第2节 单调性与最大（小）值.docx

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1、第2节 单调性与最大(小)值考试要求1 .借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解 其实际意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识诊断基础夯实【知识梳理】1 .函数的单调性单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数八幻的定义域为/,区间OU/,如果Vxi, X2D当时，都有心1)心2),那么就 称函数_/(%)在区间。上单调递增，特别 地，当函数1%)在它的定义域上单调递 增时，我们就称它是增函数当XI 。2), 那么就称函数_/(%)在区间D上单 调递减，特别地，当函数/(x)在 它的定义域上单调递减时，我们 就称它是减函数图象描述-ofcX自左向右看图象是

2、上升的O 2 X自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y=r)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=/)在这一区 间具有(严格的)单调性，区间。叫做y=/U)的单调区间.2 .函数的最值前提设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足条件(l)VxEL 都有/g)WM；(2)3x0 e 7,使得/Uo)=M(l)Vxe/,都有一/URM；(2)3xo e/,使得凡xo)=M结论M为最大值M为最小值常用结论则()A.A3)Att)/(2)仁人2)兀)八3)BA3)八3)答案B解析 易知兀X)是R上的减函数，又兀32,故式冗)勺(3)0且aWl),若人0)0,可得一3xl

3、,故函数的定义域为%| 3xl.根据,*0) = loga30,可得又g(x)在定义域(一3, 1)内的单调递减区间是1, 1),所以八%)的单调递增区间为1, 1).5 .(多选)已知函数x) = log|x1|在区间(一8, 1)上单调递增，贝1()A.06z1C.f(a+2 022) /2 023)D.+2 022)/(2 023)答案AC解析 人x)= iog4x1的定义域为(一8, 1)U(1, +8).设Z=|%1,可得函数Z在(一8, 1)上单调递减；在(1, +8)上单调递增，由题意可得故A正确，B错误；由于可得 2 022人2 023),故C正确，D错误.exe x910,6

4、 .(2023南通模拟)已知函数= j 9，八 若。=50, Z? = log32, c =9xWO,log20.9,则有()g 7S) *)B. /3) /c)c.f(a)Xc) 7S)D.f(c)yg)/S)答案A解析y=ex是增函数，y=-是增函数，因此在(0, +) 丁=1-e1单调递增，且此时x)0;又yu)=e在(-8, o上单调递增，所以式划在R上单调递增.c=log20.90, 0/?=log321, 即bc,所以)八。)八。).(2 Cl) X1 9 X V 1 ,f(XI ) f(X2)7 .如果函数/U)=、满足对任意XIWX2,都有，,xi一九20成立，那么实数的取值范

5、围是()A.(0, 2)B.(b 2)C.(l, +8)D. I，2)答案D解析 因为对任意的w%2,都 J)f8o,XX2所以y=)在R上是增函数，3所以1，解得5K2. (2q) X1 + 1Wq,故实数a的取值范围是|，2)8 .函数犬%) = |%2|%的单调递减区间是答案b 2解析1%)=%22,f+2%, x1的解集为.答案 解析由已知条件可得式力+八-2)=火一2%),又/3)=1.不等式式%)+/(2)1可化为式-2%)人3).(%)是定义在R上的增函数，3/.-2%3,解得 x0),且火X)在(0, 1上的最大值为g(Q),求g(Q)的 最小值.1 2解,危0=依一7+/(0

6、),在(0, 1上单调递增,/(max =艮 1) =。+g(a)=a+J三2,当且仅当 4=), tzv-C/-即4=1时取等号，的最小值为2.x-212 .已知函数/(x)=1一.(1)写出函数;(九)的定义域和值域；(2)证明：函数八%)在(0, +8)上为减函数，并求犬%)在工 2, 8上的最大值和最 小值.(1)解函数式%)的定义域为3%W0.2又犬%) = 1+;,所以值域为ylyWl.(2)证明 由题意可设0o-2)=li +-J-I1 +d=-=,又 0Xl0, X2XI0,所以犬)一共X2)0,即兀11)X2),所以函数7U)在(0, + 8)上为减函数.当2, 8时，穴%)

