2023年黑龙江省伊春市统招专升本高数自考预测试题(含答案).docx

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1、2023年黑龙江省伊春市统招专升本高数自考预测试题（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（20题）3、已知AI ,且 AX + l-1 IB.I).2.已知函数/1）在开区间（。,力内V0且/（） 0.则在开区间Q）内.小）是A.单调递减且形状为凸B.单调递增且彬状为凸C.单调递减且形状为凹D.单调递增且形状为凹3.下列级数中，条件收敛的是B. *(-1尸-pn-1y/nD. (- 1尸-L-=J：C/（rco和rsiM）rdr 则积分区域D为4.若一重积分1/(%,)，)心心bA. a-2 -F / 2xC.r* -F / 2 v答案A【精析】/(x)在() + )上连续可导，()=

2、- 4- 2bx 4-1. *.*.r= 1 和l=2 x是函数/(.r)的两个极值点/(1) = /(2) =0即。+ 2/，+1 =0且+4 +911 = 0=-W 故选 A. OO【精析】dr i -*u乙9 .A答案A【精析】 CO在- 1.1上是偶函数在- 1.1上是奇函数.所以,在- 1.1上是奇函数，故该定积分的值为0.Zj-+ COSH10 . A，答案Ai J k【精析】 因2 3 0 = (6 ,4,14),故宜线的方向向量可取s= (3 -2.7) 平面法向 0 7 2量=(3 -2,73可知直线与平面垂直.11 . A【精析】 若AXC= %.且A和C为(2)阶可逆的方

3、阵.则AX =欣-.因此X = A/JC-成立.12 .C【精析】由题可知= 1 .所以lim也珏4/ = 2 lim.土给红一幺此= 2/() = 2.13 .A答案A【精析】y =-5(*+1尸./=- 20(1+1，令)/ = 0,h=l,y(1) = 2,.r 1 时 0；.r 0所以曲线的拐点为(一 1.2) .故本题选A.答案B【精析】，= 5产.)=留 1 1，1 = 5是函数的连续点,且在1 = 5两侧3y V.r 5/同号/异号.因此,r = 5不是函数的极值点.但(52)是拐点.故应选B.15 .C【精析】 方程化简为/ + *= 1 .为一阶线性微分方程由通价公式得y=

4、e-J+* ( | 1 + C)=(m+c)7(A-十*16 . A答案A【精析】 因为cos兀是常数.所以yf= (cost:+ sinj-)z= 0 + cost = cos.r.17.C答案C 【精析】呼TL = /所以j, = 1为曲线的水平渐近线,故应选(、.18.C1ot 精析】(Z | ,。2 G)=231 -iL|03 a + 2 |05 i o T。12 2 0 01一II.若r( a】费2 i + 10a )d.r = -y f/(.r2 )r (M )d(M )422.0【精析】I，x = v - 从1变到-1. y = y则 | /di + y3d.y =(2v5 +

5、1y3 川)=0.-i23.-9arcsin3j .，1 - 9刀 产答案林学+ 3户【精析】了一 M + 3 八一底=一 Karcsi做+ 3,2 /I 一 97所以dy :-9xarcsin3x , 0 x 八 丁。工 di. x/1 - 9 j -J24.-2*1dy /(X, v)dx(I J子答案加：/(7)疝【精析】 积分区域。=(. I 0 .r 1.02x = (.r.v) I 0 y 0. | 1 cosi | 4 2 所以 lim( 1 cos.r)sin = 0. XL”X27.In32 ln3ln3 ooo【精析】 S等是公比为苧V1的等比级数且收敛.则g 5等 =j-

6、7 =* ”1-Jln32 ln3,28.可去【精析】9W，知N =-1为函 o11-1-(J,4 1 )(T 1)由R = %E)(l2)数的可去间断点.29.1,答案1【精析】根据“无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小”可得1 01 +0_ siirrr jc- sinx xlim ；： =hm ：-8 x + siilt loo + S1ILZ30.答案1 y=C(1+cD【精析】 原方程为可分离变量方程.分离变量可得=三=(b. y】+ c两边积分得ln | y |= f cKl + eO = In | l+e? |+In | C | = In | C( 1 + eO |. J 1十c故通

7、解为y =+31.N【精析】 方程两边分别对/求导数得，= / + 4/“修理可得=丁 1 - xey=2一丁32.N【精析】 因为+叫)=Iim(l+a) + 21 = 2,所以。+ 1 =0 即 a =-1.M 11lt 833.Y答案【精析】 令；(t)= 71-e-2, ./j /Q ) = J，o. r (O.ln2) 所以1 6 O.lnZ- /I - c-2r e 2, dr W .ln2.34.N时./(0)M/Q)W/(ln2)即 OW，l-e & W 堂于是。之广 LJ i精析Hm) = Hm。i)/W = (.Q).h -on*-o h35.Y答案Jr 行 xr- *，1

