第03讲鸡兔同笼问题（教）.docx

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1、兔各占一半，这样列举可以减少列举的次数，提高效率。2、图示法先画出所有的头，再把每个头上画上2只脚，再把剩下的脚画在部分图上，每个图上加上2只脚，直到脚 全部用完。这样，有4只脚的就是兔子，2只脚的就是鸡。也可以把每个头上画上4只脚，再从有4只脚的头 上取下2只画在没有脚的头上，直到所有的头都有脚。这样有4只脚的就是兔子，2只脚的就是鸡。3、假设法假设全是鸡或全是兔，计算脚数与实际脚数的差，分析产生差的原因，利用产生差的原因解题。变形题注意对假设对象的调整，根据不同的情况做合理假设，不可千篇一律。4、方程法利用方程解鸡兔同笼问题的等量关系是：鸡的脚数+兔的脚数=鸡兔脚数和 变形题注意数量关系的

2、变化。5、关于鸡兔同笼变形题先在题中找到对应的“鸡”和“兔”，“鸡脚”和“兔脚”，再按照鸡兔同笼的方法解答。学霸经验本节课我学到我需要努力的地方是35 12 = 23 （只）了.2、假设法（经典）鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：鸡数二（每只兔子脚数X鸡兔总数-实际脚数）土 （每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数二鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数二（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总数）十 （每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数二鸡兔总数-兔数3、方程法根据鸡兔的脚之和列方程解答。典例分析考点一：图解法和列表法 例1、鸡兔同笼，有20个头，54只脚，鸡兔各多少只？【解析】从有

3、1只鸡开始一个一个地试，把试的结果列成表格。头（个）鸡（只）兔（只）脚（只）201197820218762031774204167220 2013754刚好，13只鸡，7只兔。这样做太麻烦，先假设兔和鸡各占一半。头（个）鸡（只）兔（只）脚（只）2010106054201195820128562013754先假设兔和鸡各占一半，根据脚的总数量与实际数量的大小关系，确定减少鸡还是兔，这样就减少列举 的次数。例2、有鸡兔共30只，兔脚比鸡脚多60只，问鸡兔各多少只？【解析】可以用列表的方式，先假定鸡兔各占一半,头（个）鸡（只）兔（只）鸡脚兔脚鸡兔脚之差301515306030301416286436

4、3013172668423012182472483011192652301020208060所以10只鸡20只兔。点评：从表中可以看出：增加一只兔，减少一只鸡，它们的脚数差增加6.同样，减少一只兔，增加一只鸡，它 们的脚数差减少6.也就是说，用一只鸡换一只兔，脚数差的变化为6只。例3、笼子里有鸡和兔共8只，一共22条腿。鸡和兔各有几只？【解析】本题可以用列表法解答，现在我们用另一种方法一一图解法来解答。第一步：先画8个表示鸡兔共有8个头o第二步：给每个头都配上2条腿，共16条腿，这样8只全是鸡。第三步：把剩下的6条腿配在3个图上，这样2条腿的有5个，4条腿的有3个。也就是有5只鸡，3只 兔。把

5、上面的过程列成算式：假设全是鸡：8个头只需要16条腿8X2=16 （只）还剩下6条腿：22-16=6 （只）再把6条腿加在3只鸡上，就变成3只兔。6 + 2=3 （只）考点二：假设法例1、有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？【解析】假设20只全是鸡，那么就有鸡脚20X2=40只，比实际少了 44-40=4只，是因为每只兔少算了 4-2=2 只脚,所以兔有4 + 2=2只。鸡有20-2二18只。例2、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚与

6、兔脚的差比实际的差多200-20=180 （只）。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4 + 2 = 6（只）, 而180 + 6 = 30,因此有兔子30只，鸡100-30 = 70 （只）。解：有兔（2X 100-20） + （2 + 4） =30 （只），有鸡 100-30=70 （只）。答：有鸡70只，兔30只。例3、现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。 问：大、小瓶各有多少个？【解析】小瓶有（4X50-20） + （4 + 2） =30 （个），大瓶有50-30 = 20 （个）。

