教案六：正弦定理、余弦定理(四).docx

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1、教学时间 第四课时 课 题 5 9. 4正弦定理、余弦定理（四）教学目标 （一）知识目标1 .三角形的有关性质；2 .正、余弦定理综合运用. （二）能力目标1 .熟练掌握正、余弦定理应用；2 .进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质；3 .综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题. （三）德育目标通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了 事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.教学重点正、余弦定理的综合运用.教学难点1 .正、余弦定理与三角形性质的结合；2 .三角函数公式变形与正、余弦定理的联系.教学方法 启发式1 .启发学生在

2、求解三角形问题时，注意三角形性质、三角公式变形与正弦、余弦定理产 生联系，从而综合运用正弦、余弦定理达到求解目的；2 .在题设条件不是三角形基本元素时，启发学生利用正、余弦建立方程，通过解方程组 达到解三角形目的.教具准备投影仪、幻灯片第一张：正、余弦定理内容（记作5.9.4 A） a h c 正弦定理：=sin A sin B sin C余弦定理：a2 =b2 +c2 -2Z?ccos A, h2 = c2 +a2-2cqeos民 c2 = a2 +b2 - 2abcosC.A b2 +c2 -a2 cos A =,2bc c2+2b2 cosn =,2ca a- +b- -a cosC =

3、-lab第二张：例题1、第记作5.9.4 B)例1在阿中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角 形的三边长.例2如图，在比中，相=4cm, 4C=3cm,角平分线助=2cm,求此三角形 面积.A第三张：例题3、4(记作5.9.4 C)例3已知三角形的一个角为60。，面积为106cn?,周长为20cm,求此三角形的各边长.例4在比中，AB=59 AC=39为BC中点，且4=4,求BC边长.教学过程I .复习回顾师：上一节课，我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断 三角形形状时的应用，这一节，我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质 来求解三角

4、形问题.首先，我们一起回顾正、余弦定理的内容(给出投影片5.9.4 A).II.讲授新课师：下面，我们通过屏幕看例题.(给出投影片5.9. 4 B)例1分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建 立边角关系.其中sin2。利用正弦二倍角展开后出现了 cos。，可继续利用余弦定理建立关 于边长的方程，从而达到求边长的目的.解：设三角形的三边长分别为x, x + 1, x + 2,其中*N*,又设最小角为明则x _ x + 2 _ x + 2sina sin2a 2sinacosax + 2，cosa =2x又由余弦定理可得 d= ( x + l) 2+ ( x+2) 2

5、2 ( x + 1) ( x+2) cos。 将代入整理得：x2 3 x -4 = 0解之得xi = 4,口=1 (舍)所以此三角形三边长为4, 5, 6.评述：(1)此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方 程；(2)在求解过程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向学生强调三角公式的工具性作 用，以引起学生对三角公式的重视.例2分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式需求出sin4而力回面积可以转化为SS狼，而S力比A=AC ADs i n ， SIAAAB AD sin ，因此通过S力比=S力笈+ Sadb建立关于含有sin/, sin 的方程，222sin

6、J=2sin cos 22解:在28。中,sin2一+cos2一=1,故sin力可求，从而三角形面积可求.22S .仍C= S.仞S A/1ZJC,11A|14A AB9ACsixA= AC9ADsin+ AB ADsin 22222/. 4 3sin/= 223 2sin 2.6sin/=7sin 2.19 . AA_A222.A . A_ 7 sin六。 cos2212A又0/ 冗A0 22.,=二工叵,2 V 212,sin/=2sin4cos4 =返2272_ 1 S &BC=一 2 4 3sin/=779512(cm2).评述:面积等式的建立是求sin力的突破口，而sin/的求解则离

7、不开对三角公式的熟悉. 由此启发学生在重视三角形性质运用的同时，要熟练应用三角函数的公式.另外，在应用同 角的平方关系si!?。+cs2q=1时，应对角所在范围讨论后再进行正负的取舍.（给出幻灯片5.9.4 C）例3分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本 元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于 边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60角的 余弦，其二可用面积公式S他=Hsin。表示面积，其三是周长条件应用.2解：设三角形的三边长分别为队氏c,夕=60。，则依题意得COS60O-2+L* 2

8、ac Qcsin 60 = 1 oV3 2a + b + c = 20a + b + c = 20/. b2 a2 +c2 -acac = 4Q由式得：值=20 (a+c) 2=400 +才+2+2ac40 (a+c)(4)将代入得400 + 3ac40 (a+c) =0再将代入得a+c=13,a + c = 13,_ZI=I = 5 = 8由 c解得 c或 ，ac = 40 q = 8 c2 = 5；/?i = 7, bz=7所以，此三角形三边长分别为5cm, 7cm, 8cm.评述：(1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦 形式的面积公式的应用.(2)由条件

9、得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路， 以提高自己的解方程及运算能力.例4分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设理为了x后，建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时71应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为为%中点，所以 y BD、。可表示为橙，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立 / / I 方程./ /X解：设比边为X,则由为回中点，可得做=%= ,2在厉中,cosADB=42+(-)2-52 22x4x 42+(-)2-3222x4x 22AD2+ DC2 -AC在中，cosADC=2ADDC又/必+NC=180。：.cos

