第5讲集合与集合间的关系.docx

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1、第5讲集合与集合间的关系【考点分析】考点一：子集的概念如果集合4中的任意一个元素都是集合3中的元素，就称集合/是集合3的子集，记作力G例或33，）用图形表示为考点二：真子集的概念如果集合4G8,但存在元素且超4 就称集合/是集合8的真子集，记作 工用图形表示为考点三：集合相等的概念如果集合力的任何一个元素都是集合3的元素，同时集合8的任何一个元素都是集合4的元素，那么集合力与集合8相等，记作4 = 3考点四：子集的性质任何一个集合是它本身的子集，即对于集合4, B, C,如果且那么4GC考点五：空集的概念定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.规定：空集是任何集合的子集.考点一：简单集合间关

2、系的判断【精选例题】【例1】设集合 =卜1/ = 用歹= 2x-1,则下列关系中正确的是（）A. M = PB. M PC. MD. M eP【答案】B【分析】将集合P化简，即可由集合间的关系求解.【详解】由。=|歹=2一2工-1=b| y = （x_i2） = 叩 12,所以 P ,故选：B【例2】已知集合/ = *，-1 = 0,下列式子错误的是（）A. leAB. 一14C.D. = 4【答案】【详解】解：x2-3x + 2 = (x-1)(x-2)= 0,解得工=1 或 x = 2,则 4 = 1,2,由 8 = x0 x 2 = yy 2 D.1,2 = 2,1【答案】ACD【详解】

3、解：方程x + V = l中x的取值范围为凡 所以x|x + y = l = R,同理小+ = 1 = R,所以A正确; (x,y)|x + y = 2表示直线 x + y = 2 上点的集合，而xx + y = 2 = R ,所以(x,y)|x + y = 2 w xx + y = 2, 所以B错误；集合卜卜 2,卜卜2都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；由于集合的元素具有无序性，所以1,2 = 2,1,所以D正确.故选：ACD【例4】若xM + px +夕=0 = 1,3,则P + 4的值为()B. 3C. -1D. 7【答案】C【详解】因为卜尸+px + g = o= 1,3,所以

4、1+3 = -p lx3 = qp = -4解得 ，所以P + V = -l ,故选：C. 4 = 3【例5】(多选题)下列各组中M,P表示相同集合的是()A.八3,-1,P = 7,3B. M = x x = 2/7, e Z,尸=卜| 工=2 伞 + 1 e Z C. M = |yl y = f + l,x RIP = x| x = r +1,/ e R|D. M = y y = x2 -l,x e R, = |(x,j)| y = x2 -l,xe【答案】ABC【详解】对于A,集合。含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A是；对于B,因为 eZ,则+

5、 1eZ,因此集合。都表示所有偶数组成的集合，B是；对于C, Af = 歹1 y =，+l,xR = 0,+8),p = x| x = +i/r = 0,+8),即M = P, C 是；对于 D,因为集合”的元素是实数，集合。中元素是有序实数对，因此集合P是不同集合，D不是.故选：ABC【跟踪练习】1.已知集合 4 =卜0,。+ 6,部，B =0,l-Z),l , (a, b e R),若 4 = 8,则 a + 2b=()A. -2B. 2C. -1D. 1【答案】D【详解】,集合 / = o,Q + b, , B = O,1-Z,1，且 4 = 8,，a + b = 1 - b,= 1,或

6、 a + b = L? = 1 - b, 先考虑a + b=l b*=l,解得 a=b = ,此时 4 = o,|,l, B = O,1,满足题意，a + 2b = 1； 再考虑 a + b = * = 1 - b,解得 q = 0,6 = 1 ,此时 Z = 0,1,0 , B = 0,0,1,不满足题意，综上，a + 2b = 1 故选：D2,下列各组两个集合A和8表示同一集合的是（）A. A = 7r,B = 3A4B. / = 2,3,8 =（2,3）C.力=9,百,兀,3 =卜,1,卜百|D. = x|-lxl9xeN95 = l【答案】C【详解】解：A选项中集合A中的元素为无理数，

7、而8中的元素为有理数，故ZwB; B选项中集合A中的 元素为实数，而3中的元素为有序数对，故C选项中因为|-万|=6,则集合4二1,也4,8二匹1,函,故4 = 8； D选项中集合A中的元素为0, 1,而8中的元素为1,故/wB.故选：C.3 .（多选题）下列选项中的两个集合相等的是（）A. P =/ 一3、+ 2 = 0b 0 =-3y + 2 = o B.尸=x x = 2 一 N*, 0 = x x = 2 + 1, N*C.产=卜；_% =（）, C = D. P = x y = x +1, Q = （x,y）|y = x +1 2【答案】AC【详解】对于A,2=卜了3x + 2 =