7、答：有大瓶20个，小瓶30个。例4、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了 16套，用钱280元。问： 两种文化用品各买了多少套？【解析】我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280 只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。买了 16套彩色文化用品，则共需19X 16 = 304（元），比实际多304280 = 24（元），是因为普通文化用品每套多 算了 1911=8（元），所以买普通文化用品24 + 8 = 3（套），买彩色文化用品16 3=13（套）。例5、100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍

8、，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿, 那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300140= 160（个）。现在以小和尚去换大和尚， 每换一个总人数不变，而馍就要减少31 =2（个），因为160 + 2 = 80,故小和尚有80人，大和尚有100 80 = 20（人）。同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。考点三：列方程解决鸡兔同笼问题例1、鸡、兔共笼，鸡比兔多20只，足数共

9、280只，问鸡、兔各几只？【解析】本题可以用假设法解答。假设鸡与兔的数量一样,则足数共280-20X2=240只，则兔有240+ (4+2) =40只,鸡有40+20=60只。鸡兔同笼问题除了用假设法解答外，还可以用方程解答解：设有x只鸡，则有x-20只兔。根据足数共280只列方程得2x+4(x-20 户 280X=6060-20=40答：鸡60只、兔40只。例2、刘老师带了 41名同学去北海公园划船，共租了 10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、 小船各租几条？【解析】本题是鸡兔同笼的变形题。把大船看成“兔”，小船看成“鸡。学生看成“脚二解:设大船x条，小船10-x条。6x+4(

10、10-x)=41 + lX=110-1=9答：大船租1条、小船租9条。例3、大院里养了三种动物，每只小山羊戴着3个铃铛，每只狮子狗戴着一个铃铛，大白鹅不戴铃铛.小明数 了数，一共9个脑袋、28条腿、11个铃铛，三种动物各有多少只？【解析】本题是三个对象的鸡兔同笼问题。若用假设法解题，应抓住“狮子狗与小山羊的脚相同”这一条件, 即把狮子狗与小山羊看成“兔二大白鹅看成“鸡。这样把三种动物转化成两种动物的鸡兔同笼问题。列方程也同样要将狮子狗与小山羊看成“兔”，大白鹅看成“鸡”。解：设小山羊和狮子狗共有x只，大白鹅有9-x只。4x+2(9-x)=28X=59-5=4再设小山羊有y只，狮子狗有5-y只3

11、y+(5-y)=l 1Y=35-3=2答：小山羊有3只，狮子狗有2只，大白鹅有4只。例4、小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣2分，又知 道他做错的题和没做的一样多.问小毛做对几道题？【解析】设错了 x题，对了 202x题。5 （20-2x） -2x=64X=320-2X3=14答：小毛做对14道题.点评：将三种以及更多的动物/东西，转化为两种动物/东西的鸡兔同笼基本模型。即：抓住转化后的“头”与 “脚P（Pract i ce-0r i ented）一实战演练实战演练”课堂狙击1、今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡兔

12、各几只？【解析】假设全是鸡，那么就有鸡脚35X2=70只，比实际少了 94-7024只，是因为每只兔少算了 4-2二2只， 所以兔有24 + 2=12只。鸡有35-12=23只。2、鸡与兔共有200只，鸡的脚比兔的脚少56只，问鸡与兔各多少只？【解析】假设200只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚200义4二800只，而鸡的脚数为零。这样兔脚比鸡脚多800 只，而实际上只多56只，比实际的差多800-56=744 （只）。是因为每只鸡换成兔，鸡的脚减少2只，兔 的脚增加4只，也就是一只鸡变成一只兔，兔的脚与鸡的脚之差就会增加6只。因此鸡有744 + 6 = 124 只，兔子200-134=76只。3

