集合间的基本关系2.docx

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1、L2集合间的基本关系【考点梳理】考点一：子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合Z中的任意一个元素都是集合8 中的元素，就称集合4是集合5的子集AB（或恒4）真子集如果集合4G& 但存在元素且行出 就称集合力是集合3的真子集A_B（或B）集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的 元素，同时集合8的任何一个元素者B是集 合4的元素，那么集合力与集合8相等A B考点二：空集1 .定义：不含任何元素的集合叫做空集,记为色2 .规定：空集是任何集合的子集.【题型归纳】题型一：子集、真子集的个数问题1. （2023秋贵州遵义高一统考期末）已知集合/= x|0x5,且xeN,则集合力的子

2、集的个数为（）A. 15B. 16C. 31D. 32【答案】D【分析】先求出集合A中元素的个数，再利用含有个元素的集合的子集个数为2，即可求出结果.【详解】因为/ = x|0x-1 05X（2） 集合4是偶数集，集合8是4的倍数集， 6 A.（3） = x|x2-x=0=0,1.在集合 3 中，当为奇数时，%=1+（；） = 0, 当为偶数时，x=l+（J）=i，/.5 = 0,1, ：.AB.22. （2023秋高一课时练习）设集合力=卜卜1%6, B = xm-l x 2m + ,已知8=/,求实数机的取值范围.【答案】制加2加+ 1,即加-2时 符合题意；当8/0时，由3力，借助数轴表

3、示如图所示.-1 m-12/71+1 6 xm l 2m +1则 7%-12 1,解得22m+1 6 、综上所述，实数m的取值范围是用|加-2或0。2 w1.【高分突破】一、单选题23. （2023春四川成都高一校联考期末）下面有四个命题：31何北3；若 a = 2 亚,B = xwRx22 + 后,则 q 8 ；若-a不属于n*,则a属于N*;若力=卜|歹=-= Ji - /卜 则/ = 8其中真命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【分析】根据子集概念判断，由元素与集合关系判断，化简集合4乃判断.【详解】由子集概念知3qx|x23正确；因为2后tz,若A三B ,

4、则。的取值范围为（）A. a2C. a0【答案】A【分析】先根据定义域求出Z = x|xN2,由/右8得到q的取值范围.【详解】由题意得上一220,解得x22,故4 = 小22,因为B ,所以q42.故选：A/ 、26. （2022秋四川攀枝花高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知集合力= W +,2 68 = |xx = gz , C = |x x = c + ,cg Z ,则 Z, B, C 之间的关系正确的是（）A. A = B ?C B. A = B = C C. A = B=CD. A B = C【答案】A【分析】化简各集合，明确各集合表示的数的特点，即可判断各集合的关系，即得

5、答案.由此可知集合43表示被3除余1的数再除以6的数的集合，集合C表示被6除余1的数再除以6的数的集合，故/ =故选：A 1k27. （2022秋山东东营高一利津县高级中学校考阶段练习）若关于x的方程一句+号的解集是空集，求左的 x-1x-1值（）A. k = 1 B. k = 0C. k = 1D. k = 5【答案】c【分析】先对方程进行整理，然后结合一次方程的解集存在条件可求. 1k1 _ k【详解】方程一i十号整理得Y=i, x-x-当1_左=0时，方程的解集为空集，显然成立；当1-左时，有女工1,解方程得x = 2-左显然不符合题意.综上k = l.故选：C.28. （2023 全国

6、高一专题练习）集合/ =卜上70,xwN*,贝lj 8 = 35 N* , ”/的子集的个数为（）A. 4B. 8C. 15D. 16【答案】D【分析】先求出A,再找出A中6的正约数，可确定集合8,进而得到答案.【详解】集合/ = 3-70, xeN* = x|x7,xeN* = 1,2,3,4,5,6,By-EN,yEA =1,2,3,故8有24 = 16个子集.故选：D.二、多选题29. （2023秋高一课时练习）已知集合4 = 0,2 = 1,加,若B =4则实数加的取值可以是（）C. 1D. 3【答案】AB【分析】利用子集的概念一一判定即可.【详解】由4 = 0,1,2,3 = 1,加