8、0 = 1,2,0 =卜|/3歹+ 2 = 011,2,所以P和。都只含有两个元素1, 2,所以夕二。；故A正确；对于B, IcP,而1任。，所以产工。；故B错误；对于C,/ = x|x2-x = 0 = 0,1,0 kJ?） ,eZ=0,1,所以尸=0；故 C 正确；对于 D,集合尸是数集，而集合。是点集，所以。.故选：AC.4 .下列选项中两个集合相等的是（）A. P = x /+% = o,。=卜 % =e Z B. P = W;。= 0C. P = xx = 10，z，0 = xx = 2加且 X = 5/7,777 Z, ZD. P = xx = + #,aeR,6eR,Q = xx

9、5 -3x3 -4x = 0【答案】ACD【详解】A.因为。=卜卜2+ =（）=_1,0,0=卜1,0,故两个集合相等；B.因为。=。的元素是0, 。= 。的元素为0,故两个集合不相等；C,因为 P = x X = 10左，左 z, 0 = x|x = 2加 I X = 5,2 Z/7 Z = x X = 10左，左 z,故两个集合相等；D. P = -2,0,2,0 = 2,0,2,故两个集合相等；故选：ACD5,下列说法正确的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合。，可共有4个子集C.集合x| r=3+L eZ =x| 工=3-2, eZ D.集合x| x = l + /,eN* 二

10、x|不二片-4q + 5,qcn） 【答案】BC【详解】对A,空集不是它自身的真子集，故A错误；对B,因为集合。,可中有2个元素，所以有22=4个 子集，故B正确；对C,因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正 确；对 D,因为工=/一4 + 5=（-2）2 + 1 ,当 a = 2 时，x = l,所以 1卜| x = /4q + 5,qN*,但 U（x|x = l + tz2eN*）,故两个集合不相等，故D错误,故选：BC.考点五：简单集合之间的关系求参数注意：解决此类问题一定要考虑空集【精选例题】【例1】（2023新高考1卷真题）设集合/ = 0, 8 =

11、1,2,2q _2,若A = B,则=（）.一2A. 2B. 1C. D. 1【答案】B【分析】根据包含关系分。-2 = 0和2。-2 = 0两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为则有：若2 = 0,解得4 = 2,此时4 = 0,-2, = 1,0,2,不符合题意；若2一2 = 0,解得4 = 1,此时/= 0,-1, 3 = 1,-1,0,符合题意;综上所述：。=1.故选：B.【例2】已知集合/= x|a-l4xa + 2, 5 = x|3x5),则使力卫8成立的实数。的取值范围是.【答案】x|3x4)a 3；2：5,解得故实数的取值范围是艮4.故答案为：卜|3Wx4【例3】已知/= x

12、,3x + 2 = 0, B = xax = ,若BqA，则实数。取值的集合为()A. 0,1,B. 1,；C. 0,2,D. -2,；【答案】A详解因为力=卜卜2_31+ 2 = 0=卜卜_1)(工_2)=0= 1,2,又8 = x|qx = 1,当8 = 0时，方程依二1无解，则q = 0,此时满足3屋/ ；当时，qwO,此时3 = x为使Bq力，只需工=1或，=2,解得。=1或。=工，综上，实数。取值的集合为故选：A. a a22例 4已知 4 =卜|，-21_8=0,6 =卜 ir+Qx + a? -12 = 0 .(1)若力8,求。的值；若8力，求实数。的取值范围.【答案】(1)一2

13、； (2)。24或。一4或 =2.【详解】(1)由方程一2工一8=0，解得x = -2或 x = 4 ,所以 A = -2.4，又 A 三 B ,5 = x| x2 +tzx + tz2 -12 =0,所以8 = -2,4,即方程/+办+ /- 12=0的两根为玉=-2或=4,利用韦达定理得到：2 + 4 = -，即a = -2；（2）由已知得/= -2,4,又A,所以8 = 0时，贝必=。2一4（/一12）（）,即骁。，解得八4或q -4 ；当Bw0时，若8中仅有一个元素，则 = /4（/-12）=0,即/-16 = 0,解得。=4,当。=4时，5 = -2,满足条件；当。=-4时，B =