13、、在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个轮子，那 么三轮摩托车有多少辆？【解析】假设都是三轮摩托车，应有3乂41=123（个）轮子，少了 127-123=4（个）轮子.每把一辆汽车假设为三轮 摩托车，会减少4-3=1（个）轮子.汽车有47=4（辆）；从而求出三轮摩托车有41-4=37（辆）.或者假设都是汽车, 应有4x41=164（个）轮子,多了 164-127=37（个）轮子；所以摩托车有37- （4-3） =37（辆）.4、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了 2分钟，然后两人各跳了 3分钟，一共跳了 780下。已知小喜比小乐每 分钟多跳12下，

14、那么小喜比小乐共多跳了多少下？【解析】利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了 12X (2+3) =60(下)。 可求出小乐每分钟跳(780-60) + (2+3+3) =90(下)，小乐一共跳了 90X3 = 270(下)，因此小喜比小乐共多跳780270X2 = 240(下)。5、列方程解答：鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？【解析】设鸡x只，兔100-x只。2x-4(100-x)=20X=70100-70=30答：鸡70只、兔30只。6、五年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵.平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生

15、多4人，该班男生和女生各多少人？【解析】设男生x人，女生x+4人。5x+3(x+4 户 180X=2121+4=25答：该班男生有21人，女生有25人。7、食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的3种糖果共100千克，共收入2570元.已知其中售出每 千克25元和每千克30元的糖果共收入了 1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？【解析】每千克25元和每千克30元的糖果共收入了 1970元，则每千克20元的收入：2570-1970 = 600兀， 所以卖出：600 20 = 30千克，所以卖出每千克25元和每千克30克的糖果共100-30 = 70千克，相当于将题 目转换成：

16、卖出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，问：每千克25元的糖果售出了 多少千克？转换成了最基本的鸡兔同笼问题. 课堂反击1、鸡兔同笼，头共46,足共128,鸡兔各几只？【解析】假设46只都是兔，一共应有4X46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了 184-128=56只脚，这 是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4-2二2 （只）脚，那么56只脚是我们 把56 + 2=28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28,兔的只数是46-28=18 （只）.2、鸡、兔同笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？【解析】这道例题是已知鸡、兔的

17、脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只.我们假设鸡与兔只数一样多， 那么现在它们的足数一共有：274-2X26=222 （只），每一对鸡、兔共有足：2+4=6 （只），鸡兔共有对数（也 就是兔子的只数）:222 + 6=37 （对），则鸡有37+26=63 （只）.3、工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元.运完这批花瓶后， 工人共得4400元，则损坏了多少个？【解析】本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏I个花瓶相差 100 + 20 = 120 （元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元.本例可假设 250

18、个花瓶都完好，这样可得运费20X250=5000 （元）.这样比实际多得5000-4400=600 （元）. 就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元.现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶.根据以 上分析，可得损坏了（20X250-4400） + （100+20） =5 （个）.4、某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人.已知这些宿舍中共住了 168人，那么其中 有多少间大宿舍？【解析】如果30间都是小宿舍，那么只能住4X30二120 （人），而实际上住了 168人.大宿舍比小宿舍每间多 住6-4=2 （人），所以大宿舍有（168-120） +2=24 （间）.5、

19、学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋 与跳棋各有多少副？【解析】假设26副全是跳棋，那么可供26X6二152人活动，比实际多了 156T20二36人，是因为每副象棋多 算了 6-2=4人，所以象棋有36 + 4=9副。跳棋有26-9=17副。6、某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错或不做一题倒扣1分,小华得了 88分，问他做对几题？ 【解析】设作对x题，做错和不做共有20-x题。5x-(20-x)=88X=1820-18=2答：他做对18题.7、小蕾花40元钱买了 14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明 信片各买了几张？分析：把贺年卡看成“兔。明信片看成“鸡”，单价就是鸡兔的脚，总价40元就是“脚和”，14张就是 “头和”。解：设贺年卡x张，明信片14-x张。3.5x+2.5(14-x 尸 40X=514-5=9答：贺年卡买了 5张、明信片买了 9张。直击赛场.重点回顾S (Summary-Embedded)归纳总结名师点拨 .解决鸡兔同笼问题的主要方法有:1、列表法根据鸡与兔的数量和，把所有可能的情况列举出来，找到符合条件的解。一般采用半数列举法，即假定鸡