随机过程论(钱敏平第3版)——习题及答案【ch05】Brown运动.docx

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1、第五章Brown运动是BM当且仅当口(纥是鞅。略设他/cR是BM，令r,= 8,|, M产r?T,可=。(H34)求证：IM,纤是鞅；匕,是马氏过程，其转移密度是17. xyp(；x.y)= I-e 丁ch 7 E t而且/5F r 2、Er产 I一, E( r,-Er,) ? = 1tV V。时.PCTtCt) Py - TtO P(at) P(X(t)-X(Ol) 1 -PX(t)-X(OXl)- 1 -二明当&。*e因为T,今lb故PT.O 0 .f-卜*e. .-f l o.y。*任H. 。. 0 4 I-Tt- S P(X()*X(W)* X(rL*)-X( a *) l x(*：

2、)x(卜：。1)*p(x(9 7 X(?)X(： 2)一(1 0-11 ) ( I -e*At )。一)PT1Vl T.)C(1-oni )(i-e u)另lhPTttt TtS，H(x(lt)-x(o* 0. x(W。-x(9= 1 x(T )-x(1tAM)考医方程(r(owf)g 卜0)i)o明对VeU0.1上面的方程有餐：弁且它町表示为yu)= f/a/)3“)击其中/(，,，)知Bnmn侨1X = 6心|的侨方也嫉敷。19.记s= fx if C* ,SU|) I ( 1+ |x |2) 4，(*)l00 ；定义/“3o,如果：器|(1+|%|2)在(%)|t05t8),求证对于bm

3、i的半群算子p,有:kWm,工3。=尸/加(VO(对于BM也有类似结论)。20.提示：用Fourier变换；查Fourier变换表可以推出逆变换公式sin (约2 彳由=1J0(a7fe2 -x2)(H(x + 6) - H(x-6)L 介+ a?2由此易求出 u(n,)=芸MO -(z z) 卜(j/)dxz.5.设| 是 BM, 令(a,b)| (a。,0f连续.故仃5 0.便当| 4时.l/( ro +，)一 /(-ro)l e.因而当v =】ni” 幺曷时,便有1/(0 + ) /(-ro)l dt对F八,我们有h& 287r J 1 + - = e.7F7Tf + 8 dt/j不对于

4、h也有类似的估计式.四此，当0 / )上的8回01运动.令咤(3), / ”)心证明：引o； E睨41*/(町 cb. t0,考虑时间区间的0, tl。根据Poisson过程的定义,我们知道在 时间区间t0, tl内的事件数量N(tl) - N(tO)服从参数为入(tl - t0)的Poisson分布。因此，在时间点t0附近，我们有：P(N(tl) - N(tO) = 0)二院(一人(tl - t0)当tl - t0时，(tl-tO) - 0,所以以上概率趋近于1。这意味着在时间点to附近， 己通常没有事件发生。因此，&在随机连续，即在任意时间点附近连续的概率接近于1。接下来证明&均方连续：我

5、们知道，Poisson过程的增量是独立的，并且具有相同的指数分布。对于任意的st 0,我们有：E(N(s) - N(t)-2= Var(N(s) 一 N(t)=入(s - t)当(s - t) - 0时，E(N(s) - N(t)厂2 - 0o这表明&在均方意义下连续。最后证明W不可能有连续轨道：假设存在时间区间a, b,在该区间内自是连续的，即在任意时间点t e a, b附近 连续的概率接近于1。考虑区间a, a+5,其中30。根据前面的证明，我们知道在时间点a附近，&没 有事件发生的概率趋近于1,因此在时间区间a, a+6内，&没有事件发生的概率大于1- ，其中是一个很小的正数。现在考虑区

6、间a+ a+2 5 ,根据前面的证明，同样可以得到自在时间点(a+3 )附近 没有事件发生的概率大于卜 ,因此在时间区间a+5, a+2 5内，&同样不会有事件发生 的概率大于1- o继续进行下去，可以推断在a, b内的任意子区间内，&都不会有事件发生的概率大于 1- o然而，根据Poisson过程的定义，事件在时间区间内发生或不发生是独立事件，因此在 a, b内的任意子区间内，自有事件发生和不发生的概率应该是一样的。这与前面的推断相矛盾，因此假设不成立，W不可能有连续轨道。综上所述，&是一个随机连续的、均方连续的过程，但不可能有连续轨道。证明尸(sup I 乩()|x)Wf P sup- g

7、 W 其中，8是(0./P)上的Brown运动。略令 4. =t Sa 三。证明:r （1） J 电=#.+2） glS/S 提示：先证明六 12,2）=； Jl）（心4，1心4）=4；.1AM3*13.证： 利用2U(a) = 1 + sgn(M和妤t kgnQ)=上，有Titz(t)=/一】Z(3)=孑T 2尸(5。(5=多T FQ) . 1 + Sgn(3)=弁T F) + 弃T F) Sgn(cj)= ) + /)$Tit八，j I广/J=/ + 1 /；zdr71U-oo t-T J=/ + /()利用晔)1=加)+焉，有z(t)=,T Z(M=夕T 2F(a)U(M =2多一”尸(

8、3) 多=2卅)*位咐+oo=阳+ n=/(i) + fW2nt3d 78七一7循序可测性的定义是：对于任意的时刻tl, t2, tn,对应的事件X(tl) W xl), X(t2) W x2,，X(tn) W xn)都是可测的。考虑一个特定的时刻tO,以及一个开区间(a, b),其中a X(tO) bo根据随机过程X(t)的连续性，存在一个小的正数51,使得对于在区间(tO-6 1, tO+6 1)内的所有时刻t,都有X(t) e (a, b)o因此，我们可以构造下列事件序列：对于 n=l,取tl二tO。对于 n=2,取t2=t0+8lo对于 n=3,取t3=tO -8lo根据连续性的性质，

9、我们有：X(t2) W a)是可测的。X(t3) W a)是可测的。然而，对于事件X(tO) W xO),其中xO是任意实数，在上述事件序列中的每个事件 都与X(tO) W xO)相关联。如果事件X(tl) b、X(t2) W a和X(t3) W a都 是可测的，那么根据可测性的定义，事件X(tO) W xO也必须是可测的。证 由于Cantor集是0,1中去掉一个长度为g的区间两个长度所以Cantor集的Lebesgue测度为零.及四个长度为1的区间等.由于鼻2.；+2/O7d2u d2u-7 = ; + /sin x, - 8 x 0. dC dx2 U I fO =,-8X+8.du-=sin x, -8x - I) 7 +3. t( 1-j 6( 3 1 ) - 6( 3 - I) sin u)t.由傅里叶逆变换公式及6函数的定义知8( co - 1 ) e sin u)kl(u)=/sin x.c