第63讲圆与圆的位置关系.docx

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1、第63讲与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系设圆 Oi： (Xai)2+(ybi)2=r?(ri0),圆。2： (x产+十一匕2)2=植720).方法位置念、几何法：圆心距d与小2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离。厂1 +72无解外切d=ri +2一组实数解相交|Q 一厂2|衣厂1 +厂2两组不同的实数解内切d=r1r2(r1r2)组实数解内含0d=4 的公切线的条数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】 圆G： （x+l）2+（y2=4的圆心为G（1,2）,半径为2,圆。2： （%3）2+（y2=4的圆心为 。2（3,2）,半径为2,两圆的圆心距|。1

2、。2尸（一1 3y+（22=4 = 2 + 2,即两圆的圆心距等于两圆的半径 之和，故两圆外切，故公切线的条数为3.3、圆（x+2）2+f=4与圆。-1）2+。-4）2=9的位置关系为（）A.内切 B.相交C.外切 D.相离【答案】C【解析】由题意，得两圆心距离d=5,门+ = 2 + 3 = 5,所以两圆外切.4、已知圆G：炉+产2x6y1 =0和圆。2： +产一io%i2y+45 = 0,则圆G和圆C2的公共弦所在直 线的方程为.【答案】4x+3y23 = 0【解析】圆G和圆C2的方程相减，得4x+3y 23 = 0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x + 3y23=0.考向一的位置关系

3、例 1 已知两圆 x2 + y2 2xl6)/1 = 0 和 x2+y2 10x12y+m = 0.m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？求m = 45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.【解析】两圆的标准方程为(x1产+仅一3)2 = 11, (x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为A/(5,6), 半径分别为11和61-/77.当两圆外切时，5-1 2+ 6-3 2= 11+ 61-m,解得 m = 25 + 10 11.(2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心距5,故只有61-m- 11 = 5,解得m = 25 10 11.当6 = 45时，4- 11MN

4、=511+4,两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为俨+必一2x -6y-l)-(x2+y2-10x-12y+45) = 0,即 4x+3y-23 = 0.14x1 + 3x3-231所以公共弦长为211 2-142 + 324 = 2 7.变式1、( 1)已知圆Ci： (%6/)2+(y+2)2=4与圆C2： (x+/?)2 + (y+2)2= 1相外切，则ab的最大值为.【答案】94【解析】由圆析与圆C2相外切,可得 3+6)2+(-2 + 2)2=2+1 = 3,即(q + 6)2 = 9,根据基本不等式，。十力79得 2 J 49当且仅当kb时等号成立.故打的最大值为(2)已知圆G：

5、Q Q)2 + (y + 2)2 = 4与圆。2： Q + b)2 + (y + 2)2= 1 ,则层+夕的最小值为.【答案】12db nq2-|-/72(q + 6)2【解析】由圆C与圆。2内切，得(q + 6)2 + ( 2 + 2)2=1,即5+ 6)2式 乂 2 J，可知序+ 21)22=；,当且仅当。=b时等号成立，故。2+扶的最小值为；变式2、(1)已知两圆C： x2+/-2x+10y-24 = 0, C2：/+产+ 21+27一8 = 0,则两圆公共弦所在的直线 方程是.(2)两圆 x2+y26x+6j48 = 0 与 x2+j+4x8j/44 = 0 公切线的条数是.(3)已知

6、。O的方程是N+/-2 = 0,。，的方程是N+产8工+10 = 0,若由动点p向。和。O,所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是【答案(1)X27+4 = 0 (2)2(3)x=；【解析】：（1）两圆的方程相减得：x2y+4 = 0.（2）两圆圆心距d= 74 = 1与圆/+/=!相切4【答案】ABD【解析】圆G： 一+必=的圆心为（0,0）,半径为1,圆G： / + /=4的圆心为G（0,0）,半径为2,观察图象可得2-14归。归2 + 1,所以归。|的取值范围是1,3, A对，工内+必必=1,.点/）（西,凹）在直线士工+必歹=1上, 1 又G （0,0）到直线玉x + y = 1的距离

7、4 = / , = 1,又圆G的半径为1,“；+K 直线工/+乂歹=1是圆G在尸点处的切线，B对， 点/（再，必）在圆G上,.；+才=1,4,C2（o,0）到直线x,x + yy = 4的距离d2= / ?、= 4 ,又圆q的半径为2,，玉+必 直线玉、+必歹=4与圆G相离，C错，圆/+/二的圆心为（o,o）,半径为:，42点(0,0)到直线x2x += 1的距离4 = / 22，了2 +歹2129.直线X/ +为与圆、相切D对,故选：ABD.16上一点，过P变式、(2022湖北武昌高三期末)已知圆。的方程为一+/=1, p是圆c： (x-2+/【答案】3 595作圆。的两条切线，切点分别为小