8、11,2tn) /-1)【精析】、=?TT7F.7 =-,)(TT7736.N【精析】反例：取/(j) =1.g(.r) =/当/f 8时均无极限，但/1)+ g =0有极限.37N【精析】若力收敛”收敛，则(6+”也收敛.38.N【精析】 因为=1,所以/ = Inj,函数/(.r) = e，与/(/)=瓜丫互为反函数，图像关于y = /对称.【精析】平= d.r39.Y答案Vm J精析】ar 区 1 ,故 /(sin、r) = 1.40.Y【精析】lim ( + / + Y + = Um e，B(T，VI，J 1 ,1, ,一 , 十一【精析】 将原方程变形为与=1丁必cos-y1 +.L

9、两边积分得/金-=14dl.-COS- V - 1 十.L即 lanv = -ylnd +x-) +C 乙乂因为、r = 0时，y = 0,所以C = 0.故原方程的特解为lanv = yln(l + ./).43.【精析】 向量/的方向余弦为2 13cosa = cos5 = ；=cosy = ；=/IT /U V14i = Z.vyz , = _r“ y,(ixJy(fz，与I =产,焉一J矗+ ,信)I.” =焉。44.(f , = e r (2d, + 2 v -F 4 v 4- 1) = 0 【精析】解方程组Jfy =昌(2.y + 2) = 0,求得驻点为6一1).f r,= e2

10、r(4x + 4y2 4-8v + 4)-/,v = e2(4 4-4) ,/.vy = 2e匕A =九 6, - 1)= 2e,B = f,y / j. - 1)= O.C= 1)= 2e.由于 B- - AC =-4e- 0.所以己.T)为极小值点.函数的极小值为/(f T)=全【精析】 原方程可化为字 +与=陋. d.r 1 x一阶线性非齐次方程P(x) = 2,qq.)=如:. XX代人通解公式可得y =2I，c.M d.r + C e = ( 2j lnj d.r + O 4y(Mhu-0 + C)-446.【证明】 令F(.r)=工一由F(k) = 1 +2/ = 0得唯一驻点.r

11、 =.且r(n = 2o,F(l)=l-l + l = l-lo.-:r + .72 0,【证明】 两边取对数.并将冗换为九得辅助函数.设 / (I) = eln.r - 7/(/)=当h e时./ 0.则/(x)在c. +2 时单调减小,f(.r) e./(7t)V 0.【精析】总利润L(t) = p(.r) j: C(j) = (800 j) 1一(2000 + 10/) =-j2 + 790.r-2000.因为LGr)=-2D0 ,令L(1)=。得唯一驻点:才=395,又L”(才)=一20,所 以/ = 395为唯一极大值点从而为最大值点且/,(395)= 154025.所以厂商生产收音

12、机395台时所获取的利润最大.最大利润是154025元.【精析】 设零售价为元,利润为L元.则有L(.r) = r 200+ 10001(j 30) = (6000 - 100j-)(.r - 30),/( ./)=- 100(.r - 30) + (6000 - lOO.r) =-200.z + 9000.令 L (.r) = 0.解得.? = 45.L，f = 200 0 故为极 3 r* 0式3 r小值点.在此问题中也为最小值点.代入，解得八=，毁,即当该立圆柱的底而半径为V 5nd 高为J :：时.其表面枳最小，52.【精析】 设正方形的周K为八则|别形的周K为“ 一 1则正方形的边长

13、为9.I研形的半径为幺三.IZk正方形与圆形的面积之和S =+生旦()164 k令$=一皆=。得岩而$(击) 0故1=将时正方形与圆形的面积之和取极小值又是唯一驻点故也为最小值.即当正方形周长为应圆的周长为时,止方形与圆形的面积之 47：4 十 7C和最小.5.A.* I + *2 -I-A-.r:1 = 0, 设齐次线性方程组.4 +M2+4 = 0.的系数矩阵为A.且存在3阶方阵 彼-n + .r+ A.r;1= 0八=。.则()A.入=一 2 且 | /，| = 0B.入=- 2 且 | /，| 工 0C.入=1 且 |8|=0D.A = 1 且 |8|#06.已知/ = 1和才=2是函

14、数/I）=小口+公2 +.的两个极值点,则已的值分别为B. a =之.bJ7.设函数 /(x = Insiar,则 d/(j)=A.熹d.rB. cot.r d.rD. taru d.r8.当，一 0时下列无穷小量中，与“不等价的无穷小量是（）.A. In(,r + 1)B. arcsin.rC. 1 COSTD. /1 + 2.r 1定积分L 2/黑产的值为( )A. 0B. 1C. - 1D. 2（2/ + 3y = 0空间直线L：J“ 与平面q：3M-2.v + 7z = 8的位置关系是（）7y+ 22=0A.垂直B.斜交C.直线在平面上 D.平行已知A和C为阶可逆的方阵，若AXC= B

15、,则下列各式中总成立的是()A. X = /仪 tB.1X = CBC. XC =M-1D.4YC-B =0已知人/)=则lim /3+23一/3 =()A -0gA. B. 1乙C.2D. -213.曲线 =2 一(I+ 1”的拐点为A. (- 1.2)B. (0.1)14.曲线), =+2A.有极值点.r = 5但无拐点C.有极值点才=5及拐点(52)15.微分方程(y + y r = 0的通解为y = A.+ &C.春 + C 2 i16.设函数 y = cos7r + situ .则 _/ =A. cos.r(?. sinn + cos.rC. (-2.3)D.不存在(B.有拐点.(5

