第6讲指数与对数运算(教师版）.docx

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1、第6讲指数与对数运算一.基础知识回顾1.根式/7(1)根式的概念：若=则x叫做。的次方根，其中1且N*.式子。叫做根式, 这里叫做根指数，。叫做被开方数.Q的次方根的表示：；7x= a(当为奇数且 N*时)，nx=士一Q(当为偶数且n6 N*时).a,为奇数，(2)根式的性质：(a) = a(N*).相=回=,，a。，“为偶数.一Q, 0,2 .有理数指数募W 几(1)幕的有关概念:正分数指数幕：an= a(a09 m, N*,且心1)；_!L1 j_负分数指数嘉：a n= m=n (o，加，N*,且1)；生旦一cf”0的正分数指数幕等于Q, 0的负分数指数幕无意义.(2)有理数指数累的运算，

2、性质：屋优=屋+%。0,r，sQ)；)s=/m0, r, sQ);(abY=aH(a0, h0,尸Q).3 .对数及其对数的运算概 念如果ax=N(a0, W1),那么数x叫做以为底N的 对数，记作x=logN,其中。叫做对数的底数,N叫 做真数性质底数的限制：。0,且QW1对数式与指数式的互化：ax=NogaN=x 负数和零没有对数1的对数是雯：底数的对数是1：对数恒等式：aogaN=N运算性质logr/(A/-A9 = loga+ TogaNaQ,且M0,N00,且 qWI； c0,且 cWl； b0) log,。二.典例精析题型一：有理指数幕的化简与求值例1:已知，%是方程9/-82%+

3、9 = 0的两根，且avb,.小小+6-1 J g 3 _ 3求：(1)z；2 7a +8.(ab) 1【解】a,6是方程的两根，而由9/-82x+9 = 0解得%2 = 9,且。 一)a2b2=4题型二：分数指数幕的综合运算 例2：已知25+己一5=3,求下列各式的值:(Da+a-1；(2)才十/2；：晨-Q2_11_1【解】(1) +a 5 =3,二(a+a 5尸=9,即+2 + /=9, I.+ = 7. (2)由(1)知，W+，| = 7,(h+G)2 = 49,即4+2 + /2 = 49,才+8-2 = 47.由于3一己7=(丁_1 ! _1 1 + /5) (我 一/5)所以原式

4、=/ +/5 =3变式训练2： (1)已知才+2一=5,则+4的值为. 23-1+已知x2+x 2=5,则的值为(B )XA. 5 B. 23 C. 25 D. 27【解析】(1)2+2f=5, .(2+2-)2 = 25,即 4“+2 + 4-，=25, ，4加+4f=23. (2) Vx1 +- 1 1x 32 36 =5,.x+2 + x1 = 25, /.x-x1 = 23.=x+ =x+/i = 23x x题型三：对数运算性质的应用 例 3：计算：(1) log2A /+log212-log242+ (-) ,og23； 4822o9(2) lg 52+ 1g 8 + lg 5 1g

5、 20+ (1g 2)2.7 X 1 9【解】(1)原式= 10g248 X 423变式训练3：计算下列各式的值：（l）lg 14-21g -+lg 7-lg 18； 32(2) lg 53A.B.C. 2 D. 3+-lg 8 + lg 5 - lg 20+(lg 2)2.3【解】(1)(法一)lg 14-21g -+lg7-lgl8 = lg(2X7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32X2) 37=lg 2 + lg 7-21g 7 + 21g 3+lg 7-21g 3 lg 2 = 0.(法二)lg 14 21g -+lg 7 lg 1837 114X7=lg 14 lg(-)2

6、+lg 7 lg 18=lg=lg 1 = 0(2)原式= 21g 5 + 21g 2 + lg 5(21g31 2xi832 + lg 5) + (lg 2)2=21g 10+(1g 5 + lg 2)2 = 2+(lg 10)2=2 + l = 3.题型四：利用换底公式化简求值例4：（1）化简：logzZS log?16 iog51.(2)计算:(log43+【解】(l)M = log252 - log32-4 - log53-2=- 4 lg 2lg 2 lg 3式=四1+至1 lg 4 lg 8lg 321g 2 31g 25). lg 2=-.变式训练 4：计算：(l)log1627

7、 log8132； (2) (log32 + log92) (log43 + log83).【解】（1）原式=g_27 * g_32 3g 5g(2)原式=(近2+金_)(9+lg 16 lg 81 41g 2 41g 3 16lg 3 21g 3 21g 2lg 331g 231g 2 51g 3 5 =21g 3 61g 2 4题型五：用已知对数表示其他对数例 5：已知 logi89 = a 18=5,用 a, 6表示 log3645.【解】(法)因为 log189 = a,所以 9=18% 又 5 = 18,所以 log3645 = log2xl8(5X9) =log2Xi818+ ”=

8、 (a+ b) 10g2X182X1818 =log18 18X2 l + logl82 i + og|8 竺 1 + 1 log189 2 a ，S9所以原式=山.（法二）V 18=5,ai r-_ ；i .r- -loglH45_log18 5X9 logis5 b. . iog3645log1H36 log18 4X9log185+log189 _十。_a- bb21og182+log189 21og1818+logls9 2 21og189 + log189 2 a99变式训练5：已知logg9 = a, 18=5,求log45（用a, b表示）.25r版1 上 iq一a汨 i r A

9、 . -i 9lQgis45lOg185+log189b+a【解】 由 18 =5, 得 logi85 = 6, .log45=q=.25iogi A log189 log1825 a2b,25三：方法规律总结1.指数得运算的一般原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算.（2）先乘除后加减，负指数基化成正指数累的倒数.底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数. （4）若是根式，应化为分数指数累，尽可能用嘉的形式表示，运用指数嘉的运算性质来解答. 2.对数运算的一般思路：（1）首先利用鲁的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数累的 形式，使累的底

