则级数(-1广1收敛,且其和$ %,其余项，区%+ift=i越级数：L累级数：形如O0a. +a,x + a.x2 +

14、+ x +=S/产 01nn=0的函数项级数称为骞级数，其中常数%,明,，称为塞级数 的系数.收敛域：注：(1)幕级数的收敛域为凡用 四者之一.J推论 如果塞级数不是仅在x = 0 一点收敛，二0也不是在整个数轴上都收敛，则必存在一个完全确定的正数A 使得(1)当闺 A时，塞级数发散；(3)当x=R时，幕级数可能收敛也可能发散.这样的正数R称为塞级数的收敛半径, (-aA)称为基级数的收敛区闻阿贝尔定理:定理1(阿贝尔定理)若级数* 0)收敛，则对于,级数绝对收敛;二0则对满足不等式卜1卜0满足不等式反| ,的一切x6反之，如果级逐例*；发散，的一切级数发散二0傅立叶级数的收敛定理：定理 设周

15、期为21的周期函数/(x)在一山上满足狄利克雷收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为，/、 a。n7IX l 衣、/(x)= V + (an cos + bn sin )，2=iII其中% =J(x)co 公,( =0J23 卜I7/(x) sin 华 Zx,(n = 1,2,3, ).IIc =卜 1/(%) = 1 /(%-) + /(%+)81171X当/为奇函数时，f(x) = Zbn sin, ”=iIb =/(x)sin/&,( = 1,2,3,).当/(X以J偶函数时，/(x) = * + co, 2 i I2 rlmixn =y /(x) COS dxn = 04,2,3, ).“w,