7、的最大值为式2) = 2,最小值为式8)=土【B级能力提升】13 .定义 max, b, c为 m b, c 中的最大值，设 M=max2, 2x3, 6x,则M的最小值是（）A.2B.3C.4D.6答案c解析 画出函数加=1112*2，2x-3, 6幻的图象如图中的实线部分, 由图可知，函数M在A处取得最小值22=62=4,故的最小值为4.14.设函数f(x) =1x+2a在区间（一2, +8）上单调递增，那么的取值范围是ax 2a2 2a2 12一 1x-2a f221O, 所以2,所以4乎或乎,。三1,答案1，+8）x2a定义域为x|xW2q,所以6如果几个函数的定义域相同、值域也相同，

8、但解析式不同，称这几个函数为“同 域函数”.函数），=五丁1一产G的值域为,则与y是“同域函数”的 一个解析式为.答案 LI，1 丁=23,工1，2或丁=$访（2存），1，2或y=3厂12,工1, 2（答案不唯一）解析 因为y=y%_ _卜2一,所以且xW2,所以函数的定义域为1, 2.显然，y=f(x)=ypc二I 一事二x在1,2上单调递增，所以1, 1,所以函数的值域为1, 1.只要满足定义域为1, 2,且值域为1, 1的函数均符合题意，例如 y=sin(2u), xel, 2或 y=2“一3, %el, 2或 丁=3厂12, xGl, 2.16.定义在(0,+8)上的函数於)对于任意的

9、x,y(0, +8),总有段)+内;)=於), 当%1 时，段)V0 且y(e)= -1.(1)求加)的值;(2)判断函数在(0, +8)上的单调性，并证明；(3)求函数於)在E，。2上的最大值与最小值.解(1)令 x=y=l,得/(1)+X1)=/U)=/U)=O.(2次x)在(0, +8)上单调递减，证明如下： 设 xiX20,令 xyx 9%=九2,ri则 y=，所以 yi, o,由已知得八%2)+彳 =1项)=次)一八%2)=/(%)1)2), 所以八%)在(0, +8)上单调递减.(3)因为式e)= -1,令=y=e,得/(e2)=y(e)+y(e) = -2,人1令尤=e, y=,

10、得HD=/(e)+g=0,43=1.由(2)知函数危)在占e2上单调递减，1 .有关单调性的常用结论在公共定义域内，增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数减函数=增函数；减函数一增函数=减函数.2 .函数、=/(%)(/(%)W0)在公共定义域内与y=A%), y=.)的单调性相反.【诊断自测】1 .思考辨析(在括号内打“ J ”或“义”)(1)对于函数y=/U),若人1)勺(3)，则八%)为增函数.()(2)函数y=/(x)在1,+8)上是增函数，则函数的单调递增区间是1, +8).()(3)函数的单调递减区间是(一8, 0)U(0, +).()(4)对于函数%),若对任意

11、XI, XlD,且 XI W%2有(为一2)伏1)一穴%2)0, 则函数“X)在区间。上是增函数.()答案(1)X (2)X (3)X (4) J解析(1)错误，应对任意的1%2,都有1%1)%2)成立才可以.(2)错误，反例：/U)=x在1,+8)上为增函数，但兀尤的单调递增区间是(一 , +).(3)错误，此单调区间不能用“U”连接，故单调递减区间为(一8, 0)和(0,十8).2 .(必修一 P86T7改编)函数八%)=?2%的单调递增区间是.答案2, +8)解析 由题意可知x22%。，解得W0或%与2,所以函数ZU)的定义域为(一8, 0U2, +),设y=g, u=x12x,二次函数

12、m=/2x的单调递增区间是(1, +),单调递减区间是(一8, 1),所以式幻的单调递增区间是2, +8).23 .(必修一 P81例5改编)函数,/(%)=2, 6),则./(%)的最小值为,XJL最大值为.2答案5 22解析由于/(幻=在2, 6上单调递减，XJL2故/U)的最大值为八2) = 2,最小值为人6)=.4.函数y=/U)是定义在2, 2上的减函数，且八。+1)穴2)，则实数。的取值 范围是.答案T，1)2 Wq+1W2,解析 由条件知 一2W2aW2, 解得一iWaVL、q+1 2a,考点突破题型剖析考点一函数的单调性(区间)1, x09例1设函数段)=。，=o， g(x)=

