第一课时 奇偶性、对称性与周期性.docx

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1、第3节 奇偶性、对称性与周期性考试要求1 .理解函数奇偶性的含义.2,了解函数的最小正周期的含义.3.会利用 函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.知识诊断基础夯实【知识梳理】1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数大%)的定义域为/,如果VxG/,都有一%且*%) = (%),那么函数x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数兀X)的定义域为/，如果VxG/,都有一 且Ax)=一q),那么函数x)就叫做奇函数关于原点对称2 .函数的周期性(1)周期函数：对于函数y=/a),如果存在一个非零常数T,使得当工取定义域内 的任何值时，都有人x+7)=Ax)

2、，那么就称函数y=/U)为周期函数，称T为这个 函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数人x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小正数就叫做人了)的最小正周期.常用结论1 .函数周期性的常用结论对./(X)定义域内任一自变量的值X：(1)若7U+q)=-/(x),贝T=2om0).(2)若/U+a)=/(),则 T=2a(a0).(3)若於+)=-/(；),则 7=2加0).2 .对称性的四个常用结论(1)若函数y=/(x+。)是偶函数，则函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若函数y=/(x+b)是奇函数，则函数y=/(x)的图象关于点S，0)中心对称.+ 2)为偶函

3、数，则下列结论正确的是()A次兀)中3)/(6)BJ(兀)V/(6)/(3)D：/(啦) 火兀) 八3)微点突破C.及心)刎答案c解析.,y=/(x+2)为偶函数， ，y=/(x)的图象关于x=2对称， .优+2)= 危+2),/3)=/,#兀)=八4一兀).V04-7t14)小，火也)兀).r抽象函数我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,一般用尸危)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义 域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体. 解决这类问题一般采用赋值法解决.一、抽象函数求值例1 (1)设函数y=/a)的定义

4、域为(0, +8),人孙)=#x)+/(y),若式8) = 3,则/(6) (2)已知定义在R上的函数人幻满足#1)=1,且“r+y)=/a)+%)+l,则*4)=解析(1):-8)=3,.爪2 X 4)=犬2) +八4)=犬2) +式2 X 2)=犬2) +犬2) +式2) = 3/(2) = 3,(2)=LV/2)=XV2 X6=及肉+淤厉:2蒋),；2点)=1,；册)=三令尸y=l,则12)=#1)+11)+1 = 3.令=y=2,则14)= 式2)+犬2)+1=7.二 抽象函数的性质例2(多选)(2022.威海调研淀义在R上的函数段)满足於+历=%)+)，当x0,则函数八%)满足()A

5、./(0)=0B.y=/(%)是奇函数在1，2上有最大值式2)D./(%l)0的解集为答案ABD解析令x=y=0,则10)=纨0),故人0)=0, A正确；令y = %,则穴0)=段)+次x)=0,即危)=Ar)，故函数危)为奇函数，B 正确；设尤1%2,则 X20,即/(Xl)+y(%2)=火1)_/(九2)0,即人)八%2),故函数x)为R上的减函数，於：)在1,2上的最大值为人), c错误；/(X1)0等价于1)40),又1%)为R上的减函数，故%1V0,解得XVI, D正确.(2)(2023绍兴质检)已知x)是定义在区间(0, +8)上的增函数，且用=x)/b),火2)=1,如果满足兀

6、0士W2,则无的取值范围为.答案(3, 4解析.)=#%)%),外)+娟=段).在上述等式中取X=4, y=2,则有犬2)+犬2)=式4).又.7(2)=1,优4)=2,.0)-占k2可变形为3)力4).又人犬)是定义在区间(0, +8)上的增函数,x(尤一3) W4,卜0,解得 3Vx0,故x的取值范围是(3, 4.训练 函数 段)的定义域为D=xx09且满足对于任意XI,有段1X2)=%1)+% 2).(1)求#1)的值；(2)判断y(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果14)=1, /(X1)2,且人犬)在(0, +8)上是增函数，求x的取值范围.解(1)因为对于任意XI, X2D9有

7、火如次2)=/(为)+大改)，所以令X1=X2=1,得犬1)=1), 所以yu)=o.(2求幻为偶函数.证明：令 XI =X2 = 1,有/0)=八-1)+4一1)，令 X= - 19 X2=X9有人一x)=Al)+“x)，所以八一%)=/(%),所以1%)为偶函数.(3)依题意有1 4X4)=/(4)+/(4)=2,由(2)知，段)是偶函数,所以兀r 1)2=火仅一 1)916).又大%)在(0, +8)上是增函数.所以 0|x-l|16,解得一15VxV17 且 xWL所以x的取值范围是R150时，段)=2%若12) +10)=1,则 1A 3) = ()A.4B. 3C.-2D.l答案A