14、2,不满足条件；若5中有两个元素，则8 = 4,利用韦达定理得到，2 + 4 = -q/2 口，解得-2,满足条件.综上，实数4的取值范围是或。-4或 =-2（一 2）x4 = q-12【例 5】已知加为实数，（ = |xx2-（m +l）x +/77 = 0| , 5 = |x|mx-l = 0.（1）当时，求加的取值集合；（2）当8 A时，求用的取值集合.【答案】律；（2）0,-1【详解】（1）解：因为x2-（l +加）X +加=（%-1）（工一加），所以当2 = 1时，4 = 1,当-1时， = 1,加.又Aa B,所以加=1,此时8 = 1,满足力右乩 所以当/右3时，加的取值集合为1

15、.(2)解：当2 = 1 时，4=8 = 1, Bk 4 = 1,机,由 mA不成立；当团=0时，A = 1,0, 5 = 0, B A成立；当加W1旦A,得2=,所以加=-1.综上，2的取值集合为0,7.m【跟踪练习】L 集合力= T2, B = xax-2 = 0,若则由实数。组成的集合为【答案】-2,1,0.【详解】.集合力= -1,2, B = xax-2 = 09且 4 q 力，5 = 0 或 3 = -1或 8 = 2,.= a = 0,1,-2 .则实数。组成的集合为-2,1,0 .故答案为：-2,1,0.2.已知4 = x|-2x5 , B = x? +1 x2m-1 , B

16、匚 A ,则加范围.【答案】mm m +1只需（加+ 122,解得24加03综上所述，实数机的范围是加工3.故答案为：m|m3.2m -1 53 .已知集合4 = 1,8 =1,2+21+ 4 = 0/1,且则实数q的值是.【答案】-3【详解】因为力=1, B = xx22x + a = 0, A = B,所以x = 1是方程/+2%十 =o的解，即12+2xl + a = 0,解得。=-3.经检验，。=-3符合题意，所以。=-3.故答案为：-3.4 .已知集合/= 0,2, B = xax + l = O,若BjA,则由实数。的所有可能的取值组成的集合为（）【答案】D【详解】当。=0时、方程

17、娘+ 1 = 0没有实数根，故8 = 0 ,显然符合,当awO时，由ox + l = 0nx = 显然xwO,因此要想8 = /,只有，= 2na = 因此实数。的所有可能 aa2的取值组成的集合为故选：D5 .已知集合 Z = x|2x3x + l2x + 4, 5 = x|w + l x-m 2,若 B A,则实数？的取值范围为.【答案】-L+8）【详解】由题意，得/= 乂-1 W x W 3 , 5 = 1x| 2m +1 x m + 2.当3 = 0,即加+ 2 1时，8 A,满足题意；当BW0,即?1时，若8人，则 。勺或，解得一1m（1.m + 2 3m+ 2a,若A = B ,则

18、q的取值范围为（）A. a2C. a0【答案】A【详解】由题意得x 220,解得x22,故4 =何工22,因为/右8,所以。2.故选：A7 .已知 =x/一右一3= O , N = x/+办+i= o,q r,且n M ,则a的取值范围为.【答案】-2q42【详解】由题意，集合=乂，一2工一3 = 0 = 1,3,当N = 0时，即 = /4o,解得一2。2,此 时满足N ，当NW0时，要使得N M ,则kN或3eN,当MN时，可得(- + 1 = 0 ,即。=2, 此时N = 1,满足N M -当3wN时，可得32+3q + 1 = 0,即=一.，此时N = 3,不满足N M , 综上可知，

19、实数的取值范围为。-202 .故答案为：-202.8 .设集合 4 =| / + 3工 + 2 = 0 , B = xx2 +(m + l)x + m = O.若8中有且只有一个元素，求实数加的值；若8力求实数加的值.【答案】(1)1; (2)加=1或加=2【详解】(1)解法一：因为/+(加+ 1卜+加=0 ,整理可得(x + l)(x + M = 0 ,解得=-1或x = 2 ,又B 中只有一个元素，故 2=1 .解法二：8中有且只有一个元素，所以方程/+(2 + l)X +加=0有唯一实根，从 而 A = (m +1)2-4m =(m-l)2 =0,所以加=1.(2)由+3 + 2 = 0

20、,解得x=-l或x = 2,由/+(加+ 1卜+加=0，整理可得(x + l)(x +加)=0 ,解得了=一1 或工=一加，B7A,当加=1时，B= - 1,满足当加= 2 13寸，B= -1, -2同样满足故加 =1 或 m = 2.【分析求出集合A,即可依次判断.对A：利用元素与集合关系判断； 对B： “厂表示元素与集合之间的关系；对C： 0是任何集合的子集；对D：判断与A是否为包含关系.【详解】v = x|x2-1 = 0 = 1,-1, 1G 4T G 40 q 4-1,1 1 力.-1与A是两个集合，不能用“c”表示它们之间的关系，故B错误.故选：B【例3】已知集合 =（xj）|x