7、, BaA,得5 = 1,0或5 = 1,2.所以实数加的取值可以是0, 2,.故选：AB30. （2023全国高一专题练习）给出下列四个结论，其中正确的结论有（）A.0 = 0B.C.集合卜y = 2x,xQ是无限集D.集合川-1x2”N的子集共有4个【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合空集、子集的定义，以及z, Q的含义，即可求解.【详解】对于A：0是指不含任何元素的集合，故A错误;对于B：若asZ ,贝（J-qeZ,故B正确;对于C：有理数有无数个，则集合Hv = 2x,xwQ是无限集，故C正确;对于D：集合止1x2,xN = 0,1元素个数为2个,故集合xTx2,xeN的子集共有2

8、2=4个，故D正确.故选：BCD.31. （2021高一单元测试）集合= ! +N = xx = fnez9则下列关系错误的是（）3 66 3B. M = ND. M N【答案】ABD【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系. + 2表示整数，2+1表示奇数,故Nq,故选项A、B、D错误，选项C正确,故选：ABD.32. （2022秋湖南永州高一校考阶段练习）集合4xx0EI寸，可得& -,要使BqN, aq 0则需要: 2,解得0q2； -1、a 02当。0时，可得x.-一，要使Bq/,则需要（ 2 ja.1a解得 -2,。 0 ,综上，整数。可能的取值是故选：ABC.33

9、.（2021秋福建泉州高一校考阶段练习）下列各组中,尸表示相同集合的是（）A. = 3,-1,P = T,3B. M =x x= hi.n e Z,P =卜| x = 2 1 + 1 e Z C. A/ = yl y = +1,% e r / =卜| % = + ij rD. M =y =12_1/呼，尸=（1/）| j/ = x2-1,xgR）【答案】ABC【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.【详解】对于A,集合，尸含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合,A是；对于B,因为 eZ,则+ 1Z,因此集合P都表示所有偶数组成的集合，B是；对于 C,用

10、=9.=%2 +1,% wR = 1，+8）,尸=卜| X = J +1/ R =1,+8）,即于=尸,C 是；对于D,因为集合的元素是实数，集合P中元素是有序实数对，因此集合。是不同集合，D不是.故选：ABC三、填空题34 . （2023秋高一课时练习）若集合4 =乩。, 8 = 3厨，且力=8,则q + 6=.【答案】4【分析】根据集合相等，即两个集合的元素相同，即可求解.【详解】=集合43中的元素相同，故。=3,6 = 1,则 a + b = 4.故答案为：435.（2023 全国高一课堂例题）已知集合4 =卜卜-2,集合5 =卜卜2 x 8,则集合a与8的关系是【答案】B A【分析I根

11、据集合间的关系，可做出判断.【详解】解：在数轴上表示出集合4 B,如图所示，易知8 A.BT ,-2故答案为：B A.36. （2023全国高一课堂例题）设a, beR,若集合l,a +6,a = o,。，则/必十/023 =【答案】0【分析】由集合相等的定义，结合元素的互异性，分类讨论求出4力,进而可得到答案.【详解】由1,。+ 6,。=卜,2,，易知。0, awl,由两个集合相等定义可知6 = 1若 八八，得。=-1,经验证，符合题意;14 + 6 = 0若，由于QWO,则方程组无解，a-hb = O 、综上可知，a = 1, 6 = 1,所以/023 +62023 =（ 1）2023 +

12、 12023 = 0 .故答案为：0.37 . （2023秋高一课时练习）已知全集。=区，集合力x|x-1,3 = x|2qxq + 3,且3 则。的取值范围为.【答案】一；,+8）【分析】先求得金/ =次2-1,结合81张/，分3 = 0和5W0,两种情况讨论，列出不等式，即可求解.【详解】因为4 = x|x1,可得x|x21,当3 = 0时，即2q2q + 3,可得q23,满足BqaZ；2i + 31当8工0时，则满足。、，解得-7。-l2、综上所述，-1,即实数。的取值范围是-；,+8）. 乙乙故答案为：一j,十）38 .（2023全国,高一专题练习）给定集合5 = 123,4,5,6,

13、7,8,对于xeS,如果x + 1 eS,x-l eS ,那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有 个.【答案】6【分析】根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可.【详解】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有123,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,共有6个.故答案为：6.四、解答题39,（2022 秋四川高一校考阶段练习）设集合/ = x|/ + 3x + 2 = 0 , 5 = x|x2+（m + l）x + /n

