第28讲盈亏问题（教）.docx

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1、学科教师辅导讲义学员编号：学员姓名：年 级：四年级课时数：3辅导科目：奥数学科教师：授课主题第28讲盈亏问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标1 了解盈亏问题是什么，能够分辨出是属于盈亏问题类型2掌握盈亏问题的几种基本情况，以及基本的解题方法3熟悉复杂的盈亏问题，能用方法巧妙转化为基本盈亏问题授课日期及时段T (Textbook-Based)局 少 1 果 早知识梳理一、基本方法盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况.分配不足时，称之为 “亏”，分配有余称之为“盈、还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分, 则物品就

2、有余（也就是盈），如果每人多分，则物品就不足（也就是亏），凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问 题，可以得出盈亏问题的基本关系式：（盈+亏户两次分得之差=人数或单位数（盈一盈户两次分得之差=人数或单位数（亏一亏户两次分得之差=人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个 数的差求未知数的“盈亏问题”。二、方法技巧注意1.条件转换2.关系互换典例分析考点一：直接计算型盈亏问题例1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块 砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？【解析】比较两种搬

3、砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两 次 搬砖，每人相差5-4=1 （块）。第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9 （块）, 每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9+1=9 （人）.共有砖：4x9+7=43 （块）例2、明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了 8元；每人出7元，就多出了 4元.那 么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？【解析】“多8元”与哆4元”两者相差8-4=4 （元），每个人要多出8-7=1 （元），因此就知道，共有4+1=4 （人），蛋糕价钱是8x4-8=24 （元

4、）例3、老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么 一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是9-2=7 （个），两次分配 之 差是11-10=1 （个），由盈亏问题公式得，有小猴子：7+1=7=（只），老猴子有7x10+9=79 （个）桃子例4、猴王带领一群猴子去摘桃.下午收工后，猴王开始分配.若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个.若 大、小猴都分4个，猴王能留下20个.在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多少只？【解析】当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可留10个.若

5、大、小猴都分4个，猴王能留下20个.也就是盈 亏问题说在大猴分5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下20/0=10个， 所以大猴比小猴多10 K考点二：条件关系转换型盈亏问题 例1、一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生?共多少粒糖果？【解析】第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是5-4=1 （粒）, 由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：9+1=9 （人），有糖果9x5=45 （粒）例2、猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有

6、多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？【解析】猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是11-10=1 （条），由盈亏问题公式得，有小猫：8口=8 （只），猫妈妈有8x10+8=88 （条）鱼例3、实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多 出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？【解析】每辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人。此车辆数目为:（65+15）为=80+5=16 （辆）。学生人数为:60x （16-1） +15=60x15+15=900+15=915 （人

7、） 考点三：复杂的盈亏问题例1、国庆节快到了，学校的少先队员去摆花盆.如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4 盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完.问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？【解析】这是一道有难度的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各摆4盆，其 余 的人各摆6盆，这些花盆正好摆完，这组条件中包含着两种摆花盆的情况2人各摆4盆，其余的人各摆6 盆.如果我们把它统一成一种情况，让每人都摆6盆，那么，就么还差6x2-2x4=4（盆）.因此，原问题就转化 为：如果每人各摆5盆花，还有3盆没人摆；如果每人摆6盆花，还缺4盆.问有多少少先队员，一

8、共摆多 少花盆？ 人数：（3+4） + （6-5） =7（人），盆数：57+3=38（盆）或 6乂7-4=38（盆）例2、妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果 其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人？【解析】由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个“转化为全家每人都分2个，这分4个的两 人每 人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了 4+4=8个；由“一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个转化为 全家每人都分4个，分6个的人拿出2个，结果就缺12-2=10个，转变成了盈亏问题的一般类型，则：全家的人数

9、：（8+10）+（4-2尸9（人），橘子的个数：2x9+8=26 （个）例3、堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元.已知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？【解析】这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买牛肉18 千克差4元，而买猪肉20千克还多2元，说明牛肉贵一些.每千克贵8角，如果18千克牛肉换成18千克猪肉, 就要少花8x18=144 （角）=14元4角.这样就会多出14元4角-4元=10元4角。因此问题就可变为：“小李买 猪肉18千克多余10元4角，买20千克多余2元，求猪肉单

10、价和钱数.”虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题， 不过猪肉单价=两次钱的差+两次千克量差。解：由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵8角.18千克牛肉比18千克猪肉贵8x18=144（角）=14元4角.因 此小李若买18千克猪肉就会多余14元4角-4元=10元4角。由已知小李买20干克猪肉多余2元，所以猪肉 每千克价格为（104-20） + （20-18） =84+2=42 （角）=4元2角.所以牛肉每千克价格为：4元2角+8角=5元 小李带的钱为：4.2x20+2=86 （元）例4、四班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果.如果买芒果13千克，还差4元；如果 买奶糖15千克，则还剩2元

11、.已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，辅导员老师带了多少元钱？【解析】这笔钱买13千克芒果还差4元，若把这13千克芒果换成奶糖就会多出13x2=26元，所以这笔钱买13千克奶糖会多出26-4=22元。而这笔钱买15千克奶糖会多出2元，所以每千克奶糖的价格为：（22-2）-（15-13）=10 （元）,辅导老师共带了 10x15+2=152 元P （Practice-Oriented） 实战演练实战演练.“二 课堂狙击1、有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班 有多少学生，多少练习本呢？【解析】由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每