10、ADB= cos (180 / ADC) =-cos ADC.42 +(-)2 -5242 +(-)2 -322_2 2x4x2x4x22解得，x=2所以，回边长为2.评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数 这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.另外，对于本节的例2,也可考虑上述性质的应用来求解sin4思路如下：由三角形内角平分线性质可得”=殷 =9,设BD=5 k, DC=3 k,则由互补角NAC DC 3ADC. /座的余弦值互为相反数建立方程，求出比后，再结合余弦定理求出cos4再由同 角平方关系求出si nA师：为巩固本节所学的解题方法，下

11、面我们进行课堂练习.IIL课堂练习L半径为1的圆内接三角形的面积为0.25,求此三角形三 边长的乘积.解：设A ABC三边为a, b,。,则S,收=csin B2 Sbc _ ocsin B _ sin B abc 2abc 2b又一= 2R,其中彳为三角形外接圆半径 sin B748c _abc 4R abc= AlRSabc4X1X0. 25 1所以三角形三边长的乘积为1.评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：= = 2R,其中为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式 sin A sin B sin CSMc=acsin5发生联系，对“A进行整体求解.22 .在中，已

12、知角8=45。，是 比边上一点，/=5, 47=7, DC=3,求/笈解：在4%中，AC2+ DC2 -AD272 +32 -5211c g，3 2 AC DC_ 2x7x3 - 14又 0VCV180。14AC AB在欧中,sin B sinCsinC5a/3 r- _ 5/6Z. AB=AC = J2 7 = .sin 8142评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、 余弦定理的综合运用.353 .在46。中，已知 cos/= , sinB=一 ，求 cos。的值.5133 V2解：VcoS74= =cos45 ， 0/ 52A45 A9Q.4s in/

13、=一5Vsin= -=sin30 ，0B Jr13 2AO 30 或 150。180。与题意不符.0 B30 cosB=一13/ 、3 12 4 516/.cos A+B） =cosJ cos?sin/ sinB=5 13 5 13 65又=180。 - （4+夕）.6二cosC=cos 180 （/+方）=-cos （4+6）=.65评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体 确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的 三角函数值进行比较.IV .课时小结师：通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，

14、综合运用了 正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断 提高三角形问题的求解能力.V .课后作业（一）书面作业1 .课本P132习题5.9 5.2 .在三角形中，三边长为连续自然数，且最大角是钝角，那么这个三角形的三边长分别 为.答案：2, 3, 43 .已知方程a （1- d） +2bx + c （1+ d） =0没有实数根，如果司、b、c是 的三条边的长，求证比是钝角三角形.（二）1.预习内容课本P 132 P 133解斜三角形应用举例.解斜三角形在实际中有哪些应用？实际中的解斜三角形问题如何转化为纯数学问题?板书设计 5 9. 4正弦定理、余弦定理（

15、四）1 .常用三角公式2.三角形有关性质3.学生练习sin2/+cos2/= 1面积公式 S= absinC2sin24=2sin/cos/角平分线定理sin （/+方）=sin/cos8+cos/sin8 互补角正弦值相等cos2/=l2sin2/互补角余弦值互为相反数备课资料1 .正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin2/l=sin2+sin2C - 2sin 8sin6bos4这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明 之.例 1在中，已知 sin%sir?。一sir?力=g sin/sinC,求 8 的度

16、数.解：由定理得 sisin+sin22sin/lsin6cos7?,/. 2sinJsin6cos7?=百 sin/sinCV sin/lsin670,b也.cos 24=150。例 2求 sir？lO。+cos240 +sinlO cos40 的值.解：原式= sin210 +sin250 +sinlO sin50在5324=5山28+532。-253康州必05/中，令夕=10 , 0=50 ,则4=120 .sin2120 =sin210 +sin250 -2sinl0 sin50 cosl20J33= sin210 +sin250 +sinl0 sin50 = () 2=.24例3在力

17、比中，已知2cos夕sinC=sin4 试判定力%的形状.解：在原等式两边同乘以sin/得：2cos8sin/sinC=sin%由定理得sinM+sir?。一sir?B =sin2J,A sin26?=sin22?=C故力理是等腰三角形.2. 一题多证例4在中已知a=2Aos求证：为等腰三角形.证法一：欲证/比为等腰三角形.可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边b o m A元素，使只剩含角的三角函数.由正弦定理得己=sin Bb s 1n tA.2bcosC=，艮 2cosc sin8=sin/=sin (8+C) =sin及osC+cos8sinCsin B, sin 氏 os。一c

18、os 咫 inC=0即 sin (B C) =0,/. B C= n ji(金 Z ).,:B、。是三角形的内角，：.B=a即三角形为等腰三角形.证法二：根据射影定理，有abcosC-ccosB,又 V a=2bcosC2bcos C= ZtcosC ccosB.A日“ cosB. bcsC= ccosB,即=.c cosCZ? smB乂 一二-c sin Csin B cosB nn=,即 tan=tan。sin C cosC：B、。在中，：.B=C45T为等腰三角形.22227 22、十、上一ci + b - C力Cl+ hC Q .八,.一/口 7;证法二：cosC=及cosC = 一，.二=一，化间后得l)=c.Iba2b lab 2b/. b= c4比是等腰三角形.教学后记