8、解析因为凡x)是R上的奇函数，所以/0)=0.又因为12)+八0)=1,所以7(2)=45= 1,解得=6,A 所以,/(X)= 2x 0),4 .(2023长沙模拟)已知函数段)为奇函数,g(%)为偶函数,且*x)ga)=eL则/ (1)77n)D.l+e?1 e2e2+1A.1 e2Cl+e2答案C 解析 因为函数x)为奇函数，g(x)为偶函数，且“)g(x)=e则八 T)g(一1)W，即一Al)g而/(l)g(l)=e,e、左刀/口1(e?11 (1、e2+1联卫解传川)=leg=_次+弓|=一丁，所以/ (1)1e2g (1)1 +e2,5 .已知函数/U)满足对于任意的实数x,都有/

9、U+2)=Jy，且人1)=3,则42 I X ZJ025)=()B,3D.1ac.-i答案B解析由_/U+2)二一八上得八%)的周期 7=4, #2 025)=/(506)0 的的取值范围是()A.x|xlB.x|-lx 1D.xlx 1答案c解析,当尤(0,+8)时，加)=%1单调递增，又：)为偶函数,故可以作 出力)的大致图象如图所示.由图象可知，若危)0,则 x 1.7 .(2023宁德模拟)已知人X)是定义在R上的奇函数，且对任意的xR都有兀x+2) =一/0，当 x0，2时，“xOnf+Qx+o,则。+等于()A.OB.-1C.-2D.2答案c解析 因为式%)是定义在R上的奇函数，且

10、 x0, 2时，f(x)=+ax+b9所以共0)=b=0, A-x)=-.又对任意的xR都有x+2)=/(x),所以/(x+2)=A%),所以函数图象关于直线X=1对称，所以一3=1,解得。=2,所以 a-b=-2.8 .已知函数y=/(%)是定义在R上的奇函数，则,/(x)无最小值的充分条件是()A.x)在(0, +8)内没有最大值B%)的图象关于点(1, 0)对称C/U)的图象关于直线X=1对称D.火工)的图象关于点(1, 1)对称答案D解析对于A,反例如图所示.对于B, r) = sin (心)，段)为奇函数且图象关于点(1, 0)对称，存在最小值，B错 误；对于C, /(x) = si

11、nf?x x)为奇函数且图象关于直线x=l对称，存在最小值，C错误；对于D, ,0,则42 024)=.答案一2解析 当 x0 时，/U)=/(x2),.，Xx+l)=Xx)-l),+得 y(x+1)=/(x2).则1%) = -/(%3)=次%6),JU)的周期为6,.m2 024) =#337 X 6+2)=/(2) =/( 1) /(0) =/(0) -/( 1)-/(0) = -/( 1) = 2.11 .已知函数人幻二好一加+旅+1的图象关于点(0, 1)对称，且/(1)=4,贝！J ab答案一1解析因为人犬)关于点(0, 1)对称，所以1%)+人一%)=2,故式1)+八-1)=2,

12、即 1a-b-1+(1)ab- 12,解得4=0,所以H%)=2 +区+1,又因为了(%)=3%2+乩所以/(1) = 3+6=4,解得 b=l,所以 ab 1.12 .已知定义在R上的函数,%),对任意实数%有x+4)=/(x),若函数兀r1) 的图象关于直线尸1对称，五-1)=2,则|2025)=.答案2解析 由函数1)的图象关于直线1=1对称可知，函数x)的图象关于y 轴对称，故犬犬)为偶函数.又由穴%+4) = -/(%),得大%+4+4) = x+4)=/(%),.7A%)是周期为8的偶函数，/(2 025)=/1+253 X8)=/(l)=/(_ 1) = 2.【B级能力提升】13

13、.(2022荷泽二模)已知定义在(-8, 0)U(0, +8)上的奇函数 危)在(一8, 0) 上单调递增，目满足八- 1)=0,则关于的不等式x)Vsinm的解集为()A.(8, -1)U(1,+8)B.(1, O)U(1, +8)c.(8, -1)U(O, 1)D.(-l, 0)U(0, 1)答案C解析:危)为(一8, 0)U(0, +8)上的奇函数,由此可在坐标系中画出y=f(x)与y=sin tlx的大致图象，如图所示,2：/4= Sin 7TX由图象可知，当X6( 8, -1)U(O, 1)时，x)2)成立，则函数x)=.(写出一个符合条件的答案即可)答案(%2)2(答案不唯一)解析