14、 = 0.若8中有且只有一个元素，求实数m的值；（2）若8gz求实数加的值.【答案】1（2）m = 1 或 m=2【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意,建立方程，可得答案；（2）求得两个方程的根，利用集合之间的关系，根据分类讨论的思想，可得答案.【详解】（1）解法一：因为f+（加+ 1）%+加=0,整理可得（% + 1）（工+加）=0 ,解得产_1或工=一加，又3中只有一个元素，故2 = 1.解法二：3中有且只有一个元素，所以方程 +（2 + l）x + 2 = O有唯一实根，从而=（加+1）2 -42 =（加-1）2 =0,所

15、以 m,（2）由 f+3x + 2 = 0,解得 x= l 或 x = 2,由、2+(加+1,+m=0,整理可得(x + l)(x +掰)=0 ,解得x= l或工=一加，BJA,当加=1 时，B= - 1,满足当2 = 2时，B= -1, -2同样满足故加=1或m = 2.40. (2022上海高一专题练习)已知 aR, %eR,集合 Z = 2, 4, x2 - 5x+9, 6=3, x2+axa, C=/+ (+l) x - 3, 1.(1)当BQA Uj,求 q、x 的值;【答案】x = 22或(2)当8 =。时，求、x的值.x = 37 a =4x = -1或x = 3a =-2【分析

16、】由题意，根据集合之间的关系，建立方程组，可得答案.【详解】(1)V2e5,，/+。工+。=2 且/-51+9=3,27当 x=2 时，a =；当 x=3 时，a =.34(2) ,:B=C,即3, /+。 = /+ (。+1) %- 3, 1),两式相减得x=5+q,将 x=5+q代入 N+qx+q=i,可得/+8q+12 = 0,解得 q=-2或。=-6.当。=-2口寸，x=3；当 =-6 时，x=-l,x = -1a =-2(或v a = -641.(2022秋北京高一校考期中)已知非空数集设S(/)为集合力中所有元素之和，集合P(4)是由集合4的所有子集组成的集合.(1)若集合4 =

17、0,1,写出S (和集合尸(4)；(2)若集合力中的元素都是正整数，且对任意的正整数左二 123,.S(Z),都存在集合8P(Z),使得S(B) = Z,则 称集合力具有性质，若集合。=1,2,4,8,判断集合C是否具有性质阳，并说明理由.【答案】S (4) = 1, P() = 0,O,1,O,1；(2)集合C具有性质，理由见解析.【分析】根据定义求出S(4)和集合。(力)；(2)根据集合力具有性质”的定义判断【详解】（1）因为4 = 0,1,所以SQ） = O + 1 = 1,且力= 0,1的子集有0, 0, 1, 051,所以S（4） = l,尸（以=0,网，小0,1；（2）因为。=12

18、4,8,所以 S（C） = l + 2 + 4 + 8 = 15,且。=1,2,4,8的子集有0, 1 , 2, 4, 8, 1,2 , 1,4,1,8, 2,4, 2,8, 4,8, 1,2,4, 1,2,8, 1,4,8, 2,4,8, 1,2,4,8,集合尸（0为由C =1,2,4,8的所有子集构成的集合，因为 S（1） = 1, S（2） = 2, 5（1,2） = 3, S（4） = 4, 5（1,4） = 5, S（2,4） = 6, 5（1,2,4） = 7, S（8） = 8, S（1,8） = 9, S（2,8） = 10, S（1,2,8） = 11, S（4,8） = 1

19、2, S（1,4,8） = 13 , S（2,4,8） = 14 , S（1,2,4,8） = 15 , 对任意的正整数左=1, 2, 3, l , 15,都存在集合使得S（3） =左，即对任意的正整数后= 1,2,3,.S（C）,都存在集合8eP（C）,使得S（5）=左,所以集合。具有性质若M有三个元素，则235 满足题意的集合M的个数为6个.故选：B.3 .（2022高一单元测试）已知集合4 = &|犬3x + 2 = 0,8 = * | 1 x 5,x e N,则满足/ q C 0 8的集合。的 个数为（）A. 4B. 7C. 8D. 15【答案】B【分析】由题知 = 1,2, 3 =

20、0,1,2,3,4,进而根据集合关系列举即可得答案.【详解】解：由题知4 = |%2-3% + 2 = 0 = 1,2, 3 = ”-11, B = xxa9若AB,则。的 取值范围为（）A. （-oo,3） B. （f 3C. （3,+oo）D. 3,+oo）【答案】B【分析】利用集合的子集关系求解.【详解】因为/= 中3, B = xxa,且/C所以故选：B5 .（2022秋河北石家庄高一校考期中）设4 = x|2Wx5, B = x2a x a + 3 9若/ =则实数。的取值范围是（）A. q|1q2或2q3B. q|q1C. a2a3D. 0【答案】D【分析】根据集合的包含关系，列不