16、2)但无极值点D.既无极值点又无拐点 ( )B.日 + (aD. xln.r-PCr( :B. cos.rI), sinn cosjt17.曲线fg = ：-2%” + 2的水平渐近线为 3kD. y =已知向量组a= (1.0.2.3), .0 =(3,5尸,。3 =(1 1。4-2.1),的秩为2.则 a =()A. 0B. 1C. -1D. 2，如果阶方阵A #53Ko，且满足条件AB =5则必有()A. | A 4- B | = 0B. .4 4- B = OC. | A | = 0 或 | 8 | = 0D. | A | + | B | = 0下列函数在给定区间上.满足罗尔中值定理的

17、是()A. jX.r) . t 1 1JB. /(.r) - 2 +| .r I , I，1_.rC. /(j ) = cr.- 1.1D. /(j-) = 1 + 1.1二、填空题(10题) ,r/(.?)/(.r2)dr =21 .22 .L是抛物线/ = .r上从点A(ll)到3(1, - 1)的一段弧.WJ | x2d.r + y3dv设 y = x! 1 9M arcsin3?.则 dy =设/ =ck/Q7)dy,交换积分次序后I =24 .Julim( 1 cos.r)sin -=25 .一才lim( 1 cos.r)sin -=26 .一级数里 27.r =- 1是函数.y =

18、 丁 - I的.间断点. r - - l极限lim三萼29 L8i+siu微分方程（1 + e= j ez d r的通解为三、判断题（10题）由方程y = l+/e所确定的隐函数的导数为/ = 士:.31. A.否 B.是若lin“ -十上+)= 2,则 =1.32. )A.否 B.是0 一& 争n2.A.否B.是函数y = /）在.r。处可导.则lim八八二匚h）丰/,（）.33. A否B.是设。=ln（l+.r） 则* = （一1尸：；“ 1,A.否B.是四、计算题（5题）求极限lim （十+M . 41.42.求微分方程(1 +-r?)dy (.r - j-sinJ)d.r = 0满足初

19、始条件丁 = 0的特解. r =44求函数 =在点P (1 . 1,1)沿方向/ =( 2 , 1.3)的方向导数.I J 求函数八7)= 6(? + ./ +2),)的极值.求微分方程rdy + 2(y ln.r)d.r = 0的通解.五、证明题(2题)证明对任意都有w一/ V工.e 46.证明不等式小 十.六、应用题(5题)某立体声收音机厂商测定.为了销售一新款立体声收音机1台,每台的价格(单位：元) 必须是p(n =800 - 1,厂商还测定.生产上台的总成本为CQ) = 2000+ 10了.为使利润最大 化.厂商必须生产多少台？最大利润是多少？49.某大学城超市按批发价每件30元买进一

20、批T恤.若零售价定为每件50元.预计可售出1000件.若在此基础上每件降价2元，则可多售出200件.问每件零售价定为多少，该超市可 以获得最大利涧?设抛物线y = l-与直线x + 2y-l = 0所围成的平面图形为(1)求平面图形。的面积；(2)求该平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积.设一物体及下端为宜圆柱形其上端为半球形,如图所示.如果此物体的体积为v.问 这物体的尺寸各是多少时.才能使其表面积堆小？25.将长为a的铁丝切成两段.一段围成正方形.另一段围成圆形.向这两段铁丝长各是多 少时,正方形与圆形的面积之和最小？参考答案1.D答案D2 5-2 3【精析】 由题可知AX = /-1,

21、则（A：H - I）1 3:1 -21=（/ ：X）.X-102.C【精析】yz(.r) /(.z)为(a.b)内的减函数 J(.r) 为(a)内的网函数，故选C.3.B - 7T sin -T88 1【精析】 选项A中，sin3为正项级数，limL= 1,而级数=式； W收 ”=1-贰21 “三 1 k敛.由比较审敛法的极限形式知级数Xsin 4收敛，旦为绝对收敛；选项B中，级数 =1 nS j为夕= VI的。级数，发散，而玄(一1尸仁满足莱布尼兹定理，故原级数I V W41tqi5/coooOO条件收敛;选项C中，X2=23 卜白为公比为4的等比级数，收敛，故原级数 r=l J冷=1 513J绝对收敛;选项D中为户=,1的P级数，收敛，故原级数绝对收敛. 1乙答案D【精析】4.D由即意可知,积分区域D可表示为2 如图所示.0 W 厂2sin。，则转化为直角坐标系下的积分区域D为仃-1+丁 = l(x0)即区域D可表示为04z4一9.5 .C答案1 c【精析】 因为B#O,AB =O,所以AX = O有非零解.故| X 1 = 0且A不为零矩阵.A 1 A2即 1 A 1 = (A- 1) = 0 解得;i = 1.1 1 A若| B | 0.则B 存在.AB - B 1 = A = O.显然矛盾.故I 8 | = 0,故选C.6 .A