14、由.*2+%)=*2一%)知，,穴%)的图象关于直线=2对称，由对任意了iR,均存在126R使得犬%1)=次%2)成立知，函数值域为(-8, 0或0, +8)或全体实数，所以火%)=(%2)2符合要求(答案不唯一).2x 1_16 .已知函数y=/(x+l) 2为奇函数，g(x)=i,且/U)与g(x)的图象的交点分 XJL别为(XI, yi), (12, 丁2),，(X6,丁6),则%1+%2-1b%6+yi+y2H1-6 =.答案18解析.=/(%+1)2为奇函数，.函数x)的图象关于点(1, 2)对称,12x 1-1又 g(x)=-7=+2,g(%)的图象也关于点(1, 2)对称,则 x

15、i+x2-lFx6+yi+y2+6=3 X2+3 义4= 18.(3)若函数y=/(x)满足火。+幻=/(/?x),则y=/(x)的图象关于直线x=色乎对称.特别地，当。=时，即期+x)=/3x)或於)=2一X)时，则y=/(x)的图象关 于直线x=a对称.(4)若函数y=/(%)满足人x)+y(2a%)=2。，则丁=/(1)的图象关于点(a, b)对称.特别 地，当=0 时，即总z+x)+/(ax) = 0 或/U)+/(2qx) = 0 时，则 y=/(x)的图象 关于点(。，0)对称.【诊断自测】1 .思考辨析(在括号内打“ J ”或“义”)(1)函数在x(。，+8)上是偶函数.()(2

16、)若函数;U)为奇函数，则一定有八0)=0.()+/7 V.亍，0对(3)若T是函数人幻的一个周期，则T(Z, W0)也是函数人)的周期.()(4)若函数/(x)满足关系八。+x) = f(bx),则函数巾)的图象关于点称.()答案(1)X (2)X (3) V (4) V解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y=f在(0,十8)上不具有奇偶 性，错误.(2)由奇函数定义可知，若危)为奇函数，且在=0处有意义时才满足五0)=0, (2) 错误.2 .(多选)(必修一 P84例6改编)给出下列函数，其中是奇函数的为()A次%)=d8次%)=/C.7(%)=x+(Dv)=答案BC解析对于1%

17、)=/，1%)的定义域为R,由八一%)=( 一幻4 = %4 =/(%),可知/(%) =%4是偶函数，同理可知於)=高加)=%+(是奇函数，於)=最是偶函数.3 .设奇函数7(%)的定义域为-5, 5,若当丁0, 5时，7U)的图象如图所示,则 不等式1%)0；当 2cxW5 时，0,又兀X)是奇函数，,当一2Vxe0时,於)0,当一5Wx0.综上，兀)o,则 7（一%）= （一%）?一%=a2%= 当%0 时，一 _%=f_%= /（%）;综上可知，对于定义域内的任意,总有 1A%）=.fix）成立，所以函数7U）为奇函数.（3）显然函数x）的定义域为r,/（ X）= 10g2 一 % +

18、 yj（X）2+1 = 10g2（/x2+ 1 X）= 10g2（y/X2 + 1 + %） 一1= 一 iog2（q?n+%）=f（x）,故1%）为奇函数.感悟提升判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：（1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数.判断外）与八一%）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断 奇偶性的等价等量关系式（/（%）+_/（x）=0（奇函数）或 加）一八一%）=0（偶函数）是否 成立.角度2函数奇偶性的应用例2已知函数危）为奇函数且定义域为R,当0时，於）=%+1,则当Q./(%)= /(%)= (%+ 1)=X 1.(2022全国乙卷)若/(x) =

19、ln +7ZT +是奇函数，则。=, b=答案一；In 2解析Ax) = ln+乩 JL 4若。=0,则函数危)的定义域为也#1,不关于原点对称，不具有奇偶性，所以iWO,由函数解析式有意义可得，xWl且。+丁匚/0.1 x所以xWl且因为函数r)为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，所以1+3= 1,解得=：, C4-1 -x、所以x)=ln 2(1x)+ 乩 定义域为x|xWl 且 xW -1.由负0)=0 得 In 3+6 =。，所以b=ln2,IL111即/(x) = ln -2+7+ ln 2 = lnBl,在定义域内满足八一X)=/(x),符合题意.综上,(J 2=ln 2.感悟提