10、数最简，然后正用对数的运算性质化简合并.（2）将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底 对数真数的积、商、塞的运算四.课后练习作业一.选择题31 .下列结论当时，（2）2=q3；=同；函数y=（X一2）2 （3x7）。的定义域 是（2 , + 8）；若100 = 5,10，= 2 ,则2。+ b = 1.正确的个数是 （B ）A. 0B. 1C. 2D. 333【解析】只有正确.中QV0时，（。2）50, 30,将 &表示成分数指数幕，其结果是（C ）2a a2573A. a B. a% C. a% D. a，4/224 z【解析】o =, = a63/2/

11、 52 10铲,也一 心（）2 24.计算：1队9的值为（4）log23 2 21g 9log29解析log89 = lg 8=lg 9 1g 2=lg 3 1g 2= 21g 3 1g 2 = 2；或1og89= og28 = log23 lg 3 lg 8 1g 3 1g 23 1g 3 31g 2 1g 3 3 log23 log?3 lg 22log232 _21og23_2log223 log23 31og22 log23 32ei x24 .设 Hx)= 2 则 HA2)的值为(C )log3 Y1 ,A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析】f(2)=log3(22l)=lo

12、g33 = l, Af(f(2) = f(l) =2e1-l = 2e0=2.5 .设均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(B )A. logf/Mogc/? = logc67 logab. B. ogabAogaa = ogabC. loga(bc) = logab. logaC D. log”(b + c) = log b + log. c【解析】a, b,cWL考察对数2个公式：log-盯=log, x + log。y,loga b =log4对选项A: 108,*108力=108, = 108,4 二 超4,显然与第二个公式不符，所以为假。 10gc b对选项B：108108/

13、 = 108力=108,* =g鼠2,显然与第二个公式一致，所以为真。 log, a对选项C: log,(bc) = log/loga c,显然与第一个公式不符，所以为假。对选项D: log, (b +c) = log. b +log”,同样与第一个公式不符，所以为假。所以选B9-6 .计算(2小6一 ) (+3),得(卜)3333 -3 A. Id B. Id C. b3 D. b3 2222-+1+-33【解析】原式=2X( 3)+4X-+j b 23227.lg”，lg6是方程2/4x+l=0的两个实根，则lg(a6) (lg).(B ) bA. 2 B.4 c.6 D.8【解析】由已知

14、得，lg a+lg 6=2,即 lg (aS) =2, lg a lg 6=1.所以 lg (a拉 (lg *)? 2b=2 (1g 1g 6)2 = 2(lg a+lg 6)2 41g alg b=2 (224X b =2X2 = 4,故选 B.8 . ii+ii等于(CA. 1g 3 B. -lg 3C. D.-lg 3 lg 3【解析】原式=log + log = log94 + log35 = log32 + log35 = log310 =9435lg 3【答案】C9 .若 log力 log3a=5,贝Ij6=( A )A. a B. / C. 53 D. 35lg 3lg a【解析

15、】由换底公式得，运.”=5,化简得lg b=51g 3 = lg 35, .=35.10 .设 2=5=，且.1 = 2,则/ =( A ) a bA. 10 B. 10 C. 20 D. 100【解析】:2=5=力，.a=log2勿，6=log5%.，l + l= I1111 11111 1 11 1【解析】2X32X12/义 126 = 2X32X33X2-AX36X23 = 2X31+1+1X2-1+1=6. + 1 =log2 + log/5 = logJ0 a b log2zz7 log5/z/=2. Az = 10, ；.m= 10.11 .已知才=9,2=8,则x+2y的值为(A

16、 )A. 6 B. 8 C. 1 D. log.,8 ooo【解析】由 2V=9,得 X=log29,由7=,得 y=log2 , /.%+ 2y= 1 og29 + 21 og2 =21og23 333ooo+ 21og2 =2(log23 + log2 ) =21og2(3X ) =21og28 = 2X3 = 6. 飞一“3312 .定义在R上的函数外)满足八一x)=#x),加一2)=/(x+2),且x(1,0)时，外)=2 + L 则/(log220)等于()4 4BC.-lD.-5 5【解析】由/(x2)=/(x+2),得,/)=/(工+4),因为 4Vlog220V5,所以./(k

17、)g220)=/(log220414iog2- 14)=-A4-log220)= Alog2 )= -(2 5+-) = 1.JD二.填空题 3613 .计算：2他义黄3b0,求 的值. a+ b【解】VX- yx =( x+ yx+ )2_(xyx 4=4孙将户1xy xy 2尸;代入上式得：原式1X2 42 3 = _2313 = 24166x + 4 0的两根,。+6 = 6ab=4a-b2 ah_6 2 4_ 2 _1a + b+2 ab 6+2 4 10 5a- bq+ b1_ 55 520.已知x,y, z为正数，且3、=4 = 61求使2x=py的o的值；(2)求证:1 =1_1

18、 2y z x【解】 设 3=4 = 6=A(显然左Wl),则 x=log3% y=log4A, z=log6A,由 2x=py,得21og3A=plog4=p 10g3 , Vlog3A0, Ap=21og34. (2)iE01 log34ZX log6 A log3A= logA6logA,3 = logA2= logA.4 = 22 log/ 2y1 . 11 , 11+ 2 log23 = log2 + = + =,原式= 21g 5 + 21g 2 + lg 5(l + lg 2) + (lg 2)2 = 2(lg 5+lg 2)+lg 5 + lg 2(lg 5 +lg 2)=2 + lg 5+lg 2 = 2 + l = 3.