21、等式组求解即可.2a 2【详解】因为/58,所以+ 325 ,此不等式组无解.2q -3 D. |一3或 =2【答案】A【分析】解出集合A、B,由5=/可得出关于实数。的等式，由此可求得实数。的值.【详解】由题意知集合4 =卜卜2 + 3-4= 0卜-4,1,对于方程12+（4 + 1卜一（4 + 2）=0 ,解得玉=_q_2, x2 =1.因为/.当一4 2 = 1时，即Q = 3时，B=A成立;当一 q 2w1时，即当qw3时，因为8右，贝|一。一2 二 -4,解得q = 2.综上所述，。的取值集合为-3,2.故选：A.题型三：根据集合相等关系求参数7. （2022秋四川宜宾高一四川省宜宾

22、市第四中学校校考期中）已知a挝R,b R,若集合上,*1 = a?,。+ 贝|2。22+/。23的值为（）A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】B【分析】根据两集合相等，对应元素相等，然后列出方程求出b即可得到结果.【详解】因为1 = /,。+仇0I”。a仙=0 0 = 0所以有= a +解得或|、a = la = -la2=I 当。=1时，不满足集合中元素的互异性， 故 Q = _l,b = o则/022 +/S=（一1）2022 +0 = 1故选：B.8. （2020秋湖北武汉高一校考期中）已知a, b为实数，集合/=集合8 = /,_i,o,若4 = 3 ,则实数/+。2。的值是（

23、）A. -2020B. 0C. -1D. 1【答案】C【分析】根据集合相等得到方程组，求出。力的值，即可得解；【详解】解：因为集合/集合8 = 力,1,0,且4 = 3,但二。a所以 =一1,所以6 = 0,。= 一1,a2=1 X.所以/ +/20 = （-1户21 + （）202（） =1 .故选：C.9. （2020秋河北衡水高一校考期中）已知集合力=2, -1, B=m2_m,一1,且/ =3,则实数机的值为（）A. 2B. -1C. 2 或一1D. 4【答案】C【分析】根据集合相等列方程，解出，的值即可.【详解】*A B, /.m2m 2,即 /m 2 = 0, m 1.故选：C【点

24、睛】本题考查集合相等，属于简单题.题型四：与空集有的集合问题.（2019秋河北张家口高一河北省尚义县第一中学校考期中）如果4 =卜|。 办+ 10=0 ,则实数的取值范围 为（）A. 0。4 B. 0a4C. 0a4D. 0a4【答案】B【分析】可分为Q = 0, QW0两种情况具体讨论【详解】4 = x|ax2-办+ 1。 = 0,当4 = 0时，A = 0 ；当时，需满足对应的AMO,即a?4q0,解得a c（O,4,综上所述，故选：B【点睛】本题考查根据空集情况求解参数，属于基础题11. （2020秋广西玉林高一校考期中）设集合/=x| 3WxW2, B=xk-x2k + ,且则实数上的

25、取 值范围是（写成集合形式）.【答案】kk-2-2k2左+ 1,左一 1K2k+ 1解得左 2或2 k 2故答案为：kk-2-2k 212. （2021秋上海浦东新高一上海市进才中学校考阶段练习）关于x的不等式组的解集为0,则实数。的x 3。+1取值范围为.（n【答案】-【分析】由题意得23 + 1,解不等式即可得出答案.【详解】由题意得：23q + 1,所以。.故答案为：f-005-.题型五：集合的基本关系的综合13. （2023,全国高一专题练习）已知集合 4 = x|2a + l WxW3q 5 , 8 = x|x16.若A为非空集合，求实数。的取值范围；（2）若求实数。的取值范围.【答

26、案】（1）qN615（2）q6或a一 2【分析】（1）由条件可知，2a + l6；（2）若则/右笈，当 4 = 0 时，2g + 13q 5,解得：a6,2。+1 K 3。- 53-5-1,解得：或 1615 a 2所以实数。的取值范围是。6或。14. （2023 全国高一专题练习）设集合力=卜i=o, B = xx2-axb = 0,且（1）若求实数。力的值；（2）若4 =。，且。=1,2加+ 1,小,求实数机的值.【答案】（1）。= 0, b=-1（2）加=0或1【分析】（1）先化简集合A ,再利用集合交集的定义求解即可；（2）利用集合交集的定义结合集合元素的互异性求解即可.【详解】（1）

