一致收敛判别法总结.docx

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1、荏求伊貂夫学学年论文题目：一致收敛判别法总结学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：张学玉学 号：学 1071010374指导教师：陶菊春一致收敛判别法总结学生姓名：张学玉 指导教师：陶菊春摘要：函数项级数一致收敛性的证明是数学分析中的难点,为了开阔思路,更好的理解和掌握函数项级数一致收敛的方法,本文对函数项级数一致收敛的儿种判别法进 行了分析、归纳、总结。首先对用定义判断函数项级数一致收敛的方法进行了研究，介绍了函数项级数一致收敛的充要条件，近而提供了证明函数项级数一致收敛的一般 方法。同时介绍了几个较为方便适用的关于函数序列一致收敛的判别法法。并通过例题的讨论说明这些判别法的可行

2、性及特点。Abstract： Function Series Uniform Convergence prove mathematical analysis of the difficulties, in order to broaden their thinking, to better understand and master the functions Seies Convergence approach, this paper uniformly convergent series of functions of several discriminant method were an

3、alyzed, summarized, summary. First, determine the definition of series of functions with uniform convergence methods were studied, introduced uniformly convergent series of functions necessary and sufficient conditions, while providing nearly proved uniformly convergent series of functions of the ge

4、neral method. Also introduced several relatively easy to apply uniform convergence on the discriminant function sequence Law Act. And through discussion of examples illustrate the feasibility of these discriminant method and characteristics. 关键词：函数项级数；函数序列；一致收敛；判别法Keywords: series of functions; func

5、tion sequence; uniform convergence; Criterion引言：函数项级数一致收敛性的证明是初学者的一个难点,教材中给出了用定义法、定理及判别法来证明函数项级数的一致收敛性。初学者需用灵活的思维以便在使 用时选出正确又快捷的证明方法和技巧。为了更好的培养我们这方面的能力，总结出了函数项级数一致收敛性的若干证明方法。一、定义设 田 是函数项级数 目 的部分和函数列.若 日 在数集臼上一致收敛于函数叵，则称函数项级数 目 在回上一致收敛于函数叵1 ,或称函数项级数目在回上一致收敛.定理：若对习3, 3日0使得1 ，并且当Ll时有目.则当例1：若区在叵上可积,，且日与

6、叵在叵上都可积.设，则在叵I上区一致收敛于证明:时,H 一致收敛于S .二、函数项级数一致收敛的柯西收敛原理函数项级数 区|在回上一致收敛的充分必要条件是对于任意给定的 0,存在正整数，使nN与一切x W回成立.一切x W回成立.证明：（必要性）设 区|在回上一致收敛.记和函数为叵，则对任意给定的0, 存在正整数 .使得对一切nN与一切回成立于是对一切mnN与一切xE S ,成立（充分性）设对任意给定的可0,存在正整数 ，使得对一切mnN与一切 回 成立固定目，则函数项级数 区I满足可惜收敛原理，因而收敛。设在日中，固定n.令ma，则得到对一切回成立.因而区|在回上一致收敛于0可以相应的得出函

7、数序列一致收敛的柯西收敛原理：I X |nN时,对一切 回，都有例2：若在区间目上，对任何正整数n,. 证明：当 日 在目上一致收敛时，级数 目证明：因为 目 在日上一致收敛.故对任给的可0,总存在N0,使得当nN时,对任意 臼 及任意从而由所以，由柯西准则知，级数KI在习上一致收敛.三、设函数序列 目 在集合回上点态收敛于3，定义叵与叵的距离为EH = x 则 目 在回上一致收敛于叵的充分必要条件是：x =0.证明：设 目 在回上一致收敛于叵，则对任意给定的可0,存在 WJ ,当n回时,I x 3 ,X习 0,存在 目 ，当n回时,目 3, 此式表明X】a.对一切目成立. 所以 目在回上一致

8、收敛于a .例3：设叵=叵，则目在日上收敛于极限函数目.证明：由于= a 等号成立当且仅当 s .可知因此 国在日 上一致收敛于 日 .例4:证级数 因在 日 上不一致收敛但在 日 上内闭一致收敛.证明： X=x = X I =J ,知道级数国在日不一致收敛. 对任意（03回，回 时，有 x1,则函数项级数 目 一致收敛.证明：正项级数叵收敛对任意的可0存在回，当n回时,对任意的日有故对任意的回，有函数项级数I X 一致收敛例5：函数项级数 叵（al）在0, +回）上一致收敛.证明：记 回二日，则日二日 日.于是容易知道国在叵1外达到最大值区I ，即由于al,正项级数 叵 收敛.由魏尔斯特拉斯

9、判别法S （al）在0, +回）上一致收敛.五、阿贝尔判别法:以在区间目上一致收敛;（H）对于每一个 目, 目 是单调的;叵在日上一致有界，即对一切 叵和正整数w,存在正整数回，使得则级数则级数在过上一致收敛.证明：由（I ）,任给日0,存在某正数回，使得当习冈及任何正整数回，对一切 臼，有乂由（II） , （HI）及阿贝尔引理得到于是根据函数项级数一致收敛的柯西准则，得级数在可上一致收敛.例6：设区收敛，则 a 在a上一致收敛.证明：显然关于可单调，且叵，口.对一切可成立；区 是数项级数，它的收敛性就意味着关于W的一致收敛性.由阿贝尔判别法，得到 a在叵I上一致收敛.六、狄利克雷判别法:设（

10、I） 闫的部分和函数列在可上一致有界;（II）对于每一个 臼, 叵是单调的;（ill）在可上 日 一致收敛于o 目 ,则级数 I X |在日上一致收敛.证明：由（I ）,存在正数S,对一切 回,有 W.因此当也为任何正整数时,对任何一个 臼 ，再由（H）及阿贝尔引理，得到再由（川），对任给的习0,存在正数回，当回回时，对一切 臼，有所以于是由一致收敛性的柯西准则,在目上一致收敛.例7：设a单调收敛于o,则 a与国 在回上内闭一致收敛.证明：数列a收敛于o,意味着关于可一致收敛于0.另外，对任意可日回由狄利克雷判别法，得到在1 X | 上-一致收敛,故国与3 在臼上内闭一致收敛.七、设函数序列

11、日 在闭区间 a 上点态收敛于 a，如果国 I X 在叵上连续；（1） 叵在区I上连续；日关于日单调，即对任意固定的日,日是单调数列.则 目在国上一致收敛于 3 .证明：用反证法。设国在 a 上不一致收敛于 a，则3 a 0 a, a 3依次取:田，3 01,回，回回 日，目叵aLJI x ，回回 叵,可国 3 ：于是得到数列a , 三I .由威尔斯特拉斯定理知，数列a必有收敛子列.为了叙述方便,不妨设目 国土田.由于 ,所以对习0,存在回，成立由条件（1）与， ri 在 日连续，由于目 目 ，存在正整数回， 使 xi 回与习回时，- X .回，于是成立I I 0, a a, 3成立此即说明

12、S 在a 一致收敛.因此 0 在a上连续.由于 x 的任意性,即得到 区|在叵上连续.参考文献1、华东师范大学.数学分析M.北京：高等教育出版社,20102、复旦大学.数学分析M.北京:高等教育出版社,20043、裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出 版社，1993指 导 教 师 预 评 评 语指导教师职称预评成绩年 月日答 辩 小 组 评 审 意 见答辩小组评定成绩答 辩 委 员 会 终 评忌 见答辩委员会终评成绩答辩小组组长（签字）：年 月曰答辩委员会主任（签章）：年 月曰及学术说明：L成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、 格、不及格。2.评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、 观点及论证有无错误等。