8、B,则万.丽的取值范围为【解析】如图, 设力与P3的夹角为2a,则 |%| 二 |P8|1 _ cos atan a sin a二 苏丽= 莎 IPB cos2a= os。cos2a=1 +2a -os2a .sin al cos2。P 是圆 C： (x 2f+/=16上一点， 2 = 4-IOC | PO |22又两圆有公共点，则OW J（2 0+（2 0）2 W2J8 4=加6.故答案为：（一8,6.2、（2022山东枣庄高三期末）设O。 ：/+歹2 =1与。02：/+3-2）2 =4相交于48两点，则【答案】叵2【解析】 将。01 ：/+ / = 1和：工2 + 3 2）2 = 4两式相

9、减:得过43两点的直线方程：二！,4则圆心OI （0,0）到尸!的距离为!， 44所以AB=211一故答案为：叵 23、（深圳市罗湖区期末试题）圆Q :丁+246 = 0与圆。2：一+歹26x + 8y = 0公共弦长为（B. V10D. 375A. V5C. 275【答案】C【解析】联立两个圆的方程x2 + y2 -4y 6 = 0x2 + y2 -6x + 8y = 0两式相减可得公共弦方程x - 2-1 = 0 ,圆a ： 一+（歹一 2二1 o的圆心坐标为a（0,2）,半径为尸=丽,圆心a（0,2）到公共弦的距离为4 =0 4 1V1 + 4公共弦长为 d = 2G2 _ d； =2V

10、10-5 = 2V5 .故选:C.4、（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）（多选题）若过点（2,1）的圆C与两坐标轴都相切，且与过点4（0,6）和点8（8,0）的直线相离，设P为圆。上的动点，则下列说法正确的是（）A.圆心。的坐标为（1,1）或（5,5）B. /AP面积的最大值为22C.当最小时，|。*=53兀D.不存在点产使/9 = 4【答案】BCD【解析】【详解】由题意知圆心必在第一象限，设圆心的坐标为（兄。），则圆的半径为。，圆的标准方程为（x q）2=q2,由题意可得（2 a+（l q）2=2,解得q = i或q = 5,当q = 1时，圆心（1,1）到直线/后6% + 81-48

11、 = 0的距离为t/=6一尸=1,V62+82/、6x5 + 8x5-481当 =5时，圆心（5,5）到直线。小6x + 8 48 = 0的距离为1 =而 .r=5,又圆。与” 6x + 8y 48 =。相离，所以圆心的坐标为（1,1）, A错误；因为点P到直线6x + 8 48 = 0的距离的最大值为d =1+ 8一眼+/=丝，105所以S“8P工!|/8|1 = 22, B正确；当NP/5最小时，P4与圆。相切，由对称性或勾股定理可得归力| =山=1 = 5, C正确;3 1 AB_ s 万假设存在点p使/必=，则的外接圆圆的半径为33万，4 sin 4设圆A/方程为（x Q+（y =50

12、,贝ij（0-+（6 - 6）2 = 50 （a = 7 fa = 1?，解得,r 或 V ,.（8-Q）+（0叫=50 b = 7 b = -l又因为尸为圆。上的动点，当圆心”（1,1）时，|CM| = 21 + 5收，所以圆与圆C相离，点P不存在，D正确，故选：BCD5、（2022河北唐山高三期末）（多选题）圆M：工2+/+2%一4歹+ 3 =。关于直线2ax +力+ 6 = 0对称，记点 P（。力），下列结论正确的是（）A.点P的轨迹方程为x-y-3 = 0B.以PM为直径的圆过定点。（2,-1）C.的最小值为6D.若直线力与圆M切于点4则陷|24【答案】ABD【解析】圆 M：12+/+

13、2%4 + 3 = 0配方得：（x + l）2+（y-2）2=2,:圆M关于直线2x + 6 = 0对称，直线2ax +勿+ 6 = 0过圆心河（一1,2）.-2a+ 26 + 6 = 0,即4-63 = 0,，点P的轨迹方程为工-歹-3 = 0 , A正确.由如。=字4 = 1，则如。（。=一1，则以PM为直径的圆过定点。（2,-1）, B正确.-1 2归必的最小值即为“（T2）到直线工7-3 = 0的距离，由于d =1 2 3Jl +1y/2=3后，则1PMm园=3亿C错误.由于闸=/加一|4时=4月际-2，要使|切|取最小，即|PM|取最小值,W|niin=PQ= 3V2 , | PQf-2 = 7182 = 4 ,则 D 正确.故选：ABD