第23课时矩形菱形正方形.docx

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1、第五单元四边形第二十三课时 矩形、菱形、正方形基础达标训练1.下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形2. （2017上海）已知平行四边形ABC。，AC. BO是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A. ZBAC= ZDCA B. ZBAC= ADACC. /BAC= ZABD D. ZBAC= ZADB3. （2017河南）如图，在o ABC。中，对角线AC, 80相交于点0,添加下列条件不能判定n ABCD是菱形的只有（）第3题图B.AB=BCC.AC=BDD. Z1 = Z24.

2、 （2017广安）下列说法：四边相等的四边形一定是菱形顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形对角线相等的四边形一定是矩形经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两 3C长为半径的圆周上，由解图易知，线段A厂的长即为最短距离，在放AABE 中，AB=10, ZABE=180-120 = 60, AE=AB-sm600 = 53.在放中， AE=5小,ZACE=3O09：.AC=2AE=IO39：.AF=ACCF= 1073-10,即 P, A两点间的最短距离为(1S2一 10) c九第12题解图13 .已知：ACBD；求证：dABCD是菱形.证明：AC_LBD,，N

3、AO3=NAOO=90。，又;在口 ABC。中，AO=AO, 50=D0,AOBEAOO,：.ABAD.同理BC=CD,在中，AD=BC.：.AB=BC=CD=DA.四边形ABC。是菱形.14 .(1)证明：二四边形ABC。是平行四边形，J.AD/BC.：.ZDAO=ZOCB./ADO=/OBC,又：/OBC=/OCB,：.ZDAO=ZADO.:OB=OC, OAOD9：.OB-OD=OA + OC.即 AC=3O,平行四边形ABC。是矩形;(2)解：使矩形A3CO为正方形的条件为：(答案不唯一)15 . (1)证明：四边形ABCQ是矩形，J.AB/DC. AD/BC.：./ABD=/CDB,

4、： BE 平分/ABD, DF 平分/CDB,zebdzabd9 /fdb=；/cdb,:/EBD=/FDB,C.DF/EB,又,：板/BC,：.ED/BF,二四边形BEDF是平形四边形；(2)解：当NAB=30。时，四边形3EO尸是菱形.理由如下：；BE 平分/ABD,：.ZABD=260, /EBD= ZABE=30,.四边形ABC。是矩形，NA = 90。，:/EDB=/EBD=3。,:EB=ED,又.四边形3EO/是平行四边形，.四边形8瓦正是菱形.16 . (1)证明：四边形A8CO是正方形，/DAF+/BAE=90。, ABAD9; 乙4尸0=900,A ZDAF+ NA。/=90

5、。,ZBAE= ZADF.在 A3E和4 D4b中rZAEB = ZAFD = 90ZBAE=ZADF ,.AB = DAABEADAF(AAS)；(2)解：在正方形A8CQ中，AD/BC,：.ZDAF= ZAGB=309在放ADb 中，ZAFD=90, AO=6,：.AF=30 DF=3,由(1)得 ABE 也QAR:AE=DF=3,：.EF=AF-AE= 373-3.17.(1)证明：44/。是由448。折叠得到的，：.AF=AB. /f=/b,.四边形45CQ是矩形，：.AB=CD9 /B=/D=90。,:.af=cd9 /f=/d,: /FEK=/DEC,：. AFE0CDE(AAS)

6、；解：由(1)知ARE也 COE,：.AE=CE,DE=ADAE= 8 CE,在心DC中，由勾股定理得。2=。2+。2,ACE2 = (8-CE)2+42,解得 C=5,/.Saace=1aE-C=1x5x4= 10,即图中阴影部分面积为10.能力提升训练1.B【解析】由勾股定理得炉+产=大正方形边长的平方，即大正方形的面积 49,故正确；小正方形的面积为4,.边长为2,即xy=2,故正确；四 个直角三角形的面积再加上中间正方形的面积4等于大正方形的面积49,即1 Axx4+4 = 2xy+4=49,故正确；(x+)2=x2+2+2xy,由可知 2孙=45, x2+j2+2x=49+45=94

7、, x+归9,故错误.2 . D【解析】如解图，设底边A8上的高为九pab=；S矩形ABCD，w|aB /z=aB AD,，h = 2为定值，在AD上截取AE=2,作石/AB,交CB于点凡 故点尸在直线EF上，作点A关于直线所的对称点4,连接43, 交直线尸于点P,此时3+P3最小，且必+ PB=%+PB=A，B=742+52 = 河第2题解图3 .C【解析】:BCE沿折叠，点。恰落在边A。上的点尸处，/1 = Z2, CE=FE, BF=BC=09在 ABF9 VAB=6, 3尸=10, AAF=102-62 =8, DFAD-AF= 10-8 = 2,设 b=x,则 CE=x, DE=CD