27、由-1 = 0解得、=1,所以力=1,一1,因为/ = 所以1,-1是集合8中元素，一Q+b=0所以将x = l代入，一 工+ 6 = 0得,解得。=0, b-.1 + q + 6 = 0（2）因为ZqC,由（1）得1,-1是集合。中元素，当2加+ 1 = 1即加=0时，此时。=一14,0符合题意；当/=1时，加=1,此时。=一1,3,1符合题意；加=-1,此时不满足集合元素的互异性，舍去；综上2 =0或1.15. （2022秋广东东莞高一东莞实验中学校考期中）设集合4 = x-lx + l06,8 = H2-lxm + l.（1）当xeZ时，求A的非空真子集的个数；（2）若3 = 4,求加的

28、取值范围.【答案】（1）254T4【分析】（1）由题得力=卜|-265 = -2,-1,0,123,4,5即可解决.（2）根据5/得,m +1 -2即可解决.【详解】(1)由题知，A = x-2x59当xeZ时，力=%卜24.45 = -2,_1,0,2,3,4,5共8个元素,：.A的非空真子集的个数为2 -2 = 254个；(2)由题知，4 = x|-1 Wx + 16,8 = H2-1x2 + 1显然2-1 m + 1 ,因为5g 4 ,m + 1 -2所以实数机的取值范围是【双基达标】一、单选题16. (2023秋高一课时练习)设集合4 = -11,集合3 = 中2-2+ 6 = 0,若

29、3/0, B=A,则(/)不能是( )A. (-1J)B.C. (o,-l)D. (1,1)【答案】B【分析】根据子集的概念，代入选项一一验证即可.【详解】当时，B = xx2+2x + = 0B = -,符合题意；当Q =6 = 1时，5 = x|x2-2x + 1 = 0=5 = 1,符合题意；当 Q = 0,6 = -1 时，8 = 小2_i = o = b = ti,符合题意；当 Q = _l,/)= 0 时，8 =12+21=0 = 8 = 0,2,不符合题意.故选：B17. （2023秋高一单元测试）设集合力=何-2xl, B = xx2B.C. aaD. aa21 Q1 x有12

30、1,所以422.故选：A18. （2023春河北石家庄高一校考期中）若= 也0,则（而严2的值是（）A. 0B. 1C. -1D. 1【答案】B【分析】根据集合相等列出方程组，求出。力，检验是否满足元素互异性，最后代入求解.!?2:或=,b = -l a = -lq = 0 a = a = 0由得入或入 r其中入与元素互异性矛盾，舍去，n = -1 b = -lb = -a 6 一符合题意,b = 由得a-,符合题意, 两种情况代入（h了22 = （一1）2。22 =1，答案相同.故选：B19. （2023秋高一课时练习）下列集合中表示同一集合的是（）A. A/ = （3,2）, N = （2

31、,3）B. = 4,5, N = 5,4C. M=（x/）k + y = l, N = yxy = i D. M = 1,2, TV = （1,2）【答案】B【分析】根据集合相等的概念逐项判断即可.【详解】对于A,（3,2）,（2,3）表示不同的点，故A不正确；对于B,集合45与集合5,4相同，故B正确;对于C, M为点的集合，N为数的集合，两者不相同，故C不正确;对于D, N为点的集合，为数的集合，两者不相同，故D不正确.故选：B.的取值集合20. （2023高一课时练习）已知集合4 =卜|2/一、一3 = 01 =卜|仆2-、-3 = 0,若B = A,则实数c 为（）A. 2B. 2,0

32、C.D.I 12J J【答案】D【分析】根据一元二次方程解的情况，结合子集关系，即可分类讨论求解.【详解】/ = 媪2幺一工一3=0 =，一1上|,由于8从 故8 = 0时，则awO且D = 1 + 12q0D a-谈此时人-6,不合题意,舍去;3中的方程为一元一次方程，则4 = 0,则x = -3,则B = -3,此时不符合8右/,舍去,当8 =4时，则Q = 2符合题意，综上可知：。=2或。 ，12故选：D.21. （2023全国高一课堂例题）指出下列各组集合之间的关系： (1) = (x -1 x 51 , B= 1x|0 x 51 ；(2)力=X x = 2n,n e Z,(3) A = xx2x = 0x+（T）【答案】(1)8 AQ)B A4 = 8【分析】（1）利用数轴即可判断集合关系;（2）利用集合所表示的含义即可判断；