20、升1 .利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助 奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的 值.2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.训练1已知函数人x) = ln(2+2x) + ln(3 3x),贝1次幻()A.是奇函数，且在(0, 1)上单调递增B.是奇函数，且在(0, 1)上单调递减 c.是偶函数，且在(0, 1)上单调递增 D.是偶函数，且在(0, 1)上单调递减 答案D解析 对于 = ln(2 + 2x) + ln(3 3x),12+2x0, 有13 3x0,解得一所以人幻的定义域为

21、(一1, 1),关于原点对称.因为人一次) = ln(2 - 2x)+ln(3 + 3x) = ln2(l -%) + ln3(l +x)=ln 2+ln(lx) + ln 3 + ln(l+x) = ln(3 3x) + ln(2+2x) =/(x),所以函数7U)为偶函数.由对数运算性质知/(x) = ln(2 + 2x) + ln(3 3x) = ln(2 + 2x)(3 3x) =皿 6(1f) = ln6 + ln(lf)(IVxVl),设=1x2, y=ln，则=1d在(0, 1)上单调递减，函数y=ln单调递增， 由复合函数的单调性可知函数段)在(0, 1)上单调递减.故选D.(

22、2023重庆巴蜀中学质检)已知函数於)=+(：051111。+，1不3)在区间5, 5 上的最大值是M,最小值是小，则/(M+m)的值等于()A.OB.10一兀c兀C-4D2答案C解析 令 g(x)=cosx-lnCx+/l+x2),TT则式 x)=a+ga)，力(%)和g(x)在-5, 5上的单调性相同,设g(X)在5, 5上有最大值g(%)max,最小值g(X)min.g( x)= cos x4n( 一元+q 1 H-x2),g(x) + g(x) = ln(x+y 1 +/)+ ln( x+q 1 +x2)cos x=ln(x+-1 +f)(x+ 1+x2)卜 cosx=0,，g(x)在

23、5, 5上为奇函数,g(x)max + g(x)min = 0 9兀71 M=g(x)max +不皿=g(x)min + ，jli 71 71 M+机=1,f(M+hi)=人 =不71考点二函数的周期性及应用例3 (1)函数危)满足於-2)=加+2),当x(0, 2)时,=,则42 025) =答案1解析 由/(X2)=/(x+2)知人M的周期为4,故025)=/(506X4+1)=41)=1函数段)满足於)/+2)=13,且川)=2,则五2 023)=.13答案V解析 Vy(x+2)=13, 13 ,如+2)=/(尤) 13 0+4)=/ (%+2)JU)的周期为4,./2 023)=A3)

24、=jYTr=y.感悟提升 L求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函1313f(X)=於)，数的周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.训练2(1)已知./U)是定义在R上的函数，并且,x+3)=丁，当1xW3时, / X4ZJTYr)=cos 彳，贝024) = 答案一3解析 由已知可得兀x+6) =/(%+ 3)+3) = -/(%，)1 =/(%)，(X)故函数/U)的周期为6,024) =7(6X337 +2) =A2).又人2)=cos2k=_X T=-2,2 024) =12-(2)(2023金华

25、调研)定义在R上的函数於)满足於+6)=段)，当一3W%V 1时， 加)=(%+2)2,当一06),则 yi+y2H-y6=答案12 解析:函数y=/（x） 2为奇函数,二函数y=/U）的图象关于点（。，2）对称,又 g(x)=2x+l+ 2,其图象也关于（0, 2）对称,二两函数图象交点关于（0, 2）对称，则 yi+y2HH/=3X4= 12.感悟提升1 .求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定 义，求出函数的对称轴或对称中心.2.解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题.训练3（1）（多选）关于函数式力=411%+系有如下四个命题，其中

26、正确的是（ olil 大Ax）的图象关于y轴对称B.x）的图象关于原点对称C/U）的图象关于直线=冷对称Dx）的图象关于点（兀，0）对称答案BCD 解析:（x） = sin x+的定义域为mil人兀,Z,x) =sin( x) + .= sinoil! A zDill 4JU）为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确;=cosx+ cos X=cos x cosxjr/U）的图象关于直线x=5对称，故c正确;又Kx+27r) = sin(x+27i) + /n兀)工+?人一元)= sinx加+2 兀）=/（-r）,-JU）的图象关于点（兀，0）对称，故D正确.已知函数/U）的定义域为R,当x 2, 2时，/U）单调递减，且函数y=/（x