21、+ y0和 P = （x,y）|x0/0,那么（）A. N M B. M NC. M = P D. M 手 P【答案】Cy 0 fx 0,、【详解】由J得到0=恒川0，0，又P = （x,y）x0,y0,所以 M 二 N,故选：C.【例4】集合力= x|x =（2左1）兀/2与8 =卜|工=（41）兀, Z之间的关系为（）A. AjBB. BqAC. A = BD.不确定【答案】C【详解】由于集合A, 3中的元素均为兀的整数倍，且%-1、41 （左、eZ）都可表示出所有的奇数, 因此4 = 5.故选：C.【例 5】已知集合 4 = x|x = 2,N , 5 = x|x = 2z2 + 1,/

22、?gN , C = x|x = 4 + 1, N,若q 4，be B , 则A. a + b e AB. a + be BC. a + beCD.以上都不对【答案】B【详解】由题知，A = x|x = 2,N是非负偶数集，8 = x|x = 2 + l/N是非负奇数集，C = x|x = 4 + 1,N是由4的倍数加1构成的非负集合；又: aeA , b B ,a + b是奇数;故a + b e B , q + 6与C的关系不确定.故选：B.【例6】已知集合力 = xQ|(x-2) = 0, 5 = xeR|(x-l)(x2-2)= 0),则下列关系正确的是()A. A = BB. A BC.

23、 B AD. AcB = 0【答案】B【详解】若xeR,解(x-1)(，-2)= 0可得，x = l或 =/或工=后，所以8 = 1,-后 后.若xeQ,则x = 1,所以4 = 1,所以/反故选：B.【跟踪练习】1 .下列集合关系中错误的是() A. (/)B. 0,2qZ C. 0 = 0D. 0,1 G 1,0【答案】A【详解】对于A：集合(1)为点集，含有元素(。1)，集合氏外含有两个元素。，b,所以(/)不包含于/,故A错误；对于B： 0,2 = Z,故B正确；对于C： 0e0,故C正确；对于D：因为0 = 1,0,所以0,1 q 1,0,故D正确；故选：A2 .设集合/= x|x

24、= 3Z，丘N , 5 = x|x = 6z,zeN+,则()A. QeBB. AqBC. 5 AD. ACB = A【答案】C【详解】解：集合/= x|x = 3左，左eN, 8 = x|x = 6z,zeN+则DxeB,x是6的倍数，且为正整数，可知x必是3的倍数，即xe/,所以3力,则力= 又所以8 A.故选：C.3 .已知/ = x|x = 3A + 2,左eN, B = yy = 6m-59 m e N,则集合A与集合B之间的关系为()A. A = BB. 8 AC. A BD. 4 cB = 0【答案】B【分析】由集合间的基本关系判断即可.【详解】/ =卜| x = 3% + 2,

25、左 N , B - y y = 6m + 5,m g N)= y y= 3(2加 +1) + 2,？ N,因为加eN,所以2m + l为奇数，所以8A.故选：B.4,下列表述错误的是()6.已知集合屈=卜 = 怨 45,4ez,尸=.A. M=PB. M PC.【答案】B【分析】化简集合，根据集合的关系即得.【详解】因为中=-45-z,4上J*90。,1.则集合M, P之间的关系为（） 4JP MD. M cP = 0c|x =（21）-45JgZ）,A. 0oOB. 0,1 o 1,0C. 兀 = RD. 0 = 0【答案】D【分析】根据集合与集合的关系确定正确答案.【详解】A选项，空集是任

26、何集合的子集，A选项正确；B选项，任何一个集合都是它本身的子集，B选项正确；C选项，兀是实数，兀 R, C选项正确；D选项，0是一个只有一个元素的集合，不是空集，0 = 0不正确.故选：D5.已知集合4 =卜卜2 2x =。,则下列选项中说法不正确的是（）A. 0AB. -2 AC. 0,2 e AD. Ayy3【答案】B【分析】确定4的元素，根据元素和集合的关系以及集合间的关系判断各选项，即得答案.【详解】由题意知集合力=卜卜2 2x = 0=0,2,即0,2,故0q“，正确；2 g A 9错误；0,2 4,正确；由于4中元素0歹|3,2卜|形3,故41卜卜3,正确，故选：Bp = 45,左