12、人发7本多出10本；两种方案分 配结果相差：7010=60 （本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：7-5=2 （本），相差60本的学生有: 60+2=30 （人）。练习本有：30x5+70=220 （本）或（30乂7+10=220）2、王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30元，问儿 童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？【解析】本题购物的两个方案，第一个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多30元，从买7把变 成买5把，少买了 7-5=2 （把），而钱的差额为：110+30=140 （元），即140元可以买2把小提琴，可见小提

13、 琴的单价是每把70元，王老师一共带了 70x7-110=380 （元）3、工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元.运完这 批花瓶后, 工人共得4400元，则损坏了多少个？【解析】本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差100+20=120 （元）， 即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元.本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费 20x250=5000元）。这样比实际多得5000-4400=600 （元），就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120 元.现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶。根

14、据以上分析，可得损坏了 （20x250-4400）（100+20）=5 （个）4、幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。如全部分给小 班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？【解析】先把大班人数和小班人数转化为一样。大班减少3人，则苹果又收回3x5=15个苹果，人数一样，根 据盈亏问题公式，小班人数为：（15+10+2尸（8-5）=9人,苹果总数是8x9-2=70个。5、有一些糖，每人分5块则多10块，如果现有人数增加到原有人数的倍，那么每人4块就少两 块，这些糖 共有多少块？【解析】第一次每人分5块，第二次每

15、人分4块，可以认为原有的人每人拿出5-4=1块糖分给新增加的人，而 新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到2块糖果，这些人每人还差42=2块，一共差了 10+2=12块，所以新增加了 122=6人，原有6义2=12人.糖果数为：12x5+10=70 （块）6、卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如果大熊猫 数增加到3倍还少5只，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多少棵？【解析】使同学们感到困难的是条件“3倍还少5只大熊猫”。先要转化这一条件，假设还有10棵竹子，10+2=5, 就可以多有5个大熊猫，把“少5

16、只大熊猫”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍大熊猫数，也相当于按原大熊猫数每只大熊猫给2x3=6（棵）竹子，每只大熊猫给5棵与给6棵，总数相差10+10+8=28（棵），所以原有大熊猫数28+（65尸28 （只）,竹子总数是5x28+10=150 （棵）7、小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元.已知每千克 牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？【解析】因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了 3义10 6=24 （元），这样 化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（244） + （12-10） =10 （元），所以小明妈妈带的

17、钱数是：12x10 + 4= 124 （元）8、小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时 间提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？【解析】迟到3分钟转化成米数：50x3=150 （米），提前2分钟到校转化成米数：60x2=120 （米），距离上课 时间为：（150+120）+（60-50尸27 （分钟）,家到学校的路程为:50x（27+3）=1500 （米） 课后反击1、某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几 间?住宿生几人？【解析】由已知条件每间5人，少14个床位，每间7人，多4个

18、床位。比较两次分配的方案，可以看出，由于第 二种方案比第一种每间多7-5=2人，一共要多出14+4=18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差, 可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数。解：（4+14户（7-5）=9（间），5x9+14=59（人）或 7x9-4=59 （人）2、秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜； 如果每天吃6个，则又少8个萝卜.那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？【解析】题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜.观察每天吃的个数与萝卜 剩余个数的变化就能看出，由每天吃4

19、个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多出48个到少8 个，也就是所需的萝卜总数要相差48 + 8 = 56 （个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多 少个2,就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜了.吃的天数：（48 + 8） + （6-4） =56+2 = 28 （天），萝卜数：6义28 8=160 （个）或 4x28+48=160 （个）3、甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2张信纸，乙每封信用3张 信纸，一 段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20张信纸，乙用完所有信纸还剩下10个信封，则他们每人各买了多 少张信

20、纸？【解析】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30张信纸.这是盈亏问题，盈亏总额为（20 + 30）张信 纸, 两次分配的差为（3 2）张信纸，所以有信封（20 + 30户（3 2） = 50（个），有信纸2x50+20=120（张）4、王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5 个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？【解析】因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知苹果每 人分7个少5个，所以应有（8+5） + （6-5） =13 （人）。苹果个数为13x7-5=86 （个），桔子数为13x3+4=

21、43 （个）答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子5、李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣 粉比买碧 浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱.问：李妈妈带了多少钱？【解析】“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋”，这三袋洗衣粉多花8x3 = 24 （元），又 因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵2元，所以要买 碧浪洗衣粉袋数24+2= 12 （件）。这样李妈妈带的钱数是10x12=120 （元）。6、王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600米，就

22、可以 比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？【解析】迟到3分钟转化成米数：500x3=1500 （米），提前两分钟到校转化成米数：600x2=1200 （米） 王老师家到学校需要（1500+1200） + （60-50） =270 （分钟），王老师家到学校的路程：500x （270+3） =136500 （米）直lL奏场S (Summary-Embedded)P3 邹I 心为口重点回顾“a盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况.分配不足时，称 之为“亏工分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人 6分，则物品就有余（也就是盈），如果每人多分，则物品就不足（也就是亏），凡研究这一类算法的应用题叫做“盈 亏问题名师点拨 卡L条件转换2.关系互换 这两种典型例题的常见类型以及复杂问题转化为基本盈亏问题。学霸经验本节课我学到我需要努力的地方是