8、CE=6x,IQQ在心/)/中，。E2+。尸= /，(62+22=f,解得A3G沿3G折叠，恰落在线段3/上的点H处，N3=N4, BH=BA = 6,AG=HG, ZEBG= Z2+ Z3=|zABC=45, 正确；HF=BF-BH=0-6=4,设 AG=y,则 GH=y, G尸=8y,在 Rd HGF 中,VGH2+HF2=GF29An 9 ，y2+42=（8_y）2,解得 y=3,，ag=G”=3, GF=5, V ZA=ZZ）, 7=7,A-xTL i-AG 3 AB AG1而=瓦翁，:ASG与。所 不相似，J错误； ABG 2x6x3113=9,fgh=5,G7/=5x3x4 = 6

9、, *.4 -D 4339 .关注教学文化（2017丽水）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制 了一幅“弦图L后人称其为“赵爽弦图L如图所示，在图中，若正方形A5CZ） 的边长为14,正方形KL的边长为2,且AB,则正方形印G”的边长为9DC/AB,：./DFA=/FAB,：./DAF=/FAB,即A/平分ND4A4 .(1)证明：:AE/BF,：./ADB=/CBD,8。平分NABR/ABD=/CBD,：./ABD= NADB,:.ab=ad9同理可证AB=BC,:AD=BC,，四边形ABCD是平行四边形，.四边形ABC。是菱形；解：:四边形ABC。是菱形，BD=6,:.ACLBD,

10、 0D=；BD=3,：.在 RtA AOD中，。05乙4。8=。0530。=条=，/ljLx Z：.AD5 .(1)证明：四边形ABC。是正方形,ZADF ZABE=90, A。在AOb和 A3中,AD = ABy）,下列四个说法：？+产=49；九一尸2；2盯+4=49；%+y=9.其中说法正确的是（）A.B.C.D.第1题图2. （2017安徽）如图，在矩形A8CQ中，AB=5, AD=3.动点尸满足Sab=：S矩形ABCD,则点P到4 3两点距离之和雨 + PB的最小值为（）A. y29 B, 34 C. 5啦 D. 41第2题图第3题图3. （2017青竹湖湘一二模）如图，在矩形纸片AB

11、C。中，AB=6, BC=10,点 在。上，将BCE沿折叠，点。恰落在边AQ上的点尸处，点G在A/ 上，将ABG沿8G折叠，点A恰落在线段萩上的点”处，有下列结论:NEBG =45；DEFsabG；SwgWsngh；AG+O/=FG其中正确的个 数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. （2017 江西）已知点 4（0, 4）, 3（7, 0）, C（7, 4）,连接 AC, 5C 得到矩形 AOBC, 点。在边AC上，将边。4沿OD折叠，点A的对应点为4,若点4到矩形较 长两对边的距离之比为1 : 3,则点4的坐标为.5. （2017绍兴）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABC。

12、为正方形，点G在 对角线BD上，GEA.CD, GFLBC, A0= 1500 m,小敏行走的路线为 BtAGtE,小聪行走的路线为8一4一。一EF若小敏行走的路程为3100 m,则小聪行走的路程为 m.第5题图6. （9分）（2017广州）如图，矩形ABC。的对角线AC, 8。相交于点。，CO。 关于CD的对称图形为CED（1）求证：四边形OCEO是菱形；（2）连接 AE,若BC=y15 cm.求sinZEAD的值；若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP一动点。从点O出发， 以1 cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P,再以cm/s的速度沿线段PA匀速 运动到点4到达点4后停止运

13、动.当点。沿上述路线运动到点A所需要的时 间最短时，求AP的长和点。走完全程所需的时间.拓展培优训练1.（2016长郡教育集团第二届澄池杯）如图，在矩形ABC。中，AB=8, BC=12, 点石是8C的中点，连接AE,将AB沿AE折叠，点8落在点尸处，连接 FC,则 sin/b=（ ）A. t B. t C. i D. t 第1题图第2题图2. （2016长郡教育集团第二届澄池杯）如图，边长为1的正方形A3CD的对角线 AC.3。相交于点O.有直角NMPM 使直角顶点。与点O重合，直角边PM、 PN分别与Q4、03重合，然后逆时针旋转NMPN,旋转角为。（0。90。），PM、 PN分别交BC于

14、E、尸两点，连接尸交03于点G,则下列结论中正确 的有（）EF=pOE；（2） S四边形OEBF : S正方形ABCD = 1 ： 4；（3）BE+BF=pOA； （4）OG3O =AE2+CF2.1个 B.2个 C.3个 D.4个特殊四边形的相关证明与计算巩固集训1.（8分）（2017广东省卷）如图所示，已知四边形ABC。、AOEV都是菱形，/BAD = ZFAD,/区4。为锐角.求证：ADLBF-,（2）若3/=5。，求NADC的度数.第1题图2. （8分）（2017麓山国际实验学校二模）如图，四边形ABCD中,BD垂直平分AC, 垂足为点R E为四边形ABCO外一点，且NA。石=NB4。