27、 eZ,所以p.故选：B.考点二：集合之间的关系注意：空集的基本概念，空集是任何集合的子集【精选例题】【例 1】下列各式中：004,2；0,1,2 42,1,0； 0/0,1,2； 0 = 0；0,1 = （01）； 。=0.正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】集合之间只有包含、被包含关系，故错误；两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则 0,1,2 = 2,1,0,正确；空集是任意集合的子集，故0qO,l,2,正确；空集没有任何元素，故0A。, 错误；两个集合所研究的对象不同，故（0）为不同集合，错误；元素与集合之间只有属于、不 属于关系，故错误；.正确.故选：

28、B.【例2】（多选题）下列关系中正确的是（）A. Oe0 B. 0e0C. 0o0D. 0oO【答案】BCD【详解】选项A：空集中没有元素，故A错误；选项B： 0中只有一个元素0,故B正确；选项C, D：空集是任意集合的子集，故C, D正确故选：BCD【跟踪练习】1.有下列关系式:/ = ；曾力仁抄川；0 = 0； 0 = 0；0 0；。网淇中 不正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【详解】对：因为集合元素具有无序性，显然正确；对：因为集合。力=抄,。,故。肉=也正集合C中必有元素1,2,而元素345可以没有，可以有1个，或2个，或3个.即满足条件的集合C为：1,2, L2, 3, L2,

29、4, 1,2,5, 1,234, 1,24,5 , 1,2, 3,5, 1,2, 4, 3,5共 8 个故选：C【例5】已知集合”满足2,3 = = l,2,3,4,那么这样的集合”的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【详解】2,3仁口123,4,要确定集合,只需确定1和4是否放置在其中，共有4种情况，2,3,1,2,3,2,3,4,1,2,3,4,故选：D例6已知集合 =12,3,4,5,6,7,对它的非空子集A ,可将A中的每一个元素左都乘以(-球再求和(如 / = 2,3,5,可求得和为：2.(-1? + 3(-1丫 + 5(-1)：-6,则对的所有非空子集执行上述求和

30、操作，则 这些和的总和是.【答案】-256【解析】首先确定每个元素在集合/的所有非空子集中分别出现2$个，在求和.【详解】因为集合=123,4,5,6,7,那么每个元素在集合的所有非空子集中分别出现26个，则对的所有非空子集中元素女执行乘以(-球，再求和操作，则这些和的总和是26(-1)1 + (-1)2 + (-1)3 + (-1)4 + (-1)5 + (-1)6 + (-1)7 =-256故答案为：-256【跟踪训练】1 .已知集合力=小2+ 3 = 0,且满足1,则集合A的子集个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【分析】根据给定条件求出。值，进而求出集合力即可得解.【详

31、解】因为集合4 =卜，+方+3= 0, 1 6 4 ,所以l + a + 3 = O,解得Q = -4 ,因此，A = xx2 -4x + 3 = 0 = 1,3,则/的子集有 2? =4(个).故选：D.2 .已知集合/= （工/）| = , B = （x/）|y = x,则集合4n8的子集个数为（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】By = X2 % = 0 x = 【详解】由,解得 八或 所以zn8=（o,o）,（i,i）,有两个元素，所以/nB的子集个数为y = x U = o U = 122=4.故选：B3 .已知/= xcN|，一cN,则集合”的子集的个数是（） 6-xA.

32、 8B. 16C. 32D. 64【答案】B【详解】解：因为eN,所以6 x = 1,2,3,6,XxeN,所以x = 0,3,4,5,所以集合 =0,3,4,5, 6-x所以集合的子集个数为24 = 16个.故选：B.4 .（多选题）下列说法正确的有（）A.集合1245有16个真子集B.对于任意集合力，0AC.任何集合都有子集，但不一定有真子集 D.若0 A,则/N0【答案】BCD【详解】集合1,2,4,5有4个元素，故其有24-1 = 15个真子集，故A错误；空集是任何集合的子集，则0q4 , 故B正确；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确；空集是任何非空集合的真子集, 若0 A,则Z/0,故D正确.故选：BCD.5 .满足条件123,4 qq 1,2,3,4,5,6的集合M的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【详解】因为解2,3,4 qM q1,2,3,4,5,6,所以集合”的个数即为竹5,6的子集个数为2? = 4，所以 满足条件的集合的个数是4.故选:D.6.已知集合4 =卜卜2 3x+2=04 R, 5 = x|0x5,xeN）,则满足条件/ q C q 8的集合C的个数为 ,满足条件C 8的集合C的个数为 .