13、x1fix1),则函数g(x)的递减区间是 、1, xl,解析由题意知ga)=o, %=i,、一X1 ,该函数图象如图所示，其单调递减区间是0, 1).(2)试讨论函数./U)=?JaW0)在(一1, 1)上的单调性.解法一设一1VX1VX21,)1 + 1、 L L 1 1段)=。匚二门=41+口)则危。一危2)=小+吉卜11 +告卜a （12xi）（XI 1）（X2- 1 ）由于 一 1 X1 X20, XI 1 0, X2 1 0时，危1)一於2)0,即1)兀2),函数)在(一1, 1)上单调递减;当 a0 时，兀1)一2)0时，/(%)0,函数1/u)在(一1, 1)上单调递减；当。0

14、,函数#%)在(一1, 1)上单调递增.感悟提升1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.(1)函数单调性的判断方法：定义法；图象法；利用已知函数的单调性； 导数法.(2)函数y=/(g(%)的单调性应根据外层函数y=/(/)和内层函数，=g(x)的单调性判 断，遵循“同增异减”的原则.易错警示 函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或 “和”连接，不要用“U” .训练1 (1)函数24的单调递减区间是.答案(一8, 6解析由题意，要使函数尸出2+2%24有意义,需满足一+2%2420,解得了W6或%与4,又由/=f+224在(一8, 6上单调递减，在4,

15、 +8)上单调递增， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数丁=、=+2%24的单调递减区间是(一8, -6.(2)已知函数危尸21一 1x+1.判断./(X)在0, +8)上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.解人幻在0, +8)上单调递增，证明如下:设任意的OWxiX2,m c 2X1 1 则人Xl）一力2）=刀+因为 OW%1%2,故 XI%20,故 XI)X2)0,即兀X1)b.设函数段)=-x + 3, g(x) = log2%,则函数用(x) = min伏x), g(x)的最大值是答案 解析 系中，1法 在同坐标作函数x), g(%)的图象，弋3of2 3 0依题意，力(尤)的

16、图象为如图所示的实线部分. 易知点A(2, 1)为图象的最高点， 因此(X)的最大值为h(2) = 1.法二依题意，h(x) =log)，0cx2.当02时，/z(%) = 3%是减函数，因此/z(%)在=2时取得最大值丸(2)=1.感悟提升1.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基 本不等式求出最值.2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值， 求出最值.9 r7772训练2(1)设函

17、数兀0=/在区间3, 4上的最大值和最小值分别为则富生案-u木 3o y2 无4 44解析 V=r=一二一=2+士在3, 4上单调递减，Z(X)min=4) = 4, /(%)max =f(3) = 6,m=4,工十一一3,(2)(2023宁波调研)设大处=j%x2+1, xbcB.qc bC.cabD.cba答案D解析 易知於）=2八7在（1, +8）上单调递增，又小小也， JC1故小后即cQa角度2解函数不等式例4已知函数x）=ln%+2x,若兀4）2,则实数的取值范围是.答案（一小,-2）U（2,小）解析 因为函数段）=111%+2”在定义域（0,+8）上单调递增，且用）=m 1 + 2

18、=2,所以由4）2,得/U24）勺（1）,所以 0%2-41,解得一于x 2 或 2xlf（X） f（ X2）意实数xiWx2,都有一成立，则实数的取值范围是XI -X2答案XI -X2解析因为对于任意实数MWX2,都/（*）9 0成立,所以函数/（%）在R上单调递减,3a1V0,所以v 6!1C网）1且加）1且加）1D依）VI且加）VI解析 /a)=%n 10-a ln 2=%ln lo+Q) In 2,当x0时，/（x）0,函数/U）单调递增，V0/7mn,且人根）=1,加）中加=14,实数a的取值范围是.答案（一8, 1U4, +0）f x2+4x, xW4,解析画出函数、彳 的图象,

19、log x4如图，y由图可知函数“）的增区间为（一8, 2）, （4, +8）,函数式%）在（Q,。+1）上单调递增，a+lW2 或。三4,（3）已知函数於）=a - 1唯(%+2),若八。-2）3,则的取值范围是答案（0，1） 解析 由危）=（1）log2（%+2）知，於）在定义域（一2, + 8）上是减函数, 且八T) = 3,由加-2)3,得直-2)31),a-2 一 1,a2 2,解得OVqVL分层精练巩固提升【A级基础巩固】1 .函数“x）=一九+:在2, g上的最大值是（）A38A.B.C.-2D.2答案Ai r ii3解析 易知於尸一在一2,一彳上单调递减，故其最大值为八一2）=之f（XI） f（ X2 ）2.已知定义域为R的函数x）, Vxi, X2&R, xiX2,都有f0,X1 XQ,