15、，AELAC.求证：四边形A3DE是平行四边形；（2）若 D4 平分NBOE, AB=5, AD=6,求 AC 的长.第2题图3.（8分）（2017南雅中学二模）在平行四边形ABCD中，过点。作DELAB于点E, 点方在边CO上，DF=BE,连接AR BF.求证：四边形8FDE是矩形；（2）若。/=3, BF=4, DF=5,求证：4方平分ND4A第3题图4. （8分）（2017襄阳）如图，AE/BF, AC平分NBAE,且交8月于点C, 8D平分 /ABF,且交AE于点。，连接CD （1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若乙4。3=30。，BD=6,求 A。的长.第4题图5. （8分）（2

16、017青竹湖湘一三模）已知，正方形ABCZ）中，点E、尸分别是C5、C。延长线上的点，DF=BE,连接AE、AF,过点A作。于点”.（1）求证：（2）若 BC=3BE, BE=1,求勿NAED 的值.第5题图6. （8分）（2017长沙中考模拟卷三）如图，在正方形ABC。中，以对角线为边 作菱形班小,使5、C、三点在同一直线上，连接5R 交CD于点G.（1）求证：CG=CE；（2）若正方形边长为4,求菱形3OFE的面积.第6题图7. （9分）（2017长沙中考模拟卷六）如图，在ABC。中，AJ_8。于点E, AFA.CD 于点儿BD与AE、Ab分别相交于点G、H.（1）求证：AABEAADF；

17、（2）若AG=AH,求证：四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下，将A。尸绕A点顺时针旋转，若ADb恰好与ACE重合,求旋转角 (0。360。).第7题图8.(9分)(2017兰州)如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点石处，BE交AO于点F(1)求证：BDF是等腰三角形；(2)如图，过点。作。GBE,交BC于点G,连接尸G交友)于点O.判断四边形BFDG的形状，并说明理由；若AB=6, AD=8,求/G的长.第8题图答案l.C 2.C 3.C 4.C5. B 【解析】；在矩形 A8CD 中，AB=49 ZADB=309ZBAD=909：.BD=8, 矩形对角线

18、相等且互相平分,OC=AC=BD=4.6. D 【解析】:DEI心,。尸区4, 四边形AEZ)尸是平行四边形，故A选 项正确；./8AC=90。，四边形AE。尸是平行四边形，.四边形AEZ邛是矩形， 故B选项正确；工。平分N8AC,，/区4。=/04尸，XVDEAC, ：.ZEDA = zdaf=zead9 :.ae=de9又二四边形AEDF是平行四边形，四边形 AEDF是菱形，故C选项正确；如果ADLBC且ABBC不能判定四边形AEDF 是正方形，故D选项错误.7. B 【解析】由折叠可知，/BAE=/EAC, 9：ZEAC=ZECA. ：. ZBAC= 2/BCA, 四边形 A3c。是矩形

19、，N8=90。，.e.3ZACB=90, ZACB= 30, VAB=3, ：.AC=2AB=6.8. A 【解析】9：AD/BC, BE = CE,又：四边形ABCD是矩形,:BEFsDAF,：.BE：AD=BF：FD=EF：AF=1： 2,设 EF=x,则 AF = 2x, MBEFsAEB, ：BE： AE=EF： BE, ：.BE2=EFAE=3x29：.BE= 小x, ：.AB2=AE2-BE2 = 6x2, ：.AB=y6x. YABBE=AEBF, ：.BF=y2x9 在 RtABDC中，BD=DC2+BC2 = 32x,尸=26x,在 RtADFE中，EF x也 tanZBDE

20、=DF=2T 4 .9. 10【解析】如题图，由赵爽弦图可知，XGHI空XHEJWXEFK”XFGL :GL=HI=EJ=FK, FL=G1=HJ=EK,设 HI=m, 9：IJ/AB9:. HJ+FK= AB.即机+2+根=14,解得m=6,在放G/中，H/=6, G/=6+2 = 8, GH =4衣证=10,即正方形EFG”的边长为10.10. V17 【解析】VAC=/42+32=5, AQ=AD = 3, .CQ=2, ：AD=AQ, ：.ZADQ= ZAQD, ZCQP= ZAQD, ：. ZADQ= ZCQP, 9AD/BC, ：.ZADQ=ZCPQ. ：.ZCQP=ZCPQ9：.

21、CP=CQ=29 .*.BP=3-2=1, ：.AP =/AB2+BP2=/42+l2=V17.11. 20 【解析】:四边形 ABC。是菱形，OB=OO=；3。，/ABD=/CBD,V ZABC= 140, A ZCBD =ZABC =70, VD1C, ：. ZB DE =20%OE=gBD=OD, ：./OED= /BDE=2。. A12. 1073-10【解析】PBC是等腰三角形，有以下三种情况：（1）当以 点P为顶点时，则点P在线段的垂直平分线上，如解图所示，此时最小 值是10; （2）以点B为顶点时，则点尸的轨迹是在以点B为圆心，长为半径 的圆周上，由解图易知，P, A两点间最短距离是与点A重合，又,点尸不 与点A重合，故舍去；（3）以点。为顶点时，则点P的轨迹是在以点。为圆心，